- 周日 2月 16, 2025 6:13 am
#9030
尤里·曼宁：俯瞰人类知识版图的数学飞鸟
黄小骑 财新周刊 2025-02-16
作为20世纪最伟大的数学家之一，尤里·曼宁在代数几何和数论领域贡献巨大，还是最早提出量子计算机概念的先驱之一。曼宁的眼光不只是盘桓在整个数学版图上空，更俯瞰整个人类知识版图。
本文原刊于《财新周刊》。今日为曼宁诞辰88周岁，《赛先生》特转载重发，以纪念这位全能型数学家。
尤里·曼宁（Yuri I. Manin，1937年2月16日-2023年1月7日）。图源：西蒙斯基金会
著名数学物理学家弗里曼·戴森(Freeman Dyson)曾写过一篇广为流传的文章《飞鸟和青蛙》。他将数学家分为两种类型：青蛙栖一隅而居，飞鸟极九天而翔，青蛙型数学家“乐在特定问题的细节，一次解决一个问题”，而飞鸟型数学家“乐在统一我们思考的概念，并整合图景中不同部分的不同问题”。虽然这篇文章因他为2008年爱因斯坦讲座演讲而闻名，但其实文章的主体2007年已经发表，作为数学家尤里·曼宁（Yuri I. Manin）的文集《数学之为隐喻》的英文版序言。在戴森看来，曼宁正是一位杰出的飞鸟型数学家。但是，他的眼光不只是盘桓在整个数学版图上空，更是有俯瞰整个人类知识版图的气魄，试看万川之月。
2023年1月7日，这位飞鸟数学家魂归九霄，终年86岁。
曼宁1937年2月16日出生于苏联克里米亚首府辛菲罗波尔市。曼宁的父亲最初是一位车床工人，而后经过勤奋学习任职辛菲罗波尔市教育研究所，并在那里结识了曼宁的母亲，她是一名哲学和俄语文学的研究生。“二战”战火纷飞，曼宁父亲应征入伍后不久即在军事行动中丧生。曼宁幼时生活交困，但是他无书不读，去学自己能接触到的一切。2012年西蒙斯基金会曾专访曼宁，他从容笑道，他很喜欢一句话，“命运对我不公，我总能获得最好的”。他认为自己的一生是幸运的，接受了好的教育，碰到了好老师。
曼宁有一句名言：“不是我们选择了数学，而是数学选择了我们。”西蒙斯基金会那次专访附文里披露了一件往事：曼宁12岁时被一本微积分书里的符号困扰，他就把书埋在一棵树下，但很快他又充满恐惧，担心雨水会毁掉这本书，于是立即把书取回，自此他意识到自己热爱数学。
1953年夏，曼宁入读莫斯科大学力学数学系。那也是该系少有的如此众星云集的时期，不仅有柯尔莫哥洛夫和盖尔范德（I.M.Gelfand）等多位老师，还有一众日后名扬天下的学生。也正是在这里，曼宁遇到了对自己有决定性影响的数学老师伊戈尔·沙法列维奇（Igor R. Shafarevich）。当时除了学校本身制定的基础课程，还辅有讨论班。正是在这些讨论班上，学生们直接接触到最前沿的数学研究。曼宁在第二年就在研讨班里成为一名积极的参与者。沙法列维奇和盖尔丰特（A. O. Gelfond）共同主持的研讨班旨在让学生们熟悉安德烈·韦伊等人在解析数论方面的工作。
曼宁很快就在这方面崭露头角，并形成了对代数数论的研究兴趣，去拓展代数几何的边界。毕业后，他进入苏联科学院下属的斯捷克洛夫（Steklov）数学研究所。这一时期，曼宁在代数几何方面成果斐然，推进了形式群理论的发展，并完成了莫德尔-韦伊定理的证明，这也让他获得了1967年“列宁奖”。同年，曼宁有机会去巴黎拜访在代数几何方面做出开创性贡献的格罗滕迪克（Alexander Grothendieck），格罗滕迪克是当时布尔巴基学派的精神领袖，他上课是直接发数百页的资料给学生们讨论消化。曼宁也受惠于他的教学方式，而后也渐渐调整自己的教学方式，不再是仅仅解决一个个数学问题。曼宁反思，“一个问题只是对一个陈述的有效性的猜测，而一个研究项目是一个广阔视野的轮廓，一幅景观地图。”他举例，韦伊猜测有限示性类代数流形的上同调理论是否存在，但是格罗滕迪克不是直接去解决这个问题，而是“建构这个问题，并永远改变了我们对连续和离散二者关系的理解。”他引用庞加莱之言，“没有被解决的问题，只有或多或少被解决的问题”，曼宁体会这句话的言下之意是：任何以“是/否”形式表达的问题都是思维狭隘的表现。
回到莫斯科后，曼宁由于参与签名反对当局将持不同政见的数学家叶赛宁-沃尔品（Alexander Esenin-Volpin）强制关入精神病院，他不再被苏联政府准许出国访问。期间他五次受邀去国际数学家大会演讲，但都未成行。曼宁虽然人身自由受限，但精神仍然自由翱翔，并迸发出新的活力。他以“算术”和“几何”为知识基础，去探索各种新的联系，“一会儿又飞往另一个地方”，他陆续带的几十个博士生则沿着他的某条思路继续前行。
“在数学领域工作了数年或数十年后，就会不可避免地需要回过头去看看。在某种程度上，逻辑研究能够满足这一需求。”曼宁对于数理逻辑的研究，也促成他着手写一本相关教材。但在这一过程中，1973年9月，曼宁被诊断罹患脑部蛛网膜炎，读写能力出现严重障碍。一次在坐地铁回家路上，他忽然不可遏制地产生作画冲动，于是立即去莫斯科市中心买好油画工具，回到家就创作出平生第一幅油画作品《猫头鹰和太阳》。
数十年后，曼宁接受青年数学家、2018年菲尔兹奖得主考切尔·比尔卡尔（Caucher Birkar）的一次在线访谈，曼宁坦言，这次经历对于他是一次重生，他重新意识到数学之外的广阔天地。我想他对于脑科学的关注也是始于此阶段。考切尔向这位前辈询问数学体验，曼宁数次用了“狭隘”（narrow）一词来描述自己仅作数学时的感受。
所幸，曼宁一年后就完全康复了。也正是在人身自由受限、身体遭遇疾病的时期，曼宁重新开始广泛接触其他学科，受邀去他家做讲座的人士中不乏语言学家和精神病学家。这也让他对于数学和逻辑有了更基础的思考，1974年9月曼宁完成《数学家用的数理逻辑教程》。他指出，“在自然语言中，杰出的表达和文本通常有着不固定的边界。语言越是形式化，这些边界就越固化。”虽然作为一本“教程”，但在专业数理逻辑学家、MIT教授乔治·布洛斯（George Boolos）看来，这本书偏艰深。
这本数理逻辑教程收录了曼宁关于“量子逻辑”的最初思考。也在差不多同一时期，曼宁的兴趣转向理论物理，他进一步去探索物理学和代数几何的联系。他曾推测，“世界的‘真实’图像和‘算术’图像之间的关系就在于诸互补性的图景，就像是量子力学中的共轭可观测量。”
此后数十年，曼宁依旧耕耘于数学和物理领域，也取得了不乏被人视为开拓性的成果，比如被视为提出“量子计算”的先驱之一。但是，对于数学之于人类文化的关系，他有着更多的思考。被视为他思考结晶的文集《数学之为隐喻》，其开篇文章就是《数学知识：内在的、社会的和文化的面向》，也正是这样的文章，激发我这样并非数学专业的读者去思考所学习的基础数学知识。这三个面向相互纠缠，也可以视为曼宁沟通数学内外的思考框架。
“数学之为隐喻”这一标题最早是曼宁在1990年国际数学家大会上所写的。他思考数学语言的抽象性正在于它的隐喻功能。他引用美国哲学家詹姆斯·卡斯《有限与无限的游戏》里对“隐喻”的非正式定义，“隐喻是把相同的与不同的东西结合在一起，其中一方永远不会成为另一方……所有语言在其根源处都具有隐喻特性……大自然的不可言性说正是语言的可能性。”曼宁也在这次大会上倡导数学的技术面和人文面之间的平衡。
数学之为隐喻他举了两个例子：一个是柯尔莫哥洛夫复杂度。他认为，要讨论人类知识的本质，这一概念至关重要。因为只要我们用符号来表达知识内容，就必然存在一个物理限度限制信息容量，而柯尔莫哥洛夫复杂度正好对信息压缩的效率设置了绝对限制。并且，这一复杂度并不取决于信息内容的长度，比如我们绝对不会认为爱因斯坦那么短小的质能方程，因其短小而容易理解。
另一个例子是经济学泰斗肯尼斯·阿罗的博士论文《社会选择与个人价值》。曼宁作为读者自问：“阿罗的定理有没有告诉我们一些以前并不知道的东西？”他自答：“有……只要仔细阅读阿罗的证明过程，并且想象各个假设和基础逻辑步骤背后可能的现实生活内容，我们可以通过严格的数学推理来改善我们不那么精确的想象。比如，我们可以更好地理解政策制定的戏法，以及社会可能一股脑儿跳进的陷阱。”
值得一提的是，曼宁对于经济学还是有所关注，他曾在文章中引述过萨缪尔森对于数学语言的看法，并且对于市场经济有自己的思考，“市场这一隐喻的核心内在矛盾在于：我们把包含不相容的自由度的多维世界投射到货币价格这一单一维度”。这其实也正是“阿罗第二不可能定理”，经济学家汪丁丁表达为：“不存在可扩展到包括全部社会生活及属性且仍能正常运行的市场。”
同样是在1990年国际数学家大会上，曼宁进一步反思数学语言和自然语言的关系。虽然科学语言打断了文本和它的生产者/使用者之间的直觉和情感联系，但是任何数学和科学文本不可能只有数学公式和符号，还必然有自然语言的话语，曼宁反思，“这部分原因在于我们依旧需要自然语言来表达直觉和情感的联系，部分原因在于一些意义（比如人类价值）仍最好地存留在人类语言中。”这一反思很容易让我们想到萨缪尔森辞世3年前出版的经济学思想史教材Inside the Economist's Mind（2006），汪丁丁建议翻译成《经济学家心中所想》。汪老师琢磨萨缪尔森的意思，“学术论文的特征就是要以学术语言完全遮蔽学者思想的形成过程，于是导致学术积累最严重的一项弊端。萨缪尔森指出，对于问学者而言，与发表的相比，被遮蔽的其实最重要。”（汪丁丁，《经济学思想史进阶讲义》）
曼宁也许是感慨西方学术界“逐数学而不返”，才在这一大会上如此呼吁。他同时指出，“（数学）证明本身只是真理的衍生物，真理背后有大量价值，比如活动（activity）、美（beauty）和理解（understanding）。”曼宁数十年来也始终是在人类价值层面思考数学。2008年，在主题为“人文、科学和宗教中的真理”的研讨会上，曼宁是唯一发言的数学家。他指出，数学模型越来越成为一个“黑箱”，成为了计算机化的“集体无意识”。他还引用著名人文学者马丽·普维（Mary Poovey）的文章《数字可以确保诚实吗？不切实际的期待和美国的会计丑闻》。就文化特征而言，曼宁也意识到，对于西方数学家，求真是核心价值。
就数学的内在面向而言，曼宁把数学的基本心智过程刻画为：（1）通过外显规定的形成有意义的符号串的规则，和决定符号串是否“有趣”的不那么明确的规则，有意识地处理有限和离散的符号系统（symbolic system），构建新的符号串，他注释这一过程为“左脑、语言的、代数活动”；（2）通过内隐的对过往经验统计的依赖，并估算未来结果的概率，主要在潜意识层面处理视觉图像，并且判断平衡、和谐与对称，他注释这一过程为“右脑、视觉艺术和音乐、几何”。左右脑某一次整体达到的状态所激发出来的成果经过权力体系传承下去，融入我们人类的历史和心智历程。
曼宁在之后始终坚持这一视角，结合脑科学和人类文明发展史来探讨数学。他早已认识到，从20世纪到21世纪初，数学的基础其实在变化，原本利用集合论可以构建数学大厦，而今越来越倚重于范畴论和同伦论。集合论背后更多是左脑的直觉，而范畴论和同伦论更多依靠右脑的图像直觉。2015年在一篇纪念盖尔范德的文章中，曼宁继续推进这一主题，文章名为《最初的艺术活动，图符的起源和数学直觉》（De Novo Artistic Activity, the Origin of Logograms and Mathematical Intuitions）。在他看来，文化演化本身也意味着左右脑交互的动态变化。以百年、千年计，就能发现汉字书写系统的演化，以及几何与代数这两种数学思维模式的变化。他把眼光瞄向了汉字的发展过程，“从古中国文化中寻找演化的可观察的痕迹”，从左右脑平衡演化为更多偏向于左脑的平衡。我们一般认为，汉字发展初期，以形为主，象形字以形得意，但是逐渐之后发展为“形声字”为最多，“由形与音而得意”（陈梦家，参考李零《汉字是何时起源的》），而言语过程主要依赖于我们的左脑活动。对应上文，数学发展到上世纪倚重于以“左脑”直觉为主的集合论。
曼宁认同数学直觉有三种模式：空间的（spatial）、语言的（linguistic）和操作的（operational，或称之为“运动感觉的”，kinaesthetic）。这三种直觉模式之间的差异意味着左右脑之间的不对称，虽然这也引发“离散和连续/代数和几何（拓扑）”差异之间的对比，但曼宁指出，更深一层，在数学的不同发展阶段，人们对数学的理解由一种或两种不同模式的直觉所主导。比如我们学习欧几里得几何，其实更多借助于动态的操作演示，想象一个点或线的运动。但是图灵机出现后，这种动态的操作直觉又转向语言模式。而曼宁观察和提倡的数学直觉的新进展，正是“回归古老的象形文字的形式，几何图形的组合构成其内容。这些组合是非线性的和多维度的”。
值得注意的是，曼宁对于语言等根本问题的思考，也将他带向了荣格的“原型和集体无意识”研究。虽然他晚年并没有进一步深入荣格学说并提出创见，但他也曾敏锐地指出，“如果依然有研究者甘愿冒险去超越既定范式，那只是因为，深层心理学所告诉我们的事情太重要而不能被拒斥为不科学的。”
我也惊叹于曼宁学习外语的方法。他说他懒得去学语法，直接去读这门外语里的诗歌，并进行翻译。在我们看来，诗歌一般是最难以翻译的，但这却是曼宁研究数学之余的放松方式。
西蒙斯基金会的文章里，有一段话也令人感动：“1980年代开始，曼宁和妻子把自己的家变成了一个不仅仅是与曼宁探讨数学的地方，而且是团聚在一起，作为全面发展的人相互交流的地方。”这种眼界也正是曼宁最打动我的地方。苏联解体后，曼宁主要任职于波恩的马克斯-普朗克数学研究所。
而今，这位俯瞰人类知识版图的数学飞鸟已经飞远，但是他所思考的问题、路径和方式，仍会持续激发我思考下去。Google兴起之初，他曾在一次访谈中强调：“Google不能代替你思考！”现在，ChatGPT正引起新的风潮，我想，曼宁同样会说：“ChatGPT不能代替你思考！”
黄小骑 财新周刊 2025-02-16
作为20世纪最伟大的数学家之一，尤里·曼宁在代数几何和数论领域贡献巨大，还是最早提出量子计算机概念的先驱之一。曼宁的眼光不只是盘桓在整个数学版图上空，更俯瞰整个人类知识版图。
本文原刊于《财新周刊》。今日为曼宁诞辰88周岁，《赛先生》特转载重发，以纪念这位全能型数学家。
尤里·曼宁（Yuri I. Manin，1937年2月16日-2023年1月7日）。图源：西蒙斯基金会
著名数学物理学家弗里曼·戴森(Freeman Dyson)曾写过一篇广为流传的文章《飞鸟和青蛙》。他将数学家分为两种类型：青蛙栖一隅而居，飞鸟极九天而翔，青蛙型数学家“乐在特定问题的细节，一次解决一个问题”，而飞鸟型数学家“乐在统一我们思考的概念，并整合图景中不同部分的不同问题”。虽然这篇文章因他为2008年爱因斯坦讲座演讲而闻名，但其实文章的主体2007年已经发表，作为数学家尤里·曼宁（Yuri I. Manin）的文集《数学之为隐喻》的英文版序言。在戴森看来，曼宁正是一位杰出的飞鸟型数学家。但是，他的眼光不只是盘桓在整个数学版图上空，更是有俯瞰整个人类知识版图的气魄，试看万川之月。
2023年1月7日，这位飞鸟数学家魂归九霄，终年86岁。
曼宁1937年2月16日出生于苏联克里米亚首府辛菲罗波尔市。曼宁的父亲最初是一位车床工人，而后经过勤奋学习任职辛菲罗波尔市教育研究所，并在那里结识了曼宁的母亲，她是一名哲学和俄语文学的研究生。“二战”战火纷飞，曼宁父亲应征入伍后不久即在军事行动中丧生。曼宁幼时生活交困，但是他无书不读，去学自己能接触到的一切。2012年西蒙斯基金会曾专访曼宁，他从容笑道，他很喜欢一句话，“命运对我不公，我总能获得最好的”。他认为自己的一生是幸运的，接受了好的教育，碰到了好老师。
曼宁有一句名言：“不是我们选择了数学，而是数学选择了我们。”西蒙斯基金会那次专访附文里披露了一件往事：曼宁12岁时被一本微积分书里的符号困扰，他就把书埋在一棵树下，但很快他又充满恐惧，担心雨水会毁掉这本书，于是立即把书取回，自此他意识到自己热爱数学。
1953年夏，曼宁入读莫斯科大学力学数学系。那也是该系少有的如此众星云集的时期，不仅有柯尔莫哥洛夫和盖尔范德（I.M.Gelfand）等多位老师，还有一众日后名扬天下的学生。也正是在这里，曼宁遇到了对自己有决定性影响的数学老师伊戈尔·沙法列维奇（Igor R. Shafarevich）。当时除了学校本身制定的基础课程，还辅有讨论班。正是在这些讨论班上，学生们直接接触到最前沿的数学研究。曼宁在第二年就在研讨班里成为一名积极的参与者。沙法列维奇和盖尔丰特（A. O. Gelfond）共同主持的研讨班旨在让学生们熟悉安德烈·韦伊等人在解析数论方面的工作。
曼宁很快就在这方面崭露头角，并形成了对代数数论的研究兴趣，去拓展代数几何的边界。毕业后，他进入苏联科学院下属的斯捷克洛夫（Steklov）数学研究所。这一时期，曼宁在代数几何方面成果斐然，推进了形式群理论的发展，并完成了莫德尔-韦伊定理的证明，这也让他获得了1967年“列宁奖”。同年，曼宁有机会去巴黎拜访在代数几何方面做出开创性贡献的格罗滕迪克（Alexander Grothendieck），格罗滕迪克是当时布尔巴基学派的精神领袖，他上课是直接发数百页的资料给学生们讨论消化。曼宁也受惠于他的教学方式，而后也渐渐调整自己的教学方式，不再是仅仅解决一个个数学问题。曼宁反思，“一个问题只是对一个陈述的有效性的猜测，而一个研究项目是一个广阔视野的轮廓，一幅景观地图。”他举例，韦伊猜测有限示性类代数流形的上同调理论是否存在，但是格罗滕迪克不是直接去解决这个问题，而是“建构这个问题，并永远改变了我们对连续和离散二者关系的理解。”他引用庞加莱之言，“没有被解决的问题，只有或多或少被解决的问题”，曼宁体会这句话的言下之意是：任何以“是/否”形式表达的问题都是思维狭隘的表现。
回到莫斯科后，曼宁由于参与签名反对当局将持不同政见的数学家叶赛宁-沃尔品（Alexander Esenin-Volpin）强制关入精神病院，他不再被苏联政府准许出国访问。期间他五次受邀去国际数学家大会演讲，但都未成行。曼宁虽然人身自由受限，但精神仍然自由翱翔，并迸发出新的活力。他以“算术”和“几何”为知识基础，去探索各种新的联系，“一会儿又飞往另一个地方”，他陆续带的几十个博士生则沿着他的某条思路继续前行。
“在数学领域工作了数年或数十年后，就会不可避免地需要回过头去看看。在某种程度上，逻辑研究能够满足这一需求。”曼宁对于数理逻辑的研究，也促成他着手写一本相关教材。但在这一过程中，1973年9月，曼宁被诊断罹患脑部蛛网膜炎，读写能力出现严重障碍。一次在坐地铁回家路上，他忽然不可遏制地产生作画冲动，于是立即去莫斯科市中心买好油画工具，回到家就创作出平生第一幅油画作品《猫头鹰和太阳》。
数十年后，曼宁接受青年数学家、2018年菲尔兹奖得主考切尔·比尔卡尔（Caucher Birkar）的一次在线访谈，曼宁坦言，这次经历对于他是一次重生，他重新意识到数学之外的广阔天地。我想他对于脑科学的关注也是始于此阶段。考切尔向这位前辈询问数学体验，曼宁数次用了“狭隘”（narrow）一词来描述自己仅作数学时的感受。
所幸，曼宁一年后就完全康复了。也正是在人身自由受限、身体遭遇疾病的时期，曼宁重新开始广泛接触其他学科，受邀去他家做讲座的人士中不乏语言学家和精神病学家。这也让他对于数学和逻辑有了更基础的思考，1974年9月曼宁完成《数学家用的数理逻辑教程》。他指出，“在自然语言中，杰出的表达和文本通常有着不固定的边界。语言越是形式化，这些边界就越固化。”虽然作为一本“教程”，但在专业数理逻辑学家、MIT教授乔治·布洛斯（George Boolos）看来，这本书偏艰深。
这本数理逻辑教程收录了曼宁关于“量子逻辑”的最初思考。也在差不多同一时期，曼宁的兴趣转向理论物理，他进一步去探索物理学和代数几何的联系。他曾推测，“世界的‘真实’图像和‘算术’图像之间的关系就在于诸互补性的图景，就像是量子力学中的共轭可观测量。”
此后数十年，曼宁依旧耕耘于数学和物理领域，也取得了不乏被人视为开拓性的成果，比如被视为提出“量子计算”的先驱之一。但是，对于数学之于人类文化的关系，他有着更多的思考。被视为他思考结晶的文集《数学之为隐喻》，其开篇文章就是《数学知识：内在的、社会的和文化的面向》，也正是这样的文章，激发我这样并非数学专业的读者去思考所学习的基础数学知识。这三个面向相互纠缠，也可以视为曼宁沟通数学内外的思考框架。
“数学之为隐喻”这一标题最早是曼宁在1990年国际数学家大会上所写的。他思考数学语言的抽象性正在于它的隐喻功能。他引用美国哲学家詹姆斯·卡斯《有限与无限的游戏》里对“隐喻”的非正式定义，“隐喻是把相同的与不同的东西结合在一起，其中一方永远不会成为另一方……所有语言在其根源处都具有隐喻特性……大自然的不可言性说正是语言的可能性。”曼宁也在这次大会上倡导数学的技术面和人文面之间的平衡。
数学之为隐喻他举了两个例子：一个是柯尔莫哥洛夫复杂度。他认为，要讨论人类知识的本质，这一概念至关重要。因为只要我们用符号来表达知识内容，就必然存在一个物理限度限制信息容量，而柯尔莫哥洛夫复杂度正好对信息压缩的效率设置了绝对限制。并且，这一复杂度并不取决于信息内容的长度，比如我们绝对不会认为爱因斯坦那么短小的质能方程，因其短小而容易理解。
另一个例子是经济学泰斗肯尼斯·阿罗的博士论文《社会选择与个人价值》。曼宁作为读者自问：“阿罗的定理有没有告诉我们一些以前并不知道的东西？”他自答：“有……只要仔细阅读阿罗的证明过程，并且想象各个假设和基础逻辑步骤背后可能的现实生活内容，我们可以通过严格的数学推理来改善我们不那么精确的想象。比如，我们可以更好地理解政策制定的戏法，以及社会可能一股脑儿跳进的陷阱。”
值得一提的是，曼宁对于经济学还是有所关注，他曾在文章中引述过萨缪尔森对于数学语言的看法，并且对于市场经济有自己的思考，“市场这一隐喻的核心内在矛盾在于：我们把包含不相容的自由度的多维世界投射到货币价格这一单一维度”。这其实也正是“阿罗第二不可能定理”，经济学家汪丁丁表达为：“不存在可扩展到包括全部社会生活及属性且仍能正常运行的市场。”
同样是在1990年国际数学家大会上，曼宁进一步反思数学语言和自然语言的关系。虽然科学语言打断了文本和它的生产者/使用者之间的直觉和情感联系，但是任何数学和科学文本不可能只有数学公式和符号，还必然有自然语言的话语，曼宁反思，“这部分原因在于我们依旧需要自然语言来表达直觉和情感的联系，部分原因在于一些意义（比如人类价值）仍最好地存留在人类语言中。”这一反思很容易让我们想到萨缪尔森辞世3年前出版的经济学思想史教材Inside the Economist's Mind（2006），汪丁丁建议翻译成《经济学家心中所想》。汪老师琢磨萨缪尔森的意思，“学术论文的特征就是要以学术语言完全遮蔽学者思想的形成过程，于是导致学术积累最严重的一项弊端。萨缪尔森指出，对于问学者而言，与发表的相比，被遮蔽的其实最重要。”（汪丁丁，《经济学思想史进阶讲义》）
曼宁也许是感慨西方学术界“逐数学而不返”，才在这一大会上如此呼吁。他同时指出，“（数学）证明本身只是真理的衍生物，真理背后有大量价值，比如活动（activity）、美（beauty）和理解（understanding）。”曼宁数十年来也始终是在人类价值层面思考数学。2008年，在主题为“人文、科学和宗教中的真理”的研讨会上，曼宁是唯一发言的数学家。他指出，数学模型越来越成为一个“黑箱”，成为了计算机化的“集体无意识”。他还引用著名人文学者马丽·普维（Mary Poovey）的文章《数字可以确保诚实吗？不切实际的期待和美国的会计丑闻》。就文化特征而言，曼宁也意识到，对于西方数学家，求真是核心价值。
就数学的内在面向而言，曼宁把数学的基本心智过程刻画为：（1）通过外显规定的形成有意义的符号串的规则，和决定符号串是否“有趣”的不那么明确的规则，有意识地处理有限和离散的符号系统（symbolic system），构建新的符号串，他注释这一过程为“左脑、语言的、代数活动”；（2）通过内隐的对过往经验统计的依赖，并估算未来结果的概率，主要在潜意识层面处理视觉图像，并且判断平衡、和谐与对称，他注释这一过程为“右脑、视觉艺术和音乐、几何”。左右脑某一次整体达到的状态所激发出来的成果经过权力体系传承下去，融入我们人类的历史和心智历程。
曼宁在之后始终坚持这一视角，结合脑科学和人类文明发展史来探讨数学。他早已认识到，从20世纪到21世纪初，数学的基础其实在变化，原本利用集合论可以构建数学大厦，而今越来越倚重于范畴论和同伦论。集合论背后更多是左脑的直觉，而范畴论和同伦论更多依靠右脑的图像直觉。2015年在一篇纪念盖尔范德的文章中，曼宁继续推进这一主题，文章名为《最初的艺术活动，图符的起源和数学直觉》（De Novo Artistic Activity, the Origin of Logograms and Mathematical Intuitions）。在他看来，文化演化本身也意味着左右脑交互的动态变化。以百年、千年计，就能发现汉字书写系统的演化，以及几何与代数这两种数学思维模式的变化。他把眼光瞄向了汉字的发展过程，“从古中国文化中寻找演化的可观察的痕迹”，从左右脑平衡演化为更多偏向于左脑的平衡。我们一般认为，汉字发展初期，以形为主，象形字以形得意，但是逐渐之后发展为“形声字”为最多，“由形与音而得意”（陈梦家，参考李零《汉字是何时起源的》），而言语过程主要依赖于我们的左脑活动。对应上文，数学发展到上世纪倚重于以“左脑”直觉为主的集合论。
曼宁认同数学直觉有三种模式：空间的（spatial）、语言的（linguistic）和操作的（operational，或称之为“运动感觉的”，kinaesthetic）。这三种直觉模式之间的差异意味着左右脑之间的不对称，虽然这也引发“离散和连续/代数和几何（拓扑）”差异之间的对比，但曼宁指出，更深一层，在数学的不同发展阶段，人们对数学的理解由一种或两种不同模式的直觉所主导。比如我们学习欧几里得几何，其实更多借助于动态的操作演示，想象一个点或线的运动。但是图灵机出现后，这种动态的操作直觉又转向语言模式。而曼宁观察和提倡的数学直觉的新进展，正是“回归古老的象形文字的形式，几何图形的组合构成其内容。这些组合是非线性的和多维度的”。
值得注意的是，曼宁对于语言等根本问题的思考，也将他带向了荣格的“原型和集体无意识”研究。虽然他晚年并没有进一步深入荣格学说并提出创见，但他也曾敏锐地指出，“如果依然有研究者甘愿冒险去超越既定范式，那只是因为，深层心理学所告诉我们的事情太重要而不能被拒斥为不科学的。”
我也惊叹于曼宁学习外语的方法。他说他懒得去学语法，直接去读这门外语里的诗歌，并进行翻译。在我们看来，诗歌一般是最难以翻译的，但这却是曼宁研究数学之余的放松方式。
西蒙斯基金会的文章里，有一段话也令人感动：“1980年代开始，曼宁和妻子把自己的家变成了一个不仅仅是与曼宁探讨数学的地方，而且是团聚在一起，作为全面发展的人相互交流的地方。”这种眼界也正是曼宁最打动我的地方。苏联解体后，曼宁主要任职于波恩的马克斯-普朗克数学研究所。
而今，这位俯瞰人类知识版图的数学飞鸟已经飞远，但是他所思考的问题、路径和方式，仍会持续激发我思考下去。Google兴起之初，他曾在一次访谈中强调：“Google不能代替你思考！”现在，ChatGPT正引起新的风潮，我想，曼宁同样会说：“ChatGPT不能代替你思考！”
