[kanting]

阿贝尔奖获奖人

Year Winner(s) Award Reason


2003 Jean Pierre Serre， Key role in shaping modern mathematics, including topology, algebraic geometry, and number theory

2004 Sir Michael Atiyah & Isadore Singer， Discovery and proof of the index theorem, connecting topology, geometry, analysis, and theoretical physics

2005 Peter D. Lax， Groundbreaking contributions to the theory and application of partial differential equations

2006 Lennart Carleson， Profound contributions to harmonic analysis and the theory of smooth dynamical systems

2007 Srinivasa S. R. Varadhan， Fundamental contributions to probability theory, creating a unified theory of large deviation

2008 John Griggs Thompson & Jacques Tits， Profound achievements in algebra, shaping modern group theory

2009 Mikhail Leonidovich Gromov， Revolutionary contributions to geometry

2010 John Torrence Tate， Vast and lasting impact on the theory of numbers

2011 John Milnor， Pioneering discoveries in topology, geometry, and algebra

2012 Endre Szemerédi， Fundamental contributions to discrete mathematics and theoretical computer science, impacting additive number theory and ergodic theory

2013 Pierre Deligne， Seminal contributions to algebraic geometry, transformative impact on number theory, representation theory, and related fields

2014 Yakov Sinoi， Fundamental contributions to dynamical systems, ergodic theory, and mathematical physics

2015 John F. Nash Jr. & Louis Nirenberg ， Contributions to the theory of nonlinear partial differential equations and geometric analysis

2016 Andrew Wiles， Proof of Fermat’s Last Theorem, opening a new era in number theory

2017 Yves Meyer， Pivotal role in the development of the mathematical theory of wavelets

2018 Robert Langlands， Visionary program connecting representation theory to number theory

2019 Karen Uhlenbeck， Pioneering achievements in geometric partial differential equations, gauge theory, integrable systems, and impact on analysis, geometry, and mathematical physics

2020 Hillel Furstenberg & Gregory Margulis， Pioneering use of methods from probability and dynamics in group theory, number theory, and combinatorics

2021 László Lovász & Avi Wigderson， Foundational contributions to theoretical computer science and discrete mathematics

2022 Dennis Parnell Sullivan， Key contributions in developing rational homotopy theory, a subfield of algebraic topology

2023 Luis Caffarelli， Seminal contributions to regularity theory for nonlinear partial differential equations

2024 Michel Talagrand， Groundbreaking contributions to probability theory and functional analysis, with outstanding applications in mathematical physics and statistics.

2025 Masaki Kashiwara， Fundamental contributions to algebraic analysis and representation theory, in particular the development of the theory of D-modules and the discovery of crystal bases.

[kanting]

阿兰·孔涅（Alain Connes）：数学旅途上严酷的现实
撰文 Alain Connes

对于数学（家）是什么这样的话题，或许一千个数学家会给出一千个答案。当代数学大师阿兰·孔涅就说，“是一种非常个性化的关系”。在他看来，我们无法通过学习而成为数学家，而是通过做数学，途径另一种“严酷的现实”，要依靠诗性的眼光……他还给出了更“实用”的建议。（这些建议也曾在《孔涅给数学新手的忠告：数学被分割后就会消亡》中出现。）

【引言】

本文描述一种与数学之间的非常个人化的关系。我们不要忘记，每一位数学家都是一个“特例”。以下所述内容，都只涉及它的作者，在任何情况下都不应被认为是“一般”的观点。

在我看来，数学首先是最精致的思维工具，是概念的发生器，有了数学，我们可以理解各种事物、尤其是理解我们身处其中的这个世界。新的概念，就是通过在思想的熔炉中长期精炼才产生出来的。

将数学划分为一些独立领域的想法最初是吸引人的，例如几何是研究空间的科学，代数是符号运算的艺术，数学分析则使我们理解无限和连续的概念，还有数论，等等。但是，这并没有考虑到数学世界的一个本质特征，也就是说，不可能将它的某一部分不伤筋动骨地隔离出来。


【叛逆行为】

在我看来，关于数学首先要知道，我们无法通过学习成为数学家，而是通过做数学才能成为数学家。因此，重要的并不是“学问”，而是本领。当然，知识是绝对必要的——完全没有必要抛弃前人所获得的成就，但是，我始终认为，努力地思考一个几何问题比起半生不熟地积累所谓知识，可以让人有更大的进步。

这样，在我看来，我们或多或少是通过某个反叛行为才开始成为数学家的！

这话怎么讲呢？它的意思就是，未来的数学家将开始对某个问题进行思考，然后他会明白，实际上他在文献资料和书籍当中所读到的，并不符合当他面临问题时的个人看法。当然，很多时候这是因为没有学到家，但是这并不重要，只要他的观点是建立在他的个人直觉以及证明的基础上就行了。此时他将明白，在数学里面没有权威！如果一个十二岁的学生能够证明自己的论断，就完全可以在他的教师面前坚持己见，并且正因为如此，才能够让数学与其它学科相比显示出它的独特之处。在那些学科里，教师很容易以学生所不具有的知识作为挡箭牌。一个五岁的孩子可以对他父亲说“爸爸，没有最大的数”，并且对此十分肯定，这并不是因为他在书中看到过，而是因为他在头脑当中已经论证过了⋯⋯对于善于按照规则进行探索的人来说，这里有着广阔的自由空间。最为重要的事情，就是成为自己的权威。也就是说，为了理解某些事情，不要立刻去尝试确认这是否写在某本书里。不要！这样做只会延迟独立性的觉醒。需要做的事情，是在他的头脑当中验证这是否是真的。从我们明白这一点的时刻开始，我们就可以逐渐地去了解熟悉数学王国的某个很小的部分，并且从此开始在这个王国的神奇领地上以自己的方式进行一次长途的寻宝之旅。


【诗情荡漾】

我们可以说，数学家的工作当中有两个方面，一方面在于证明、验证，等等，它要求全神贯注，要求高度的理性主义；然而幸运的是，还有另一个方面，眼光！眼光这个东西，有点像是受到直感的驱使而得到的，它并不服从某些确定性，却更像是一种诗歌性质的有趣的东西。简而言之，在数学发现当中有着两个时间阶段。在第一个阶段里，还无法以推理的方式用公式化语言来明确表达出直觉。在这个阶段里，重要的是眼光！这并不是静态的那一方面，而是一种诗情荡漾的境界。

这种诗情荡漾几乎无法用话语来传达。可以毫不夸张地说，一旦当我们尝试将它说出来的时候，我们就会使它变成石头；而且我们会丧失这种动感，而它在数学发现当中是至关重要的。

然后，当我们理清了问题的足够多的方面时，并且当我们认识到这种眼光最终帮助我们解决问题时，事情就会发生变化。例如，当我开始成为数学家时，在我所有的发现当中最让我感到震动的一件事就是（那是我在雅克·迪斯米埃的指导下准备博士论文时期），一个非交换代数随着时间在发生变化！我所证明的是，实际上，一个非交换代数都有一个随时间的演化，这个演化是完全典则的。更加准确地说，Tomita理论所定义的演化依赖于某种态，实际上这种演化只是在模掉内自同构的意义上才依赖于这个态；这些内自同构是平凡的，不存在的。因此，这里所展示的，就是这种非交换性生成了时间【注：这里指的是孔涅的国家博士论文，其中他解决了冯·诺依曼代数理论中的第III型因子的分类问题。】！而且是从虚无当中生成的！如此简单！就是这样！当然，立刻由此得出的结果就是，一个代数会包含大量的不变量，例如它的周期，也就是说，使演化成为平凡所需的时间t。但是，尽管这些结果完全是可以公式化表达的和可以传达的，却并不会耗尽它们诗歌般的内容，也不会耗尽将最初的新发现付诸行动时的精彩之处。


【数学现实】

我对有些诗人非常欣赏，例如伊夫·博纳福依【注：伊夫·博纳福依（Yves Bonnefoy，1923—）法国诗人和散文家】，这是由于他们在方法论层面上与数学相近。在我看来，数学家与诗人的不同之处，在于诗人所使用的原材料是人类经验中的物质现实。诗词的主要成分，是一个人的内心世界和外部现实之间的冲突，这种冲突之激烈总是使得我们震惊。而数学家的航程，则是在另外一个地理空间中、另外一个景观中的旅游。在此期间，他会碰到另外一种现实。这种数学现实与我们身处其中的物质现实同样严酷而坚固。这个眼光部分对于数学家真正做数学来说是不够的。也就是说，相比眼光部分，在论证之后随之而来的阶段里，有着一段不确定的令人痛苦的时间，总是担心会搞错。这有点像从陡坡上下来时，我们必须不停地往下看……我们也总是在不停地对自己说“瞧，我本来会在这里出错的，或许我已经搞错了”。谁知道呢，我们总是在担心！我们可能会经历数小时可怕的惶惶不安的时间，正是因为我们遇到了一个真正的现实。因此，这不是普通意义上的现实，而可能是更加严酷的现实。

这样一来，真理的概念用到了另外一个世界，它并不是人类在其外部现实当中所经验的世界，而是数学现实的世界。需要理解的关键点是，无数的数学家花费一生的心血致力于发现这一世界；对于这个世界的轮廓和联通性，他们的意见是一致的：无论它的生命行程源自何处，如果说这一行程足够遥远，如果我们时刻警惕不被禁闭在某个特殊区域里面的话，迟早有一天，我们会到达这些众所周知的城堡当中的某一个，例如椭圆函数、模形式、ζ函数，等等。“条条道路通罗马”，数学世界也是“连通的”。当然，这并不意味着所有这些部分都相似。格罗腾迪克【注：格罗腾迪克（Alexandre Grothendieck，1928—2014）20世纪最有影响的数学家之一，1966年菲尔茨奖获得者，1988年克拉福德奖获得者（他拒领该奖）】在他的《收获与播种》当中，这样描述了一幅他从分析出发，最终来到代数几何的过程中所经历的景象：

“我仍然记得这个吸引人的印象（当然，这完全是主观的），就像是我离开了令人厌恶的干旱荒原，突然发现自己来到了一个华丽繁茂、遍地流金的‘富裕地带’，到处都充斥着无穷无尽的财富，这里令人禁不住伸出双手，去采摘果实或者开发宝藏⋯⋯”
——亚历山大·格罗腾迪克


【伽罗瓦】

从某种意义上来说，伽罗瓦所领悟的，或者说真正的现代数学的起点，就是必须有能力超越演算。也就是说，不要去进行演算，而是在思想里面进行演算！要明白这些演算的本质将会是什么，将会出现的困难是什么，等等，但是并不真正地去进行具体的演算，从而理解它的结果将会是什么形式的，该结果将会有什么对称性。因此，要超越这种外表形式；如果我们不加警惕的话，就很容易被困于其中。需要尝试从高处着手去摆脱困境，在对称性方面进行思考，等等。

“双脚并拢，跳过这些计算；将那些运算加以组合，按照它们的困难程度而不是按照其形式进行分类；在我看来，这才是我们的任务。”
——埃瓦里斯特·伽罗瓦

当伽罗瓦的前辈们探求某个方程的根的对称函数时，他自己却开始打破这种对称性，以便看清楚将会发生什么⋯⋯他的出发点是选择这些根的任意一个没有任何对称性的函数。奇妙之处就在于，他从这个根的函数所推导出来的不变群，实际上独立于最初的任意选择。

伽罗瓦的想法一点也不过时，它们仍然滋润着当代数学，只是因为这些想法简单明了并且引起了变动。格罗腾迪克所创立的主题理论可以看做是伽罗瓦的理论在大于0维时的某种自然推广，也就是说，如果我们愿意的话，它是在多变量多项式情况下的推广。这些在目前的发展，就像伽罗瓦理论的发展一样，是伽罗瓦思想的活力之所在。这里，需要引用他的遗嘱的结尾部分。

“我亲爱的奥古斯特，你知道，这些课题并不是我所探索的全部内容。某段时间以来，我的主要思索集中在不确定性理论在超越分析方面的应用。这需要事先就明白，在超越数量或者超越函数之间的关系当中，我们可以进行怎样的互换，我们可以用哪些数量来替换那些所给定的数量，同时保持这种关系。这立刻就会使我们所可能寻找的许多数学表达式变得不再可能了。但是，在这个广阔的领域内，我没有时间了，我的想法也还没能足够成熟。”
——埃瓦里斯特·伽罗瓦


【代数与音乐】

在我看来，对于一个孩子来说，关键是很早就开始让他接触音乐。我认为，让一个孩子在五六岁的时候接触音乐，可以适当减弱他在视觉智能方面的优势，这种视觉智能是很奇妙的、纯视觉的天赋，孩子很早就能获得，实际上它与几何相联系。音乐可以通过代数将它加以平衡，也就是说，音乐与时间有关，正如代数与时间有关一样。在数学当中，存在着这种基本的二元性。一方面是几何，它对应于大脑的视觉区域，并且是一种瞬时的即刻的直觉。在这里，我们看到了一种几何图像，嘣！就是它，这就是一切，甚至不需要我们去解释，我们不想去解释。然后是另一方面，那就是代数。代数，它和视觉一点关系也没有，相反，它具有时间性，与时间有关！这就是演算之类的东西。这就是某种变化着的东西，并且是某种和语言非常接近因此具有语言的奇妙精确性的东西。而且，我们可以通过音乐来认识到这种代数所产生的力量。因此，对于我来说，在如此感受到的音乐和代数之间，确实存在着一种奇妙的默契。例如，我酷爱肖邦的一些序曲，因为我发现，它们恰好具有这种美妙的凝聚性和精练性。在一间屋子里聆听这种音乐，就像窗户被一阵风突然吹开，然后，又从另一个方向重新关上。从某种意义上来讲，这就是要将一种思想以它最清晰、最纯粹的形式凝聚出来⋯⋯这就是它：代数。


【建议】

我以几个“实际”的建议来结束此文：

1. 散步. 当我们面临非常复杂的难题的时候（常常需要进行演算），有一种很好的实用方法，那就是外出长时间地散步（不带纸和笔），并且在头脑当中进行演算（这时，需要忘记“这样做太复杂了”的最初印象）。即使我们后来没有成功，它也会形成“鲜活的记忆”，并磨练智力。

2. 床上思考. 一般来说，数学家们最大的问题，就是让自己的配偶明白，他们在工作当中最全神贯注的时刻，就是在黑暗中当他们在床上睡觉的时候。不幸的是，计算机屏幕和电子邮件对他们的侵犯，使得这种自我集中的方式使用得越来越少；而这种方式以后只会越来越显其珍贵。

3. 勇敢. 在数学发现当中有两段时间，在一段时间里需要勇敢：需要沿着峭壁往上爬，并且绝对不要往下看⋯⋯为什么呢？因为如果你开始往下看，你就会说：“是的！当然是这样的，某个人已经研究过这个问题了，他没有能够解决它，那么我也就没有任何理由能够解决它。”然后，你将找到上百条合理的理由，它们会阻止你往上爬。因此，需要彻底地撇开它。从某种意义上来说，需要“保护自己的无知”，以便能够孕育出某个想法，而不是在它尚处于意识里的某一个t时刻时就使它夭折了。

4. 承受压力. 在数学家的生活里，常常有这种情况出现（往往是在开始的时候），由于竞争激烈，他们遇到了某些困难。例如，我们收到了某个竞争者的“预印本”，其课题与我们正在进行的研究相同，因此我们感受到了压力，急于发表论文。在这样的情况下，我所了解的唯一解决方法，就是尝试将这种沮丧情绪转化为能量，去更加努力地工作。

5. 不图认可. 很久以前，我的一位同事向我透露说：“我们数学家的工作，就是为了得到很少几个朋友的吝啬的认可。”是这样的，研究工作本质上就是孤独的，研究者会感到需要以这种或者那种方式得到认可。说实话，关于这一点，只有唯一的一个评判者是重要的，那就是自己。并且，我们没有办法去违背自己。过于在意别人的观点，简直就是在浪费时间。到目前为止，没有任何一个定理是由全体投票来得到证明的，正如费曼所说的：“为什么你要在乎别人的想法呢！”

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阿蒂亚给数学新手的忠告：只有凡夫俗子才最相信自己的能力

本文出自菲尔兹奖得主、剑桥大学数学教授蒂莫西 • 高尔斯（Timothy Gowers） 主编的《普林斯顿数学指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部独具特色的高水平著作，介绍了很多 20 世纪的数学，且都出自数学大家之笔。该文是阿蒂亚、孔涅等当代五位顶级数学家根据自己的数学研究经验，对后辈新人给出的忠告——一些宝贵的经验性建议。令人惊喜的是，它们很少有重复。虽然这些话是针对数学新手而说的，但相信它们值得任何年纪的数学家阅读。鉴于篇幅过长，本次先刊登由英国数学家阿蒂亚爵士带来的建议。

迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Atiyah, 1929-2019），英国数学家，主要研究领域为几何学，被誉为当代最伟大的数学家之一。1966 年获菲尔兹奖 ；2004 年获阿贝尔奖。曾任英国皇家学会会长。


阿蒂亚给数学新手的忠告：只有凡夫俗子才最相信自己的能力

撰文 Michael Atiyah阿蒂亚
翻译 陈跃（上海师范大学数学系副教授）
来源《数学文化》


【声明】

以下仅仅是我个人的看法，主要依据我自己的经验，反映了我的个性、我所研究的数学类型，以及我的工作风格。实际上，数学家们的经验、个性、工作类型和风格可以说是千差万别，你应当遵从你自己的天生爱好。你可以从别人那里学到东西，但应该用你自己的方式来解释你所学到的东西。原创性来自于打破常规，在某种程度上，还来自于过去的实践。


【动机】

一个数学家做研究，就像一个充满创造力的艺术家一样，必须对所研究的对象极其感兴趣，全神贯注。如果没有强烈的内在动机，你就不可能成功。即使你只是一名数学爱好者，你从解决困难问题中得到的满足感也是巨大的。

在研究的头一、两年里是最为困难的。有那么多的东西要学习。甚至有一些小问题你都无法解决，这样你就会非常怀疑自己证明新定理的能力。在我研究的第二年，我顺利度过了这一艰难的时期。塞尔 (Jean-Pierre Serre) 也许是我们这一代数学家中最杰出的一位，就是他也曾经跟我讲过，他在一段时间里认真地想过是否要放弃数学。

只有凡夫俗子才最相信自己的能力。你越是出色，你为自己定的标准就越高——你可以超越你所能够达到的目标。

许多有可能成为数学家的人也具有从事其他行业的能力与兴趣，他们可能都会面临着非常艰难的选择：是准备成为一名数学家还是做其他的什么职业。据说伟大的高斯就曾在数学和语言学之间来回摇摆，帕斯卡早年为了研究神学曾经放弃数学，而笛卡尔和莱布尼茨同样也是著名的哲学家。一些数学家后来成了物理学家（例如戴森(Freeman Dyson)），而另一些人正好相反（例如钱德拉(Harish Chandra)、博特 (Raoul Bott)），他们从物理学家变成了数学家。你不能将数学看成一个封闭的系统，数学与其他学科之间的相互作用不论对个人还是对社会来说都是健康的。


【心理方面】

由于在数学中需要高度的集中思考能力，由此产生的心理压力是相当可观的，即使是在研究比较顺利的时候也是如此。这个问题是大是小主要看你的性格，不过可以采取措施来降低紧张的情绪。与同伴学生的交流——听讲座、参加讨论班和会议等——都有利于开拓视野和获得很重要的群体支持。过分的孤独与深思可能是比较危险的，有时候表面上看来是散漫的闲谈其实并不是在浪费时间。

一开始的时候，与同伴学生或者导师进行合作研究有许多好处，并且与别人的长时段合作会使人感到特别有信心，无论是在数学方面还是在个人交往方面。当然，个人独自安静的思考总是需要的，不过与朋友们的思想交流与讨论会更有助于这种思考，所以也是不可缺少的。


【解决问题还是创建理论】

数学家们有时可以被分为“问题解决者”或者“理论创建者”。虽然确实有比较极端的例子显示了这种差别（例如爱尔迪希(Erdös)与格罗腾迪克(Grothendieck)就是两个极端），但是绝大多数的数学家都处于他们中间的某个位置，他们同时在解决问题和发展某个理论。实际上，如果一个理论没有导致具体的有趣问题的解决，那么就不值得去建立它。反过来，任何真正意义上的深刻问题总是刺激着为解决此问题而产生的理论的发展（费马大定理就是一个经典的例子）。

这对一个初学者来说有什么启示？虽然人们不得不去读那些书本和论文，以吸收通常的概念与理论方法，但是实际上初学者必须学会去关注一个或更多个具体的问题。这些问题可以让人深思，可以磨砺人们的勇气。一个经过人们仔细研究和理解透彻的特定问题也是检验一个理论是否有效的非常有价值的试金石。

根据研究过程的不同，最后形成的博士论文要么抛开绝大多数理论的外衣而聚焦于一些本质上的具体问题，要么它就是一个可以合理解决问题的长篇大论。


【好奇心的作用】

驱使人们进行研究的原始动力就是好奇心。一个特定的结论什么时候成立？那是一个最好的证明吗？或者是否还有更自然、更简洁的证明？使得结论成立的最一般的情形是什么？

如果你在阅读论文或在听讲座时，总是问自己这样的问题，那么或早或迟答案会隐约浮现——包括一些可能的探索路径。每当这种情形出现时，我就会抽出时间努力追踪这种想法，看它会引到哪里，或者是否经得起仔细琢磨。尽管通来说十有八九会进入死胡同，但偶尔一次会发现金子。困难在于我们不知道什么时候该停止，有些起初看起来是有效的想法实际上根本没用。这时就应该果断脱身，回到主要的道路上来。人们常常会很犹豫作出这样的决定，事实上我就是经常回到先前已经丢弃了的想法上来，尝试用另外一种方法来解决问题。

令人想象不到的是，好的想法也会产生于一个不好的讲座或讨论班。在听报告的时候，我经常发现，结果很漂亮，但是证明却很复杂和烦琐。此时我就不会再跟着黑板上的证明，而是在接下来的时间里去构思一个更简洁的证明。虽然这通常来说不太成功，但至少我更好地度过了我的时间，因为我已经用我自己的方式努力地想过这个问题。这远胜过被动地跟随别人的思考。


【例子】

如果你像我一样，喜欢宏大的和强有力的理论（我虽然受格罗腾迪克的影响，但我不是他的信徒），那么你就必须学会将这些理论运用到简单的例子上，以检验理论的一般性结论。多年以来，我已经构造了一大批这样的例子，它们来自各个分支领域。通过这些例子，我们可以进行具体的计算，有时还能得到详尽的公式，从而帮助我们更好地理解一般性的理论。它们可以让你脚踏实地。非常有意思的是，虽然格罗腾迪克排斥例子，但是很幸运的是他和塞尔有着非常紧密的合作关系，而后者能够弥补他在例子方面的不足。当然在例子与理论之间也没有一条明确的分界线。我喜欢的许多例子都是来自于我早年在经典射影几何中所受到的训练：三次扭曲线、二次曲面、或者三维空间中直线的克莱因（Klein）表示等。再没有比这些例子更具体和更经典了，它们不仅都可以同时用代数的方式和几何的方式来进行研究，而且它们每一个都是一大类例子中开头的一个（例子一多慢慢就变成了理论），它们中的每一个都很好地解释了以下这些理论：有理曲线的理论、齐性空间的理论、或者格拉斯曼流形的理论 (Grassmannians)。

例子的另一个作用是它们可以指向不同的研究方向。一个例子可以用几种不同的方式加以推广，或用来说明几种不同的原理。例如一条经典的二次曲线不仅是一条有理曲线，同时又是一个二次超曲面 (quadric)，或者是一个格拉斯曼流形等。

当然最重要的是，一个好例子就是一件美丽珍宝。它光彩照人，令人信服。它让人洞察和理解。它是（我们对数学理论）信仰的基石。


【证明】

我们所受到的教育告诉我们，“证明”是数学中最重要的事情，用公理和命题小心编织起来的欧几里得几何体系提供了自文艺复兴以来现代思想的基本框架。相比于其他自然科学家们的做实验的检验方法，数学家们为他们的绝对准确无误的定理而感到自豪，更不要说在其他领域里那些模模糊糊的思维方式了。

但是自从哥德尔 (Gödel)（发现不完全性定理）以来，数学的绝对真理地位确实发生了动摇，此外繁复冗长的计算机证明的出现也使数学家们的态度变得更谦卑一些。但是不管怎样，证明还是保持着它在数学中的主要作用，如果在你的论文中，你的证明有一个比较严重的漏洞，那么将直接导致退稿。

然而，如果将数学中的全部研究工作仅仅等同于不断作出各种证明的过程，那么你就错了。实际上人们可以说，数学研究中真正带有创造性的那部分工作在写证明的阶段之前就已经完成了。对于后面这个“证明阶段”，我们可以打一个比方：就好比你是在写剧本，必须要从事先的构想出发，发展情节，写出对话，包括给出舞台指导等。最后形成的剧本就可以看成是“证明”：它是事先构想的具体实现。

在数学中，一般是先有思想和概念，然后再提出问题。接下来就开始对问题解答的探寻，人们寻找某种方法或者策略。一旦你自己相信这是一个恰当的问题，并且你又有对此问题合适的工具，那么你接着就会开始努力思索证明的具体技术细节。

但不久你会意识到（也许是通过反例发现）问题提出的方式不对。有时候，在初始的想法与最终的结论之间有较大的反差。你没有注意到一些隐含的假设，或忽略了某个技术细节，或者你考虑的情形太一般。然后你不得不回过头来，重新修改提出你的问题。如果有人说数学家们总是控制他们提出的问题，以便他们得到答案，这是不公平的夸大其词，但也不是完全没有道理。能够提出一些既有趣又可以被解决的问题，是数学中一种高超的艺术，数学本身其实就是一种艺术。

证明实际上是创造性想象和不断反思推理之间长期相互作用的最终结果。如果没有证明，数学的研究是不完整的，反之，如果没有想象，则研究无从谈起。在这里人们可以看到和其他领域中创造性艺术家（例如作家、画家、作曲家、或建筑家）工作的一个相似情形。先有一个幻象，然后发展成一个思路，再不断试验展开，最后便是漫长的艺术品总装完成的技术性过程。技术与幻象之间必须保持接触，各自按照自己的方式不断地修正另外一方。


【策略】

在上一节中，我讨论了对于证明的看法，以及它在整个创造性过程中的作用。现在让我们转向一个对于年轻的数学家们来说最实际的问题。人们应采取什么策略？你怎样做，才能够找到一个证明？

这个问题如果泛泛而谈的话，没有多大意义。就像我在前面说过的那样，每一个好问题都有它的起源：它来自于某个背景，它有自己的根。为了使问题能够得到进展，你必须要透彻地理解这些根源。这就是为什么发现你自己的问题、提出你自己的想法总是比从你导师那里得到问题要好的缘故。如果你知道一个问题是从哪里来的，为什么要问这个问题，那么你就已经成功了一半。实际上，问一个正确的问题常常和解决这个问题一样困难。找到正确的问题背景是首要的一步。

因此，简要地说，你需要对这个问题的历史有一个很好的了解。你应当知道解决类似的问题是采用什么方法，以及这些方法的局限性又在哪里。

当你被一个问题完全吸引时，应该立即全力以赴地思考这个问题。为了得到解答，除了全力投入外别无他法。你应当考察特殊的情形，以便确定主要困难出现在什么地方。你对问题的背景和先前的解决方法了解得越多，你能够尝试的技巧与方法也就越多。另一方面，有时候对问题与方法的无知也是一件好事情。曾有报道说李特尔伍德 (J. E. Littlewood) 让他的每一个研究生都分别做一个将黎曼猜想装扮起来的问题，直到他们在六个月之后，才知道了真相。他的理由是学生们不会有自信去直接攻克这么有名的难题，但是如果他们不知道他们的对手是大名鼎鼎的黎曼的话，也许他们会获得进展！尽管这种策略不大可能产生一个黎曼猜想的证明，却能够产生一批生气勃勃、敢于攻坚克难的学生。

我自己的方法是尽量避免直接攻击，努力寻找间接的途径。这是因为，将你的问题与各个不同领域中的思想与方法联系起来，可能会带来令人意想不到的结果。如果这个策略成功的话，它将会导致一个非常漂亮的简单证明，同时也“解释”了为什么事情能够成立的原因。实际上我相信：努力地去寻找这样一种解释和理解，是我们真正应该达到的目标。证明可以看成是这个过程的一部分，有时也是这个过程的结果。

拓展你的视野也是你寻找新方法任务中的一部分。与人交谈会提升你的数学素养水平，并且有时会给你带来新思想和新方法。你很有可能由此而获得关于你自己研究的一个有价值的想法，甚至是一个新的方向。

如果你需要学习一个新的课题，除了学习文献之外，最好是能找到这方面的一个比较友善的专家，“从他的嘴里”获取教益——口头的讲解更简洁明快。

在向前看并经常注意新发展的同时，你也不应该忘记过去。在过去的年代中，有许多非常有价值的数学成果被尘封和遗忘了，它们只有被重新发现的时候才显露出光芒。这些结果不容易被发现，部分原因是因为数学的术语和风格改变了，但是它们确确实实是金矿。如果你遇到这样的金矿，你应该要感到非常幸运，你必须报答那些开拓者。


【独立或合作】

在开始你的研究之前，你与你导师之间的关系是至关重要的，因此要小心地选择你的导师，包括他所研究的方向、人品、以及以往的研究工作等都要考虑。当然很少有导师在这三个方面都令人满意。接下来，如果事情在头一两年进行得并不顺利，或者你的兴趣发生了明显转移，则应该毫不犹豫地调换你的导师，甚至是你的大学。这不会冒犯你的导师，或许也是他的解脱！

有的时候，你可能是比较大的研究小组中的一个成员，并且与其他成员也有交流的机会，所以实际上你有不止一个的导师。这可以提供其他的思想来源，以及另外不同的工作方式，这些都是有帮助的。在这样一些大的群体中，你也可以从你的同伴学生那里学到许多，这就是为什么选择一个包含有大的研究生院的数学系是一个好主意的缘故。

当你一旦完成了你的博士论文后，你的研究就进入了一个新的阶段。尽管你可以继续与你的导师进行合作，并待在原来的研究群体中，但是为了你以后进一步的发展，比较健康的做法是用一年或更多的时间去另外的一个地方。这可以让你接受新思想的影响，并获得更多的机会。现在是这样一个时代：你可以有机会在大千数学世界中为自己找到一个位置。一般来讲，在一个相当长的时间里，继续太紧密地停留在你博士论文的课题上不是一个好的主意。你必须要“另立门派”，以显示你的独立性。这不必在研究的方向上作剧烈的改变，只是应该要有确确实实新颖的地方，而不是你博士论文的简单的常规延续。


【风格】

在你写论文的时候，你的导师通常会指导你如何安排文章的结构和呈现的方式。然而在你的数学研究中也非常需要你自己的个人风格。虽然对于各种类型的数学来说，这方面的要求有所不同，但还是有许多方面的要求适用于所有的数学分支学科。以下便是对怎样写出一篇好论文的几点提示。

(1) 在你开始写作之前，先通盘考虑好整个论文的逻辑结构。
(2) 将很长的复杂证明分成比较短的中间步骤（如引理、命题等），这会帮助读者阅读。
(3) 写通顺简明的英语（或者你选择的语言）。请记住数学也是文学的一种表现形式。
(4) 尽可能地简明扼要，同时又要叙述清楚。要保持这样的平衡是很困难的。
(5) 尽量将论文写成和你所喜欢阅读的论文一样，并模仿它们的风格。
(6) 当你已经完成了你论文的主要部分后，回过头来认真地写一篇引言，在其中要清楚地解释论文的结构和主要结果，已经一般的来源背景。要避免不必要的含糊深奥，要面向一般的数学读者，而不只是少数的专家。
(7) 试着将你的论文初稿让一个同事阅读，并留意任何的建议或评论。如果你最亲近的朋友与合作者都无法理解你的论文，那么你就已经失败了，你需要加倍地努力。
(8) 如果不是非常急着出版，那么将你的论文丢在一边几个星期，做其他的事情。然后再以一种新鲜的视角重新来阅读你的论文，会有一种全然不同的感觉，你将知道怎样去修改它。
(9) 如果你相信重写论文会更加清楚、更容易阅读，那么你就不要吝啬将论文重新写一遍，也许站在一个全新的角度看得更清楚。写得好的论文将成为“经典”，被将来的数学家们广泛阅读。

本文摘自原载于《数学文化》第4卷第2期的《给年轻数学家的忠告》，经译者授权刊发。

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阿兰·孔涅（Alain Connes）给数学新手的忠告：数学被分割后就会消亡

本文出自菲尔兹奖得主、剑桥大学数学教授蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers） 主编的《普林斯顿数学指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部独具特色的高水平著作，介绍了很多 20 世纪的数学，且都出自数学大家之笔。该文是阿蒂亚、孔涅等当代五位顶级数学家根据自己的数学研究经验，对后辈新人给出的忠告——一些宝贵的经验性建议。令人惊喜的是，它们很少有重复。虽然这些话是针对数学新手而说的，但相信它们值得任何年纪的数学家阅读。日前，我们已刊发过英国数学家阿蒂亚爵士和匈牙利裔英国数学家Béla Bollobas以及英国女数学家杜萨·麦克杜夫的建议，今日奉上著名的法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes）的部分。

数学名著译丛《普林斯顿数学指南》（三卷）


阿兰·孔涅（Alain Connes）给数学新手的忠告：数学被分割后就会消亡
撰文 Alain Connes
翻译 陈跃（上海师范大学数学系副教授）
来源 《数学文化》


阿兰·孔涅（Alain Connes, 1947-），法国数学家，在非交换几何学方面的工作对理论和数学物理有重要影响。他是 1982 年菲尔兹奖获得者。


数学是现代科学的支柱，它是许多新概念与新工具的相当有效的源泉，借助于这些新概念和新工具，我们才得以理解置身其中的“现实世界”。这些新概念本身就是人类思维这个蒸馏器经历长期“蒸馏”过程的结果。

我被要求写一些对于年轻数学家的忠告。首先我感到每一位数学家都是一个个特殊的案例，总体来讲数学家们都倾向于成为（喜欢独立的）“费米子”，即他们尽量避免在太大众化的领域里做研究，而物理学家们的表现则更像（群居的）“玻色子”，他们组合成很大的团队，并经常“过分夸大”他们取得的结果——这种态度是会被数学家们鄙夷的。

人们一般总是首先将数学划分成一些相互独立的分支学科，例如几何学、代数学、分析学、以及数论等等。其中，几何学主要是试图理解“空间”的概念，代数学主要研究字母符号的操作艺术，而分析学则主要关注涉及“无穷”与“连续”的对象等等。

但是，这种看法与数学这门学科的一个最重要的本性相违背，即把上述那些分支学科中的任何一个在不剥离自身本质的前提下从其余的分支中独立出来是根本不可能的。实际上，整个数学就像一个完整的生命体，只有在结为一体的情况下才能生存，如果它被分割成若干不相连的部分，那么它就会消亡。

数学家们的研究生涯可以被描述成是在“数学的现实世界”王国里的一次探险旅行，他们用自己的知识架构逐步揭开它的神秘面纱。

这个过程往往开始于对现存书本上关于数学王国的教条描述的不满与反叛。想要成为数学家的年轻人开始意识到，他们自己关于数学世界的看法已经抓住了数学的某些特征，而这又与已有的教条不相符合。在大多数的情况下，这种初期的反叛来源于无知，但却不无益处，因为它可以帮助人们从对权威的敬畏中解放出来，使得他们可以依靠他们的直觉，并且用实际的证明来支撑他们的直觉。一旦一个数学家真正开始了自己的研究并获得了解，哪怕是以一种非常原始和“个人化的”方式，或者是处在数学世界的一个非常狭小的领域里，并且无论初看起来是多么怪异[1]，那么这个探险旅行实际上就已经开始了。当然，很重要的是不要去打破“阿莉阿尼线团”[2]：在始终保持用一种新鲜的眼光看待旅途中遇到的各种问题的同时，还能够在一次次感到迷路的时候回到出发点。

同样重要的是，一直保持对各种数学的兴趣。否则，我们就会冒着一种风险，将自己完全局限于一个已经被高度技术化了的非常狭小的领域里，从而限制了我们对于巨大的变幻莫测的数学世界洞察力的发挥。

在这方面最基本的要点是：尽管有许多数学家毕其一生在探索数学世界中各不相同的领域，而且看问题的角度是那样的不同，可是他们都同意他们其实是在研究同一对象的各个不同部分。不管我们各自旅行的出发点在哪里，总有一天，当我们走了足够长的距离后，会发现大家都不约而同地走到了数学王国的同一座著名城堡：例如椭圆函数、模形式、或者zeta函数等。“条条道路通罗马”，数学世界也是相互连通的。当然这并不是说数学的所有各个部分都是相似的，在这里很值得引用格罗腾迪克（在《收获与播种》一书中）对分析学与代数几何学所作的比较，前者是他最初涉足的研究领域，而对后者的研究则耗尽了他之后数学生涯的全部心血：

我仍然记得这种强烈的印象（当然完全是主观的），就好象我自己从贫瘠的荒野转瞬间突然来到了“神所授予的”富饶土地，它们无边无际，你可以尽情地在其中探究，施展自己的身手与才华。

大多数的数学家们都很务实地将自己看成是这个“数学世界”的探索者，他们并不是很关心它是否真的存在，他们只是用自己的直觉以及大量的理性思维来揭示这个数学世界的结构。这种直觉离所谓的“理想化的愿望”并不太远（就像法国诗人Paul Valery所强调的那样），而大量的理性思维则需要高度集中的思考时间。

每一代数学家都构建了反映他们自己对这个数学王国理解的智力图景。他们建造了越来越敏锐的智力工具，这样就能够来开发先前未被发现的各种研究领域。

真正有趣的事情是：在数学王国的各个不同的领域之间找到了意想不到的联系桥梁，这种联系在前辈数学家们的智力图景中还是显得非常模糊和遥远的。而当这种情形产生时，就像突然之间一阵清风吹散了笼罩在我们美丽大地上的迷雾。在我自己的工作中，这种类型的巨大惊喜常来自于与物理学密切相关的数学研究。数学概念很自然地来源于物理学，这已经成为了一个基本共识，就像阿达玛 (Hadamard) 所曾经指出的那样。对他来说，他们所展示的

不仅仅是短暂的能让数学家们晕头转向的新奇小技巧，而是那种从事物本身涌现出来的真正富饶多产的新颖。

下面我将用一些比较“实用”的忠告来结束这篇短文。只是要注意每一位数学家都是一个“特殊的案例”，不用太在意这些忠告。

【散步】 当你正在与一个非常复杂的问题搏斗时（常常涉及计算），一个非常明智的练习是出去走一段距离很长的路（不带纸和笔），一边走一边在脑子里做计算，不用担心这初看起来是否“太复杂了，不可能这样做”。即使不成功，也能够训练超人的记忆力和不断完善自己的方法。

【躺下】 数学家们一般很难向他们的同事解释，他们研究工作最辛苦紧张的时刻竟然是他们在黑暗中躺在沙发上的时候。很不幸的是，随着e-mail和电脑屏幕侵入所有的数学研究机构和场所，将自己完全孤立起来、从而集中心思的弥足珍贵的机会就变得十分稀少了。

【再勇敢些】 在通向新的数学发现的过程中，一般有好几个阶段。尽管处在后面的只需要我们理性与专心的（证明与计算）核查阶段的工作量大得惊人，但相比较而言，位于前面的更加富有创造性的（探索与构思）阶段则完全不同。在某种程度上，这个探索阶段还需要一种你对自己无知的保护意识，因为总是有千万个理由叫我们不要盯在那些其他许多数学家们都没有解决的问题上。

【挫折】 在数学家们的研究生涯中，包括很早的时期，他们会不断收到来自竞争者们的论文预印本，这时他们会因为落后而感到倍受打击。在这里我所能给出的建议是，应当努力将这种挫败感转化为鼓励你更加勤奋工作的前进的动力。然而这做起来并不容易。

【怀有妒忌的认可】 我的一个同事曾经说，“我们（数学家）的工作，说到底就是为了得到几个朋友的怀有妒忌的认可。”确实，由于我们的研究工作本质上讲还是相当冷僻孤立的，所以不幸的是我们总是以各种方式极度渴求这种认同感，可是坦率讲我们不应该期望过高。实际上，真正的判断来自于自己。没有人能比自己更明白自己所做的工作究竟是什么，过分地担心在乎别人的看法是在浪费时间：因为迄今为止还没有一个定理是通过被选举出来的方式获得证明的。就像费曼 (Feynman) 曾经说过的那样，“你为什么要在乎别人怎么想？”

注释

[1]我自己最初的出发点是研究多项式根的分布问题。幸运的是我在很小年纪就被邀请参加在西雅图举行的一次会议，在那里我受到引导，后来我所有的在因子理论方面的工作都起源于此。

[2]阿莉阿尼是古希腊传说中的克里特国王弥诺斯的长女。国王养了一头怪物，每年要吃七对童男童女。雅典王子忒修斯决心到岛上的迷宫里除掉怪物。在进迷宫前，他偶遇阿莉阿尼公主，公主爱上了他，交给他一个线团，让他将一端放在迷宫外，一端拿在手中，以免迷路。忒修斯杀死怪物后顺线走出迷宫。


本文摘自原载于《数学文化》第4卷第2期的《给年轻数学家的忠告》，经译者授权刊发。