垄断全球顶级数学家，世界数学中心美国普林斯顿学派200年发展史
发表于 ： 周日 4月 14, 2024 4:51 pm
垄断全球顶级数学家，世界数学中心美国普林斯顿学派200年发展史
搜狐
2021-01-02
如果要提到当今世界的数学圣地，那么毫无疑问是普林斯顿学派，普林斯顿学派崛起于二战期间，助力美国成为世界一号强国，这里几乎垄断了全世界所有的顶级数学家，基本上任何有名的数学家都会来到这里求学朝圣，普林斯顿学派的崛起史其实就是美国的崛起史。
普林斯顿的崛起史也是美国的崛起史
1746年，当时美国还是殖民地，殖民地时期，教会在美国生活中起了极大的作用。特别是对美国人的日常生活影响更甚。一个不属于任何教会团体的人。就会处于被人唾弃的地位，没有人跟他交际来往，连他的家庭都要受到歧视。所以美国基督教曙光长老会创立“新泽西学院（College of New Jersey）”，这所学院原本是为培养长老而建立，并不从事科研。
然而到了1896年，经历过美国内战之后的新泽西学院正式改名为普林斯顿大学。同年，学院也进行了大规模的扩建，也正式变了一所大学。在伍德罗·威尔逊任校长期间，普林斯顿新增了一个讨论研究课程，叫做“preceptorial”（1905年），开始重视科研与学术探讨。
这个时候伴随着美国经济的不断繁盛，普林斯顿的数学也开始慢慢崛起，而起到奠基作用的则是范因，1880年范因从普林斯顿大学毕业后，先是在实验物理部门任职，后来又到了数学系，在这里他结识了霍尔斯特德。
而霍尔斯特德是在美国第一所研究型大学约翰·霍普金斯大学的著名数学家西尔维斯特手下拿到的数学博士学位。具备更多数学专业知识的霍尔斯特德告诉范因，真正的数学研究在欧洲，想研究数学就必须去欧洲寻找数学大师。
因此范因来到了欧洲跟随当时世界数学中心哥廷根学派的领袖克莱因学习，哥廷根学派是世界数学的中心，由高斯创立，黎曼、狄利克雷等大数学家都是出自这里，尽管不懂德语，但范因还是凭借自己的数学天赋在一年后就拿到了数学博士学位，后来范因又跟随代数大师克罗内克学习。
范因将世界上最先进的数学知识带回来了普林斯顿，他立志要把普林斯顿打造为世界数学中心，数学家心中的摇篮。
而范因充分学习到了自己老师克莱因的理念——不拘一格纳人才。范因先后将艾森哈特(1876~1965，以微分几何见长)和维布伦( 1880~1960，专长:微分几何，射影几何、)韦德伯恩和、伯克霍夫(1884~1944)吸纳进来了普林斯顿，后来他又自己培养出的拓扑学家亚历山大(1888~1971)、分析学大家希尔(1894~1980)和拓扑学大师莱夫谢茨(1884~1972）。
这让普林斯顿的数学得到了极大的发展，后来数学家、教育家约翰·查尔斯·菲尔兹特别想把国际数学家大会办到北美，以此促进北美数学的跨越发展，要知道国际数学家大会可是数学界极为隆重的盛会，许多数学大师都会出席，并且发表演讲。
菲尔兹竭尽全力主持筹备了 1924 年的多伦多国际数学家大会，这也是大会第一次在欧洲之外召开，这次大会促进了北美数学界与欧洲数学界的交流，将欧洲数学界先进的数学理念带到了欧洲。
菲尔兹
而除此之外，当时希尔伯特将哥廷根学派带到了最辉煌的时刻。那个时候的数学界富有盛名的数学家近一半都是出自哥廷根数学学派，闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；“现代数学之母”诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路。
这个时候的哥廷根群星璀璨，熠熠生辉，大家都自由徜徉在数学的殿堂之中，任凭思想的火花碰撞。
希尔伯特凭借着自己无与伦比的魅力吸引着世界各地的年轻人像朝圣般地奔向哥廷根，大批青年学者涌向哥廷根，不仅从德国、欧洲，而且来自亚洲，那个时候很多有影响的论文都是用德语写的。当时全世界学数学的学生中，最响亮的口号就是“打起你的背包，到哥廷根去”。
去哥廷根的学生最多的是美国。20世纪初，美国在内战之后开始慢慢繁荣稳定，洛克菲勒家族通过投资煤矿、石油、钢铁、铁路和银行业积累了数百万美元的巨额财富，这场革命在19世纪末和20世纪初彻底改变了布卢菲尔德和匹兹堡这类城镇的面貌。当这个家族及其代表开始捐献部分财产的时候，受到对美国高等教育状况不满情绪的影响，坚信“不促进科学发展的国家不能自立”。
洛克菲勒家族前三代成员
洛克菲勒基金会及其分支机构知道欧洲正在兴起一场科学革命，因此他们的第一步就是派遣美国研究生出国留学，由此，大批美国学生得以来到欧洲留学，相当一部分来到了哥廷根，据统计，1862—1934年间获外国学位的美国数学家114人，其中34人是在哥廷根获博士学位的，
这些前往哥廷根学派学习的留学生将知识带回美国，也带动了普林斯顿数学的发展。而真正让普林斯顿成为全球数学中心则是希特勒上台。
1933 年，突然的浩劫降临，毁灭了哥廷根数学学派，那一年希特勒上台了，颁布了一系列针对犹太人的法令。由于不少哥廷根大学的教授都是犹太人，导致不少犹太裔的教授出走。绝大多数哥廷根派的教授逃亡美国。如诺特、柯朗、冯·诺依曼等。
恰逢这时，美国商业大亨拜姆博格找到教育家富莱斯纳，希望在纽约近郊创办一所医学院。
但富莱斯纳告诉他纽约的医学院已经够多了，他建议可以改办一所研究院，进而可以提高美国的科研水平。恰巧富莱斯纳在这时在报纸上读到了维布伦的一篇文章，里面提到:“美国在世界上仍然缺乏学术地位，科学研究的质量在发达国家中处于落后的劣势”。富莱斯纳非常同意维布伦的看法。
普林斯顿高等研究院就这样开始了，不过刚开始的时候还只有数学研究所。他们争取到的第一个对象是爱因斯坦，研究院希望能聘请德国数学大家外尔或英国数学大师哈代中的一位，但显然哈代不会离开剑桥，于是外尔成了争取的主要对象。
外尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”
本来外尔刚开始还有些犹豫，但这个时候希特勒神助攻，对犹太人疯狂的迫害，这使得外尔立马答应了来到普林斯顿。接下来研究院又聘请了数学系的拓扑学大家亚历山大，之后在外尔的坚持下，又聘请了冯·诺依曼，再后来，莫尔斯又从哈佛大学前来加盟。这样研究院就有六位世界级大师坐镇，一下子就使得研究院的数学研究水平达到了世界顶级。此后的几年间，研究院又不断地资助学者前来访问交流和讲学。此时欧洲的局势急转直下，大批犹太裔科学家逃难到了美国，其中又有许多人前来普林斯顿，如当时成就最杰出的女数学家诺特等。
二次世界大战期间，欧洲的数学研究几乎全面停止，只有美国未受太多波及，得以继续高歌猛进。进入50年代之后，最早的一批研究员，如爱因斯坦、维布伦和外尔等都相继退休了，但他们的事业充分地被后来的年轻人所继承了。此时的研究所成员有:哥德尔、塞尔伯格(1950年菲尔兹奖得主)、蒙哥马利(美国群论专家，解决了希尔伯特第五问题)、惠特尼(美国拓扑学家，指引了20世纪下半叶拓扑学的发展方向)、韦依(法国布尔巴基学派灵魂人物)等。普林斯顿虽然远离应用数学，但在基础数学上一直起着先导作用，尤其在传统的强项拓扑学和几何上。
1933年，他们共同创办了举世闻名的应用数学研究所。普林斯顿取代哥廷根成为世界数学的中心。他们不仅创办了《数学年刊》，还开设了数学讨论班.外尔开设连续群、不变量及“当前文献”课与讨论班;莫尔斯开设大范围分析课及讨论班.此外，亚历山大里亚(Alexander, J. W.)和莱夫谢茨(Lefschetz, S.)开设拓扑课及联合讨论班，诺伊曼<Neumann,C. G.)开设算子理论课等。
可以说，普林斯顿数学崛起史就是一部美国的崛起史，正是因为美国当时经济繁荣，国家稳定，大批科学家才会选择来到美国，从而又带动了美国的大发展，让美国成为世界第一强国。
普林斯顿数学中心对美国的推动
普林斯顿数学中心可以说极大地推动了美国的大发展，不仅帮助美国打赢了二战，还让美国成为了世界一号强国。
为什么会这样说呢？有些历史学家将第二次世界大战称为科学家之战。 由于科学需要高深的数学作基础，这场战争实际上也可以说是数学家之战，它触动了普林斯顿数学圈子里的中立主义者。普林斯顿的数学家参与了密码制作和破译的工作，取得的一个突破帮助美国赢得了中途岛之战，这一胜利成为美日海战的转折点。
在英国，拥有普林斯顿博士学位、30年代曾在高等研究院工作过几年的图灵(Alan Turing)和他的小组，在布莱奇利破译了纳粹的密码，德国人对此却一无所知，这一举扭转了争夺大西洋控制权的潜艇战的局势。
奥斯瓦尔德-维布伦和他的几个副手在阿伯丁武器试验场彻底改写了弹道学，刚刚从哈佛来到普林斯顿高等研究院的莫尔斯则在美国军需品总管办公室牵头从事有关研究。另一个数学家、普林斯顿的统计学家威尔克斯(Sam Wilks)每天都根据前一天的观察，准确估计德国潜艇现在的位置。
不过，最伟大的贡献出现在武器设计制造学领域，包括雷达、红外线侦测装置、轰炸机、远程火箭和带有深水炸弹的鱼雷。这些新式武器造价昂贵，军方需要数学家发明新的方法检测它们的效力，并且找出最能发挥效力的途径。运筹学研究可以系统提供军方所需的数据。一枚炸弹需要释放多大的爆炸力才能造成某个程度的破坏？飞机应该加强防护，还是应该轻装上阵以提高速度？如果要轰炸鲁尔，该动用多少枚炸弹？所有这些问题都需要数学知识进行解答。
钱伟长就通过计算德军导弹的射程避免伦敦市中心被破坏
当然，最重要的贡献还是原子弹。普林斯顿的维格纳和哥伦比亚的齐拉(Leo Szilard)写了一封信，带给爱因斯坦，请他在上面签字，向罗斯福(Roosevelt)总统发出警告，说柏林弗里德里希皇帝学院的德国物理学家哈恩(Otto Hahn)已经成功地分裂铀原子，偷渡到丹麦的奥地利犹太人迈特纳( Lise Meitner)完成了如何通过这些成果制造原子弹的计算，这促成了原子弹的研发。而普林斯顿学派的冯·诺依曼第二次世界大战期间曾参与曼哈顿计划，为第一颗原子弹的研制作出了贡献。
第二次世界大战促进了许多数学新知识、新理论的诞生，也确立了普林斯顿成为新的世界数学中心的地位，不仅在拓扑学、代数学和数论领域独占鳌头，计算机理论、运筹学和新生的博弈论也处于领先地位。
所有数学家都希望可以来普林斯顿朝圣，许多新的数学研究成果都在这里诞生，比如复代数几何在普林斯顿的诞生。当时德国数学家希策布鲁赫、法国数学家嘉当和塞尔还有日本的小平邦彦，他们均多次访问普林斯顿，一起研究探讨，将层的上同调理论用于Stein流形之上，并推广到更一般的代数几何上。他们的一系列工作彻底改变了复代数几何的面貌。不仅仅是复代数几何，普林斯顿数学研究其他许多方面的成就都极大地影响了现代数学的发展。
还有计算机，作为“现代计算机之父”、“博弈论之父”的诺依曼，对世界上第一台电子计算机ENIAC（电子数字积分计算机）的设计提出过建议，1945年3月他在共同讨论的基础上起草了一个全新的“存储程序通用电子计算机方案”--EDVAC（Electronic Discrete Variable Automatic Computer的缩写）。这对后来计算机的设计有决定性的影响，特别是确定计算机的结构，采用存储程序以及二进制编码等，至今仍为电子计算机设计者所遵循。
1946年，冯·诺依曼开始研究程序编制问题，他是现代数值分析——计算数学的缔造者之一，他首先研究线性代数和算术的数值计算，后来着重研究非线性微分方程的离散化以及稳定问题，并给出误差的估计。他协助发展了一些算法，特别是蒙特卡罗方法。诺依曼的贡献也让美国计算机发展领先世界。
普林斯顿大学及普林斯顿高等研究院，时至今日仍经久不衰，引领着数学的发展，当之无愧为世界数学中心之一。普林斯顿高等研究院只有少量正式研究员，大部分都是世界各地受资助前来的访问学者。每年研究院有若干的研究主题，由著名大师主持。而访学者研究什么全凭自己意愿。正是这样的自由氛围激发出了许多创造性思想和成果，长期以来，普林斯顿模式都是学术研究的榜样，引领了科学研究的时代步伐。
中国许多的年轻数学家都在普林斯顿学习执教过。如今普林斯顿学派更是被誉为宇宙数学中心，从这你就可以看出它在美国的重要性。
世界数学中心的迁移也就意味着世界主导权的更迭，从欧洲到美国，下一个又会是哪里呢？上世纪90年代，著名数学家陈省身曾预言：“二十一世纪中国必将成为数学大国” ！在华人数学界，这一预言被称为“陈省身猜想”。
希望这个猜想成真！
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普林斯顿大学数学系的崛起
普林斯顿大学数学系和普林斯顿高等研究院数学部，在20世纪30和40年代迅速成为美国学术界冉冉上升的明星，不仅在拓扑学、代数学和数论方面独占鳌头，也在计算机理论、运筹学和新生的博弈论处于领先地位。
第二次世界大战以后，大家都返回普林斯顿，科学和数学被视为战后创造更加美好的世界的关键。由于数学在战争年代对于美国的贡献，政府似乎突然意识到纯粹研究的重要性，军方尤其如此，纷纷拨款资助纯粹理论方面的研究项目。人们充满热情地筹划举办新的一届世界数学家大会，而上一届大会是在战前的阴郁日子里召开的。
1948年秋天，数学系主任所罗门·列夫谢茨教授在西休息室召集所有一年级研究生谈话。他用浓重的法国口音给他们讲述生活的道理，整整讲了一个小时。他的目光锐利，情绪激动，大声说话，还不断用木头假手敲桌子。
他说他们是最优秀的学生，每个人都是经过精心挑选才来到这里的，但是这里是普林斯顿，是真正的数学家从事真正的数学研究的地方，和这里已经成名的数学家相比，他们只不过是一群无知可怜的娃娃而已，普林斯顿就是要把他们培养成人。
他说他们可以自己决定要不要上课，他不会骂他们，分数没有任何意义，只是用来满足那些"讨厌的教务长"的"把戏"。
他对大家的唯一要求就是每天参加下午茶的聚会，在那里他们会见到世界上最了不起的数学家。
当然了，如果他们愿意，他允许他们参观高等研究院，看看他们能不能幸运地见到爱因斯坦、戈德尔或者冯·诺伊曼。
他一再重复的一点是，教授们绝对不会把他们当做娃娃。对于年轻研究生们，列夫谢茨的这番话无异于美国作曲家苏萨的鼓舞人心的乐曲。
毫无疑问，列夫谢茨富有企业家精神，精力充沛。他在莫斯科出生，在法国接受教育，酷爱数学，却由于不是法国公民而不能选修数学，只好学习工程学，后来移民美国。
23岁那年，他正在著名的电气公司西屋公司工作，一场严重的变压器爆炸事故发生，夺去了他的双手。用了几年时间，他才得以康复。其间他深感痛苦绝望，不过这场事故最终促使他下定决心，追求自己的真爱——数学。
他到克拉克大学攻读博士学位，那里因为1912年弗洛伊德曾经举办精神分析讲座而闻名。不久，列夫谢茨和那里的另一位数学系学生相爱，两人结为秦晋之好。毕业之后，他在内布拉斯加州和堪萨斯州教了将近10年的书，一直寂寂无名。
课余时间他撰写了多篇具有原创思想的精辟的论文，渐渐引起学术界的重视，终于有一天，来自普林斯顿大学的一个电话邀请改变了他的生活道路，他成为普林斯顿大学数学系首批犹太人教师之一。
列夫谢茨身材高大，举止粗暴，衣着毫无品味可言。刚来的时候，因为人们常常在走廊里假装看不见他，避免和他打招呼，他常常自称为"看不见的人"。但是他很快证明自己具有非凡的魄力，可以跨越远比这些过分拘谨、媚上傲下的同事更加困难的障碍，一手将普林斯顿数学系从一个"有教养的平凡之辈"培养成为令人景仰的"巨人"。
列夫谢茨招聘数学家只有一个条件，这就是原创性的研究。他注重独立思考和原创精神高于一切，蔑视那些优美或刻板的证明。据说他从来没有在课堂上做完一个正确的证明。
他的第一部全面论述拓扑学的著作提出了"代数拓扑学"的术语，影响深远，其主要价值在于体系，而不是细节，细节方面的确有很有一些欠斟酌的地方。有人传说他是在"一个休息日"里完成这部著作的，他的学生们根本没有机会帮助他整理。
他了解数学的绝大多数领域，但是他的演讲往往没有条理。他的编辑作风专制而又有个性，使普林斯顿一度令人厌倦的《数学年刊》（Annals of Mathematics）一跃成为世界上最受推崇的学术刊物。
有人批评他将许多犹太学生拒之数学系的门外，他却辩解说这是因为担心他们毕业之后多半找不工作。不过，没有人可以否认他确实具有极佳的判断力。他训斥别人，独断专行，有时相当粗暴，但是他的目标只有一个，就是为数学系赢得世界声誉，将学生们培养成和他自己一样坚韧不拔的真正的数学家。
列夫谢茨关于研究生数学教育的思想是以德国和法国名校的传统为基础的，很快就成为普林斯顿的指导纲领，其核心是尽快使学生投入到他们自己的研究工作中去。由于普林斯顿数学系本身就积极从事研究工作，同时有能力对学生进行指导，列夫谢茨的想法得以付诸实践。
博学固然是一项值得尊敬的才能，但这并不是列夫谢茨的目标，他更强调学生应该有能力提出自己独特的看法，作出重要的原创性的发现。
普林斯顿给予学生最大的压力和最小的管制。列夫谢茨就说过，系里不要求学生非来上课不可。数学系确实设立了自己的一整套课程，不过考勤和分数一样，几乎只是幻象。
到了在学生的成绩报告上打分的时候，一些教授会给所有学生判C，另一些教授则会都给A，装装样子而已。一些学生根本不需要上一节课就可以得到分数。的确，所谓成绩单只是用来讨好那些墨守成规、被称为"俗人"的教务长之辈。
比如数学系传统的口试，可能只是要求学生翻译一段法语或德语数学论文。由于选定的论文充满数学符号，文学极少，即便没有多少外语知识的学生也能看出个大概头绪。如果实在搞不清楚，只要学生许诺回去好好研读这份论文，老师们也可能判他合格。
真正要计算成绩的是"总考"，包括5个题目，其中3个由数学系选择，另外2个由考生自行选择，在第一年的年终或第二年进行。不过，即便是这次考试也可能依据每个学生的具体优缺点而进行设计。
举例而言，如果某个学生对一篇论文掌握得很好，而且他总共就知道这一篇论文，那么考官确实有可能大发善心，出题时自觉把内容限制在这篇论文里，好让这个学生顺利通过考试。
学生动笔写毕业论文之前，最重要的事情是要找到一个高资历的教授支持自己选择的题目。整个数学系的教师对学生都相当了解，如果他们认为某个学生实在没有能力完成自己的题目，列夫谢茨就会毫不犹豫地更换导师或干脆叫他离开。因此，通过了总考的学生通常在两三年里就能取得博士学位，而在哈佛则需要六七年，甚至更长的时间。
普林斯顿总是有最好的教授，最好的访问学者，他们授业解惑，可以说是有问必答，但是决不关心考试。如果你自己不思进取，没有人会逼迫你。
普林斯顿总是开最先进的课，每周好几次请世界一流的数学家讲演自己的最新发现。她提供最好的环境，是不是能够利用这个环境，是研究生自己的事情。
至于列夫谢茨，教授们都有点儿夸大地说，正因为他从来没有在课堂上完整地做完一个正确的证明，他的学生不得不把他的漏洞补上，从而练就了本事。
如果教授在课堂上讲的都已经十分正确十分完备，而学生能够把教授所讲背得滚瓜烂熟，那不叫本事。懂得高等教育的人都知道，如果每一步都要讲解得十分完备，你根本不可能在大学讲授一门象样的课程。
下面的合影中，前排中间的是列夫谢茨，他身后是维纳，最右的东方人是华罗庚，华身后第三排最靠边的是冯·诺依曼。
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2021-01-02
如果要提到当今世界的数学圣地，那么毫无疑问是普林斯顿学派，普林斯顿学派崛起于二战期间，助力美国成为世界一号强国，这里几乎垄断了全世界所有的顶级数学家，基本上任何有名的数学家都会来到这里求学朝圣，普林斯顿学派的崛起史其实就是美国的崛起史。
普林斯顿的崛起史也是美国的崛起史
1746年，当时美国还是殖民地，殖民地时期，教会在美国生活中起了极大的作用。特别是对美国人的日常生活影响更甚。一个不属于任何教会团体的人。就会处于被人唾弃的地位，没有人跟他交际来往，连他的家庭都要受到歧视。所以美国基督教曙光长老会创立“新泽西学院（College of New Jersey）”，这所学院原本是为培养长老而建立，并不从事科研。
然而到了1896年，经历过美国内战之后的新泽西学院正式改名为普林斯顿大学。同年，学院也进行了大规模的扩建，也正式变了一所大学。在伍德罗·威尔逊任校长期间，普林斯顿新增了一个讨论研究课程，叫做“preceptorial”（1905年），开始重视科研与学术探讨。
这个时候伴随着美国经济的不断繁盛，普林斯顿的数学也开始慢慢崛起，而起到奠基作用的则是范因，1880年范因从普林斯顿大学毕业后，先是在实验物理部门任职，后来又到了数学系，在这里他结识了霍尔斯特德。
而霍尔斯特德是在美国第一所研究型大学约翰·霍普金斯大学的著名数学家西尔维斯特手下拿到的数学博士学位。具备更多数学专业知识的霍尔斯特德告诉范因，真正的数学研究在欧洲，想研究数学就必须去欧洲寻找数学大师。
因此范因来到了欧洲跟随当时世界数学中心哥廷根学派的领袖克莱因学习，哥廷根学派是世界数学的中心，由高斯创立，黎曼、狄利克雷等大数学家都是出自这里，尽管不懂德语，但范因还是凭借自己的数学天赋在一年后就拿到了数学博士学位，后来范因又跟随代数大师克罗内克学习。
范因将世界上最先进的数学知识带回来了普林斯顿，他立志要把普林斯顿打造为世界数学中心，数学家心中的摇篮。
而范因充分学习到了自己老师克莱因的理念——不拘一格纳人才。范因先后将艾森哈特(1876~1965，以微分几何见长)和维布伦( 1880~1960，专长:微分几何，射影几何、)韦德伯恩和、伯克霍夫(1884~1944)吸纳进来了普林斯顿，后来他又自己培养出的拓扑学家亚历山大(1888~1971)、分析学大家希尔(1894~1980)和拓扑学大师莱夫谢茨(1884~1972）。
这让普林斯顿的数学得到了极大的发展，后来数学家、教育家约翰·查尔斯·菲尔兹特别想把国际数学家大会办到北美，以此促进北美数学的跨越发展，要知道国际数学家大会可是数学界极为隆重的盛会，许多数学大师都会出席，并且发表演讲。
菲尔兹竭尽全力主持筹备了 1924 年的多伦多国际数学家大会，这也是大会第一次在欧洲之外召开，这次大会促进了北美数学界与欧洲数学界的交流，将欧洲数学界先进的数学理念带到了欧洲。
菲尔兹
而除此之外，当时希尔伯特将哥廷根学派带到了最辉煌的时刻。那个时候的数学界富有盛名的数学家近一半都是出自哥廷根数学学派，闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；“现代数学之母”诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路。
这个时候的哥廷根群星璀璨，熠熠生辉，大家都自由徜徉在数学的殿堂之中，任凭思想的火花碰撞。
希尔伯特凭借着自己无与伦比的魅力吸引着世界各地的年轻人像朝圣般地奔向哥廷根，大批青年学者涌向哥廷根，不仅从德国、欧洲，而且来自亚洲，那个时候很多有影响的论文都是用德语写的。当时全世界学数学的学生中，最响亮的口号就是“打起你的背包，到哥廷根去”。
去哥廷根的学生最多的是美国。20世纪初，美国在内战之后开始慢慢繁荣稳定，洛克菲勒家族通过投资煤矿、石油、钢铁、铁路和银行业积累了数百万美元的巨额财富，这场革命在19世纪末和20世纪初彻底改变了布卢菲尔德和匹兹堡这类城镇的面貌。当这个家族及其代表开始捐献部分财产的时候，受到对美国高等教育状况不满情绪的影响，坚信“不促进科学发展的国家不能自立”。
洛克菲勒家族前三代成员
洛克菲勒基金会及其分支机构知道欧洲正在兴起一场科学革命，因此他们的第一步就是派遣美国研究生出国留学，由此，大批美国学生得以来到欧洲留学，相当一部分来到了哥廷根，据统计，1862—1934年间获外国学位的美国数学家114人，其中34人是在哥廷根获博士学位的，
这些前往哥廷根学派学习的留学生将知识带回美国，也带动了普林斯顿数学的发展。而真正让普林斯顿成为全球数学中心则是希特勒上台。
1933 年，突然的浩劫降临，毁灭了哥廷根数学学派，那一年希特勒上台了，颁布了一系列针对犹太人的法令。由于不少哥廷根大学的教授都是犹太人，导致不少犹太裔的教授出走。绝大多数哥廷根派的教授逃亡美国。如诺特、柯朗、冯·诺依曼等。
恰逢这时，美国商业大亨拜姆博格找到教育家富莱斯纳，希望在纽约近郊创办一所医学院。
但富莱斯纳告诉他纽约的医学院已经够多了，他建议可以改办一所研究院，进而可以提高美国的科研水平。恰巧富莱斯纳在这时在报纸上读到了维布伦的一篇文章，里面提到:“美国在世界上仍然缺乏学术地位，科学研究的质量在发达国家中处于落后的劣势”。富莱斯纳非常同意维布伦的看法。
普林斯顿高等研究院就这样开始了，不过刚开始的时候还只有数学研究所。他们争取到的第一个对象是爱因斯坦，研究院希望能聘请德国数学大家外尔或英国数学大师哈代中的一位，但显然哈代不会离开剑桥，于是外尔成了争取的主要对象。
外尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”
本来外尔刚开始还有些犹豫，但这个时候希特勒神助攻，对犹太人疯狂的迫害，这使得外尔立马答应了来到普林斯顿。接下来研究院又聘请了数学系的拓扑学大家亚历山大，之后在外尔的坚持下，又聘请了冯·诺依曼，再后来，莫尔斯又从哈佛大学前来加盟。这样研究院就有六位世界级大师坐镇，一下子就使得研究院的数学研究水平达到了世界顶级。此后的几年间，研究院又不断地资助学者前来访问交流和讲学。此时欧洲的局势急转直下，大批犹太裔科学家逃难到了美国，其中又有许多人前来普林斯顿，如当时成就最杰出的女数学家诺特等。
二次世界大战期间，欧洲的数学研究几乎全面停止，只有美国未受太多波及，得以继续高歌猛进。进入50年代之后，最早的一批研究员，如爱因斯坦、维布伦和外尔等都相继退休了，但他们的事业充分地被后来的年轻人所继承了。此时的研究所成员有:哥德尔、塞尔伯格(1950年菲尔兹奖得主)、蒙哥马利(美国群论专家，解决了希尔伯特第五问题)、惠特尼(美国拓扑学家，指引了20世纪下半叶拓扑学的发展方向)、韦依(法国布尔巴基学派灵魂人物)等。普林斯顿虽然远离应用数学，但在基础数学上一直起着先导作用，尤其在传统的强项拓扑学和几何上。
1933年，他们共同创办了举世闻名的应用数学研究所。普林斯顿取代哥廷根成为世界数学的中心。他们不仅创办了《数学年刊》，还开设了数学讨论班.外尔开设连续群、不变量及“当前文献”课与讨论班;莫尔斯开设大范围分析课及讨论班.此外，亚历山大里亚(Alexander, J. W.)和莱夫谢茨(Lefschetz, S.)开设拓扑课及联合讨论班，诺伊曼<Neumann,C. G.)开设算子理论课等。
可以说，普林斯顿数学崛起史就是一部美国的崛起史，正是因为美国当时经济繁荣，国家稳定，大批科学家才会选择来到美国，从而又带动了美国的大发展，让美国成为世界第一强国。
普林斯顿数学中心对美国的推动
普林斯顿数学中心可以说极大地推动了美国的大发展，不仅帮助美国打赢了二战，还让美国成为了世界一号强国。
为什么会这样说呢？有些历史学家将第二次世界大战称为科学家之战。 由于科学需要高深的数学作基础，这场战争实际上也可以说是数学家之战，它触动了普林斯顿数学圈子里的中立主义者。普林斯顿的数学家参与了密码制作和破译的工作，取得的一个突破帮助美国赢得了中途岛之战，这一胜利成为美日海战的转折点。
在英国，拥有普林斯顿博士学位、30年代曾在高等研究院工作过几年的图灵(Alan Turing)和他的小组，在布莱奇利破译了纳粹的密码，德国人对此却一无所知，这一举扭转了争夺大西洋控制权的潜艇战的局势。
奥斯瓦尔德-维布伦和他的几个副手在阿伯丁武器试验场彻底改写了弹道学，刚刚从哈佛来到普林斯顿高等研究院的莫尔斯则在美国军需品总管办公室牵头从事有关研究。另一个数学家、普林斯顿的统计学家威尔克斯(Sam Wilks)每天都根据前一天的观察，准确估计德国潜艇现在的位置。
不过，最伟大的贡献出现在武器设计制造学领域，包括雷达、红外线侦测装置、轰炸机、远程火箭和带有深水炸弹的鱼雷。这些新式武器造价昂贵，军方需要数学家发明新的方法检测它们的效力，并且找出最能发挥效力的途径。运筹学研究可以系统提供军方所需的数据。一枚炸弹需要释放多大的爆炸力才能造成某个程度的破坏？飞机应该加强防护，还是应该轻装上阵以提高速度？如果要轰炸鲁尔，该动用多少枚炸弹？所有这些问题都需要数学知识进行解答。
钱伟长就通过计算德军导弹的射程避免伦敦市中心被破坏
当然，最重要的贡献还是原子弹。普林斯顿的维格纳和哥伦比亚的齐拉(Leo Szilard)写了一封信，带给爱因斯坦，请他在上面签字，向罗斯福(Roosevelt)总统发出警告，说柏林弗里德里希皇帝学院的德国物理学家哈恩(Otto Hahn)已经成功地分裂铀原子，偷渡到丹麦的奥地利犹太人迈特纳( Lise Meitner)完成了如何通过这些成果制造原子弹的计算，这促成了原子弹的研发。而普林斯顿学派的冯·诺依曼第二次世界大战期间曾参与曼哈顿计划，为第一颗原子弹的研制作出了贡献。
第二次世界大战促进了许多数学新知识、新理论的诞生，也确立了普林斯顿成为新的世界数学中心的地位，不仅在拓扑学、代数学和数论领域独占鳌头，计算机理论、运筹学和新生的博弈论也处于领先地位。
所有数学家都希望可以来普林斯顿朝圣，许多新的数学研究成果都在这里诞生，比如复代数几何在普林斯顿的诞生。当时德国数学家希策布鲁赫、法国数学家嘉当和塞尔还有日本的小平邦彦，他们均多次访问普林斯顿，一起研究探讨，将层的上同调理论用于Stein流形之上，并推广到更一般的代数几何上。他们的一系列工作彻底改变了复代数几何的面貌。不仅仅是复代数几何，普林斯顿数学研究其他许多方面的成就都极大地影响了现代数学的发展。
还有计算机，作为“现代计算机之父”、“博弈论之父”的诺依曼，对世界上第一台电子计算机ENIAC（电子数字积分计算机）的设计提出过建议，1945年3月他在共同讨论的基础上起草了一个全新的“存储程序通用电子计算机方案”--EDVAC（Electronic Discrete Variable Automatic Computer的缩写）。这对后来计算机的设计有决定性的影响，特别是确定计算机的结构，采用存储程序以及二进制编码等，至今仍为电子计算机设计者所遵循。
1946年，冯·诺依曼开始研究程序编制问题，他是现代数值分析——计算数学的缔造者之一，他首先研究线性代数和算术的数值计算，后来着重研究非线性微分方程的离散化以及稳定问题，并给出误差的估计。他协助发展了一些算法，特别是蒙特卡罗方法。诺依曼的贡献也让美国计算机发展领先世界。
普林斯顿大学及普林斯顿高等研究院，时至今日仍经久不衰，引领着数学的发展，当之无愧为世界数学中心之一。普林斯顿高等研究院只有少量正式研究员，大部分都是世界各地受资助前来的访问学者。每年研究院有若干的研究主题，由著名大师主持。而访学者研究什么全凭自己意愿。正是这样的自由氛围激发出了许多创造性思想和成果，长期以来，普林斯顿模式都是学术研究的榜样，引领了科学研究的时代步伐。
中国许多的年轻数学家都在普林斯顿学习执教过。如今普林斯顿学派更是被誉为宇宙数学中心，从这你就可以看出它在美国的重要性。
世界数学中心的迁移也就意味着世界主导权的更迭，从欧洲到美国，下一个又会是哪里呢？上世纪90年代，著名数学家陈省身曾预言：“二十一世纪中国必将成为数学大国” ！在华人数学界，这一预言被称为“陈省身猜想”。
希望这个猜想成真！
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普林斯顿大学数学系的崛起
普林斯顿大学数学系和普林斯顿高等研究院数学部，在20世纪30和40年代迅速成为美国学术界冉冉上升的明星，不仅在拓扑学、代数学和数论方面独占鳌头，也在计算机理论、运筹学和新生的博弈论处于领先地位。
第二次世界大战以后，大家都返回普林斯顿，科学和数学被视为战后创造更加美好的世界的关键。由于数学在战争年代对于美国的贡献，政府似乎突然意识到纯粹研究的重要性，军方尤其如此，纷纷拨款资助纯粹理论方面的研究项目。人们充满热情地筹划举办新的一届世界数学家大会，而上一届大会是在战前的阴郁日子里召开的。
1948年秋天，数学系主任所罗门·列夫谢茨教授在西休息室召集所有一年级研究生谈话。他用浓重的法国口音给他们讲述生活的道理，整整讲了一个小时。他的目光锐利，情绪激动，大声说话，还不断用木头假手敲桌子。
他说他们是最优秀的学生，每个人都是经过精心挑选才来到这里的，但是这里是普林斯顿，是真正的数学家从事真正的数学研究的地方，和这里已经成名的数学家相比，他们只不过是一群无知可怜的娃娃而已，普林斯顿就是要把他们培养成人。
他说他们可以自己决定要不要上课，他不会骂他们，分数没有任何意义，只是用来满足那些"讨厌的教务长"的"把戏"。
他对大家的唯一要求就是每天参加下午茶的聚会，在那里他们会见到世界上最了不起的数学家。
当然了，如果他们愿意，他允许他们参观高等研究院，看看他们能不能幸运地见到爱因斯坦、戈德尔或者冯·诺伊曼。
他一再重复的一点是，教授们绝对不会把他们当做娃娃。对于年轻研究生们，列夫谢茨的这番话无异于美国作曲家苏萨的鼓舞人心的乐曲。
毫无疑问，列夫谢茨富有企业家精神，精力充沛。他在莫斯科出生，在法国接受教育，酷爱数学，却由于不是法国公民而不能选修数学，只好学习工程学，后来移民美国。
23岁那年，他正在著名的电气公司西屋公司工作，一场严重的变压器爆炸事故发生，夺去了他的双手。用了几年时间，他才得以康复。其间他深感痛苦绝望，不过这场事故最终促使他下定决心，追求自己的真爱——数学。
他到克拉克大学攻读博士学位，那里因为1912年弗洛伊德曾经举办精神分析讲座而闻名。不久，列夫谢茨和那里的另一位数学系学生相爱，两人结为秦晋之好。毕业之后，他在内布拉斯加州和堪萨斯州教了将近10年的书，一直寂寂无名。
课余时间他撰写了多篇具有原创思想的精辟的论文，渐渐引起学术界的重视，终于有一天，来自普林斯顿大学的一个电话邀请改变了他的生活道路，他成为普林斯顿大学数学系首批犹太人教师之一。
列夫谢茨身材高大，举止粗暴，衣着毫无品味可言。刚来的时候，因为人们常常在走廊里假装看不见他，避免和他打招呼，他常常自称为"看不见的人"。但是他很快证明自己具有非凡的魄力，可以跨越远比这些过分拘谨、媚上傲下的同事更加困难的障碍，一手将普林斯顿数学系从一个"有教养的平凡之辈"培养成为令人景仰的"巨人"。
列夫谢茨招聘数学家只有一个条件，这就是原创性的研究。他注重独立思考和原创精神高于一切，蔑视那些优美或刻板的证明。据说他从来没有在课堂上做完一个正确的证明。
他的第一部全面论述拓扑学的著作提出了"代数拓扑学"的术语，影响深远，其主要价值在于体系，而不是细节，细节方面的确有很有一些欠斟酌的地方。有人传说他是在"一个休息日"里完成这部著作的，他的学生们根本没有机会帮助他整理。
他了解数学的绝大多数领域，但是他的演讲往往没有条理。他的编辑作风专制而又有个性，使普林斯顿一度令人厌倦的《数学年刊》（Annals of Mathematics）一跃成为世界上最受推崇的学术刊物。
有人批评他将许多犹太学生拒之数学系的门外，他却辩解说这是因为担心他们毕业之后多半找不工作。不过，没有人可以否认他确实具有极佳的判断力。他训斥别人，独断专行，有时相当粗暴，但是他的目标只有一个，就是为数学系赢得世界声誉，将学生们培养成和他自己一样坚韧不拔的真正的数学家。
列夫谢茨关于研究生数学教育的思想是以德国和法国名校的传统为基础的，很快就成为普林斯顿的指导纲领，其核心是尽快使学生投入到他们自己的研究工作中去。由于普林斯顿数学系本身就积极从事研究工作，同时有能力对学生进行指导，列夫谢茨的想法得以付诸实践。
博学固然是一项值得尊敬的才能，但这并不是列夫谢茨的目标，他更强调学生应该有能力提出自己独特的看法，作出重要的原创性的发现。
普林斯顿给予学生最大的压力和最小的管制。列夫谢茨就说过，系里不要求学生非来上课不可。数学系确实设立了自己的一整套课程，不过考勤和分数一样，几乎只是幻象。
到了在学生的成绩报告上打分的时候，一些教授会给所有学生判C，另一些教授则会都给A，装装样子而已。一些学生根本不需要上一节课就可以得到分数。的确，所谓成绩单只是用来讨好那些墨守成规、被称为"俗人"的教务长之辈。
比如数学系传统的口试，可能只是要求学生翻译一段法语或德语数学论文。由于选定的论文充满数学符号，文学极少，即便没有多少外语知识的学生也能看出个大概头绪。如果实在搞不清楚，只要学生许诺回去好好研读这份论文，老师们也可能判他合格。
真正要计算成绩的是"总考"，包括5个题目，其中3个由数学系选择，另外2个由考生自行选择，在第一年的年终或第二年进行。不过，即便是这次考试也可能依据每个学生的具体优缺点而进行设计。
举例而言，如果某个学生对一篇论文掌握得很好，而且他总共就知道这一篇论文，那么考官确实有可能大发善心，出题时自觉把内容限制在这篇论文里，好让这个学生顺利通过考试。
学生动笔写毕业论文之前，最重要的事情是要找到一个高资历的教授支持自己选择的题目。整个数学系的教师对学生都相当了解，如果他们认为某个学生实在没有能力完成自己的题目，列夫谢茨就会毫不犹豫地更换导师或干脆叫他离开。因此，通过了总考的学生通常在两三年里就能取得博士学位，而在哈佛则需要六七年，甚至更长的时间。
普林斯顿总是有最好的教授，最好的访问学者，他们授业解惑，可以说是有问必答，但是决不关心考试。如果你自己不思进取，没有人会逼迫你。
普林斯顿总是开最先进的课，每周好几次请世界一流的数学家讲演自己的最新发现。她提供最好的环境，是不是能够利用这个环境，是研究生自己的事情。
至于列夫谢茨，教授们都有点儿夸大地说，正因为他从来没有在课堂上完整地做完一个正确的证明，他的学生不得不把他的漏洞补上，从而练就了本事。
如果教授在课堂上讲的都已经十分正确十分完备，而学生能够把教授所讲背得滚瓜烂熟，那不叫本事。懂得高等教育的人都知道，如果每一步都要讲解得十分完备，你根本不可能在大学讲授一门象样的课程。
下面的合影中，前排中间的是列夫谢茨，他身后是维纳，最右的东方人是华罗庚，华身后第三排最靠边的是冯·诺依曼。
