普林斯顿学派的兴起是美国数学崛起的重要原因----莱夫谢茨的对数学和普林斯顿学派的贡献
发表于 ： 周一 4月 15, 2024 8:38 pm
普林斯顿学派的兴起是美国数学崛起的重要原因
--莱夫谢茨的对数学和普林斯顿学派的贡献
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美国普林斯顿学派是20世纪初兴起的学派，该学派的研究领域以微分几何学和射影几何学为基础，逐渐扩展到拓扑学。莱夫谢茨就是早期拓扑学研究的重要数学家，对拓扑学的发展做出了长远贡献，是美国普林斯顿拓扑学派的主要奠基人之一。
20世纪初，美国数学一跃而起，直追发达的欧洲。其中美国的拓扑学派包揽许多数学大家，所罗门·莱夫谢茨(Solomon Lefschetz)就是其中重要分支“代数拓扑学”学派的主要传人之一。莱夫谢茨在普林斯顿奋斗了30年，从一名孤军奋战、丧失信心的残疾青年，成为众人敬重的拓扑学大家，并带领美国拓扑学派走向了世界数学的中心。他的许多著作都成为了拓扑学的重要文献，比如《拓扑学》(Topology, 1930)和《代数拓扑学》(Algebraic Topology, 1942)，特别是后者，它是第一本以“代数拓扑学”命名的著作，在较长一段时间内成为经典。
不平凡的经历
莱夫谢茨1884年9月3日出生于莫斯科，犹太人。他的父亲亚历山大·莱夫谢茨(Alexander Lefschetz)和母亲薇拉(Vera)都是土耳其公民。由于父亲做生意需要经常去波斯出差，所以决定一家人定居巴黎，他认为在那里孩子可以接受更好的教育。因此莱夫谢茨的第一语言是法语，俄语是他十几岁时才开始学的[1]。
1902年至1905年，莱夫谢茨在巴黎中央艺术与制造学院(Ecole Centrale)接受工程师培训，并在那里听了皮卡德(E. Picard)和阿佩尔(P. Appell)的讲座，自此对工程学产生了浓厚的兴趣。1905年，他获得了“艺术与制造工程师”学位，这是他为人所知的第一件事。然而，由于莱夫谢茨还不是法国公民，他很难在法国获得一个学术职位。
1905年，莱夫谢茨又移民到美国。开始他在鲍德温火车头厂工作了一段时间，1907年到1910年，他在匹兹堡的西屋电气公司工作。1907年11月的一天，他不幸遭遇了一次实验室事故：变压器爆炸烧毁了他的双手。这不仅造成他身体上的伤痛，同样对他的精神造成了重大伤害。在医院住了一段时间后，他不得不放弃工程师的事业，接受了需要安装人工假肢的事实，这也是他后来转战投入数学事业的原因。失去双手的莱夫谢茨并没有自暴自弃，依靠强大的意志力和不懈的努力，他成为了克拉克大学的研究生，也是在这里于1911年获得博士学位[2]。
在克拉克大学读研究生时，莱夫谢茨遇到了同样喜欢在图书馆学习的数学系学生海耶斯(A. B. Hayes)。他们于1913年7月3日结婚，一年后他于1914年6月17日成为美国公民。他的妻子帮助他克服障碍，在工作中鼓励他，抑制他好斗的性情，也正因有妻子的陪伴和鼓励，才使莱夫谢茨慢慢重拾信心摆脱阴影。他在获得了数学博士学位后，又在中西部的大学获得一系列职位：内布拉斯加大学讲师(1911—1913)，堪萨斯大学讲师(1913—1916)、助理教授(1916—1919)、副教授(1919—1923)和教授(1923—1925)。那段岁月是莱夫谢茨一生中最重要的时期之一，在离开堪萨斯去普林斯顿前，他对代数几何学巨大贡献的主要部分已经完成。在来中西部之前，他只是一个无名小卒，但在14年后他即将离开时，已经成为当时最杰出的几何学家之一。莱夫谢茨在书中提到了那些年的经历对他数学发展的重要性：“我在完全与世隔绝的西方生活的那些年，对我的发展起到了‘灯塔’的作用。”[3]从1924年到1938年，他被任命为普林斯顿大学的教师。
讲课中的莱夫谢茨
在1920年代和1930年代，莱夫谢茨得以尽情享受对旅行的热爱，他多次前往欧洲国家旅行，特别喜欢访问法国、意大利和苏联。然而，第二次世界大战的爆发使到欧洲旅行几乎成为不可能，所以他选择了墨西哥，并于1944年首次访问墨西哥国立大学。他最终养成了每年夏天都要在那里度过几个月的习惯。莱夫谢茨对墨西哥的数学做出了重要贡献，他帮助那里建立了一所繁荣的学校。1964年，莱夫谢茨因其对墨西哥数学的贡献，从马托斯(L. Mateos)总统那里获得了“阿吉拉·阿兹特克(Aguila Azteca)勋章”。
二战期间，莱夫谢茨在美国海军部担任顾问。除了美国数学学会和国家科学院，他还是美国哲学学会成员，欧洲许多数学学会的荣誉成员，也是巴黎科学院、米兰伦巴多科学院、马德里科学院、伦敦数学学会、皇家学会的外国成员。1956年，他获得了德林塞学院颁发的安东尼奥·费尔特利内利国际奖。此外，莱夫谢茨还被克拉克大学、布拉格大学、墨西哥大学、巴黎大学、布朗大学和普林斯顿大学授予荣誉学位。1964年，约翰逊总统授予他国家科学奖章，以表彰他在发展数学和培养数学家方面不屈不挠的领导能力，在代数几何和拓扑学方面的基础论文，以及促进非线性控制过程中必要的研究。1972年10月5日，莱夫谢茨在普林斯顿患病去世，享年88岁。
对拓扑学发展的贡献
莱夫谢茨是代数拓扑学的主要研究者之一。他在代数几何和拓扑学方面完成了几项创造性基础研究工作，最著名的工作是将拓扑学与代数几何联系起来，此外还对微分方程、控制理论和非线性力学等数学领域做出了重要贡献。
早期代数拓扑是怎样开始的呢?莱夫谢茨认定可将起点放在欧拉特性上，也许也可以放在默比乌斯带上，最准确的应该是放在黎曼曲面上[4]。在1930年代中期，代数拓扑学的成果开始显著增加。“拓扑学”一词来源于莱夫谢茨1930年写的一篇专题论文的标题。他发展了交理论，包括流形的交环理论;他对各种同调理论，特别是相对同调、奇异同调和上同调，都做出了重要贡献。
在他的文章《一篇数学自传》(A Page of Mathematical Autobiography, 1968)中，莱夫谢茨解释了他是如何开始将拓扑方法应用于代数曲面理论的。在阅读了皮卡德的《分析之旅》(Analysis of the Journey)和西马特(E. Cimarte)的《两个独立变量的代数函数理论》(Algebraic Function Theory for Two Independent Variables)后，他对数学的兴趣由映射轨迹的代数性质转向代数轨迹的内在性质，并在皮卡德和庞加莱文章的影响下，他建立了一个基本完整的代数曲面拓扑理论[5]，这一工作最终发表在1921年的《美国数学学会会刊》(Journal of the American Mathematical Society)中，并因此获得了美国数学学会的博谢(Bocher)奖。1923年，他发表了关于紧致可定向流形的不动点定理，并在1926年的《美国数学学会会刊》上发表了他著名的《复形和流形的交与变换》(Intersections and Transformations of Complex and Manifolds)[6]。
莱夫谢茨的研究主要在于拓扑学，尤其在不动点类理论、对偶性和交理论方面都是一流的。莱夫谢茨所做的就是把这些早期的想法结合起来，并建立起一般形式。
莱夫谢茨提出，用拓扑问题代替定点几何问题的基本步骤是：①识别一个维数为m的非奇异代数簇V是一个维数为2m的可定向拓扑流形;②复维数为r的任何子簇都定义了M(V)的2R循环。然后需要去证明M(V)中任意两个维数为s和t的循环，它们可以替换为交集维数为2m-s-t的两个同调循环τ和γ [7]。莱夫谢茨关于交理论的主要工作是在1925—1926年完成的，他在一系列论文中逐渐发展了这个理论，尤其在他的这几篇文章——《流形的连续变换》(Continuos Transformation of Manifolds, 1923)《复形和流形的交与变换》——上得到体现。
1923年，莱夫谢茨用他的更原始的交理论得到了他的连续自变换的不动点公式的定向流形。然而，莱夫谢茨并不满足于只给出绝对定向流形的这个公式，他后来在拓扑学上的大部分工作都是研究更一般的空间，在这些空间中他可以得到一些不动点定理。
最后必须提到莱夫谢茨对局部连通理论的贡献。主要是要找到比流形更一般的空间类型，使在这一空间中可以用对偶定理构造同调理论，莱夫谢茨的贡献主要是讨论了X空间的局部连通性。在此基础上，莱夫谢茨又证明了不动点定理对于紧凑的同调局部连通空间是有效的[8]。
总的来说，莱夫谢茨对代数拓扑的主要贡献是他的流形不动点定理，他发展了广义局部连通空间的奇异链复合体的代数机制、相对同调和对偶理论，得到了相应的不动点公式。他写了大量论文来推理从封闭流形到相对流形，到一般复形，到局部连通空间最终形式的过程。莱夫谢茨在代数簇拓扑方面的工作的第一个应用是第二类积分理论。他在这一课题上的一些工作先于变体拓扑学的工作，而且很明显，他是为了在积分研究中取得进展才被引上拓扑学研究的。在拓扑学方向，莱夫谢茨出版了两本在当时内容非常全面的著作，分别是1930年的《拓扑学》和1942年的《代数拓扑学》。
在对代数几何和代数拓扑的广泛研究之后，莱夫谢茨进入了第三个领域，在1946年出版了专著《微分方程讲座》[9]。他以孜孜不倦的精神和热情，先后参加在普林斯顿大学、普林斯顿高等研究院、布朗大学的杰出的研究小组进行工作。从普林斯顿大学退休后，他还在墨西哥大学担任数学教授，继续从事这项研究，包括积分问题等。莱夫谢茨研究数学延续了约60年，他的出版物大约有134多项，足以写一部跨越半世纪的数学历史记录。
莱夫谢茨及普林斯顿学派
二战期间，普林斯顿学派兴起，经过不断的招贤纳士、创新研究，成为世界上远近闻名的数学中心，许多国家的数学家都慕名而来进修学习，可以说普林斯顿学派的兴起是美国数学崛起的重要原因。学派创始人是维布伦(O. Veblen)和范因(H. B. Fine)。维布伦1905年开始到普林斯顿任教，对几何学颇有研究。范因1885年就定居普林斯顿，任普林斯顿大学数学系主任。开始普林斯顿学派较为熟知的是代数几何学和数理逻辑，后来逐渐过渡到拓扑学。拓扑学起初是在欧洲德语区发展的，柏林、格丁根、莱比锡、慕尼黑和维也纳的大学对拓扑学的发展有特别重要的作用。莱夫谢茨和斯廷罗德(N. Steenrod)、莫尔斯(M. Morse)、惠特尼(H. Whitney)、亚历山大(J. Alexander)等数学家将拓扑学带入普林斯顿大学。
普林斯顿大学
普林斯顿大学的前身是“新泽西学院(College of New Jersey)”，当时它是由美国基督教为了培养长老创立的，从不搞科研。然而到了1896年，由于美国内战，新泽西学院改名为普林斯顿大学。1903年威尔逊(W. Wilson)任普林斯顿大学的首任校长，他的首要任务是将教育计划的质量与大学的升级地位相匹配，因此他广纳贤士，委任大量的优秀年轻人共同建设大学。比如刚刚在芝加哥大学博士毕业的青年数学家伯克霍夫(G. Birkhoff)，穆尔(R. L. Moore)和维布伦[10]。后来伯克霍夫和穆尔相继离开，维布伦留了下来。1924年莱夫谢茨花了一年时间访问普林斯顿大学，访问结束后被数学系主任范因邀请到普林斯顿当客座教授，后被任命为副教授，1928年转为正教授。
1933年，普林斯顿高等研究院正式成立，简称IAS。从理论上讲，这个计划的实现是在维布伦思想的基础上进行的。这是一个高级研究所，不属于普林斯顿大学，但位于普林斯顿的“范因楼”中，研究院也可以使用普林斯顿大学的设备，这样两个机构都认识到了合作的好处，研究院的研讨会也向大学的人员开放，反之亦然。研究院由几个学部组成，最先决定建立的是数学学部研究院。这导致大学的三个主要成员的迁移：维布伦、亚历山大和冯·诺伊曼，但是大学依然为他们保留了职位，以便于继续指导学生写论文、获得学位。
在普林斯顿，包括维布伦著作、亚历山大关于对偶性的证明，加上莱夫谢茨的不动点等成就，使得普林斯顿学派成为世界上数学领域的领头羊。在普林斯顿的活跃气氛下，拓扑学研究方面出现了大量人才：维布伦的学生有托马斯(T. Y. Thomas)和怀特黑德(H. C. Whitehead)，莱夫谢茨在这一时期的优秀学生有史密斯(P. A. Smith)、塔克(A. W. Tucker)、沃尔曼(H. Wallman)和道克(C. H. Dowker)。1928年，亚历山大发明了他著名的纽结多项式，而1930年，莱夫谢茨刊行了他具有一定影响的书，因为维布伦已经用了经典的《位置分析》为书名，莱夫谢茨就不得不改用一个新词，因此书名为《拓扑学》。普林斯顿就是以这个光辉的事件为起点，将拓扑学延续至今。莱夫谢茨也成为了著名的普林斯顿拓扑学派的代表人物之一。
在普林斯顿，莱夫谢茨不仅有较强的学术研究能力，人际关系方面也相处得非常好。莱夫谢茨有两位拓扑学的好友——亚历山大和维布伦。亚历山大和莱夫谢茨有着相似的兴趣，所以经常聚在一起讨论交流，热烈探究不动点类理论及对偶定理方面的问题。
莱夫谢茨还精通多种语言，是一位才华横溢的语言学家，精通俄语、英语、法语等，有时候还会在讲座中做一些翻译工作[11]。莱夫谢茨对自己有很高的要求，他把这些要求用到他的学生们身上，对他们严格要求，悉心培养，使普林斯顿数学系成为雇佣顶尖人才的最佳组织。当被问及普林斯顿大学是怎么雇佣自己时，他说：“当你处于顶峰时，你就没有别的办法了。”莱夫谢茨无论走到哪里，都在寻找优秀研究生，比如在访问墨西哥期间就吸引了一些像阿德姆(J. Adem)这样优秀的研究生去普林斯顿。中国拓扑学第一人江泽涵在1930年获哈佛大学博士学位后，到普林斯顿大学做莱夫谢茨的研究助教，跟随这位拓扑学大师研究不动点类理论。
莱夫谢茨是一位伟大的数学家，也是一位有趣的人。他以他机智、热情的指导，对自己的学生和其他后世数学家都产生了巨大影响，为许多年轻人奠定了深厚的学科根基。他对数学和普林斯顿大学的影响非常大，非常积极，也深刻影响了美国的数学。
[1]Lawrence M. Solomon Lefschetz: An Appreciation in Memoriam. Bulletin of the American Mathematical Society, 1973, 79(4): 663-675.
[2]Hodge W. Solomon Lefschetz, 1884-1972. Biographical Memoirs of Fellows of The Royal Society, 1973: 432-453.
[3]Hodge W. Solomon Lefschetz. Bulletin of the London Mathematical Society, 1973, 6(2): 432-453.
[4]Mazur B. Applications of Algebraic Topology by Solomon Lefschetz. American Scientist, 1976, 64(4): 460.
[5]Ewing J. Review: Solomon Lefschetz, Applications of Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society, 1924: 347-348.
[6]Lefschetz S. The Early Development of Algebaic Topology. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, 1970, 1(1): 1-48.
[7]Flexner W W. Review: Solomon Lefschetz, Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society, 1943, 49(3): 205-208.
[8]Tucker W A. Solomon Lefschetz: A Reminiscence. The Two-Year College Mathematics Journal, 1983, 14(3): 22.
[9]Lefschetz S. The Early Development of Algebraic Geometry. American Mathematical Monthly, 1969, 76(5): 451-460.
[10]LaSalle J P. Memorial to Solomon Lefschetz. IEEE Transactions on Automatic Control, 1973, 18(2): 89-90.
[11]Fox R H. Algebraic Geometry and Topology: A Symposium in Honor of Solomon Lefschetz. American: Princeton University Press, 2015: 3-389.
--莱夫谢茨的对数学和普林斯顿学派的贡献
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美国普林斯顿学派是20世纪初兴起的学派，该学派的研究领域以微分几何学和射影几何学为基础，逐渐扩展到拓扑学。莱夫谢茨就是早期拓扑学研究的重要数学家，对拓扑学的发展做出了长远贡献，是美国普林斯顿拓扑学派的主要奠基人之一。
20世纪初，美国数学一跃而起，直追发达的欧洲。其中美国的拓扑学派包揽许多数学大家，所罗门·莱夫谢茨(Solomon Lefschetz)就是其中重要分支“代数拓扑学”学派的主要传人之一。莱夫谢茨在普林斯顿奋斗了30年，从一名孤军奋战、丧失信心的残疾青年，成为众人敬重的拓扑学大家，并带领美国拓扑学派走向了世界数学的中心。他的许多著作都成为了拓扑学的重要文献，比如《拓扑学》(Topology, 1930)和《代数拓扑学》(Algebraic Topology, 1942)，特别是后者，它是第一本以“代数拓扑学”命名的著作，在较长一段时间内成为经典。
不平凡的经历
莱夫谢茨1884年9月3日出生于莫斯科，犹太人。他的父亲亚历山大·莱夫谢茨(Alexander Lefschetz)和母亲薇拉(Vera)都是土耳其公民。由于父亲做生意需要经常去波斯出差，所以决定一家人定居巴黎，他认为在那里孩子可以接受更好的教育。因此莱夫谢茨的第一语言是法语，俄语是他十几岁时才开始学的[1]。
1902年至1905年，莱夫谢茨在巴黎中央艺术与制造学院(Ecole Centrale)接受工程师培训，并在那里听了皮卡德(E. Picard)和阿佩尔(P. Appell)的讲座，自此对工程学产生了浓厚的兴趣。1905年，他获得了“艺术与制造工程师”学位，这是他为人所知的第一件事。然而，由于莱夫谢茨还不是法国公民，他很难在法国获得一个学术职位。
1905年，莱夫谢茨又移民到美国。开始他在鲍德温火车头厂工作了一段时间，1907年到1910年，他在匹兹堡的西屋电气公司工作。1907年11月的一天，他不幸遭遇了一次实验室事故：变压器爆炸烧毁了他的双手。这不仅造成他身体上的伤痛，同样对他的精神造成了重大伤害。在医院住了一段时间后，他不得不放弃工程师的事业，接受了需要安装人工假肢的事实，这也是他后来转战投入数学事业的原因。失去双手的莱夫谢茨并没有自暴自弃，依靠强大的意志力和不懈的努力，他成为了克拉克大学的研究生，也是在这里于1911年获得博士学位[2]。
在克拉克大学读研究生时，莱夫谢茨遇到了同样喜欢在图书馆学习的数学系学生海耶斯(A. B. Hayes)。他们于1913年7月3日结婚，一年后他于1914年6月17日成为美国公民。他的妻子帮助他克服障碍，在工作中鼓励他，抑制他好斗的性情，也正因有妻子的陪伴和鼓励，才使莱夫谢茨慢慢重拾信心摆脱阴影。他在获得了数学博士学位后，又在中西部的大学获得一系列职位：内布拉斯加大学讲师(1911—1913)，堪萨斯大学讲师(1913—1916)、助理教授(1916—1919)、副教授(1919—1923)和教授(1923—1925)。那段岁月是莱夫谢茨一生中最重要的时期之一，在离开堪萨斯去普林斯顿前，他对代数几何学巨大贡献的主要部分已经完成。在来中西部之前，他只是一个无名小卒，但在14年后他即将离开时，已经成为当时最杰出的几何学家之一。莱夫谢茨在书中提到了那些年的经历对他数学发展的重要性：“我在完全与世隔绝的西方生活的那些年，对我的发展起到了‘灯塔’的作用。”[3]从1924年到1938年，他被任命为普林斯顿大学的教师。
讲课中的莱夫谢茨
在1920年代和1930年代，莱夫谢茨得以尽情享受对旅行的热爱，他多次前往欧洲国家旅行，特别喜欢访问法国、意大利和苏联。然而，第二次世界大战的爆发使到欧洲旅行几乎成为不可能，所以他选择了墨西哥，并于1944年首次访问墨西哥国立大学。他最终养成了每年夏天都要在那里度过几个月的习惯。莱夫谢茨对墨西哥的数学做出了重要贡献，他帮助那里建立了一所繁荣的学校。1964年，莱夫谢茨因其对墨西哥数学的贡献，从马托斯(L. Mateos)总统那里获得了“阿吉拉·阿兹特克(Aguila Azteca)勋章”。
二战期间，莱夫谢茨在美国海军部担任顾问。除了美国数学学会和国家科学院，他还是美国哲学学会成员，欧洲许多数学学会的荣誉成员，也是巴黎科学院、米兰伦巴多科学院、马德里科学院、伦敦数学学会、皇家学会的外国成员。1956年，他获得了德林塞学院颁发的安东尼奥·费尔特利内利国际奖。此外，莱夫谢茨还被克拉克大学、布拉格大学、墨西哥大学、巴黎大学、布朗大学和普林斯顿大学授予荣誉学位。1964年，约翰逊总统授予他国家科学奖章，以表彰他在发展数学和培养数学家方面不屈不挠的领导能力，在代数几何和拓扑学方面的基础论文，以及促进非线性控制过程中必要的研究。1972年10月5日，莱夫谢茨在普林斯顿患病去世，享年88岁。
对拓扑学发展的贡献
莱夫谢茨是代数拓扑学的主要研究者之一。他在代数几何和拓扑学方面完成了几项创造性基础研究工作，最著名的工作是将拓扑学与代数几何联系起来，此外还对微分方程、控制理论和非线性力学等数学领域做出了重要贡献。
早期代数拓扑是怎样开始的呢?莱夫谢茨认定可将起点放在欧拉特性上，也许也可以放在默比乌斯带上，最准确的应该是放在黎曼曲面上[4]。在1930年代中期，代数拓扑学的成果开始显著增加。“拓扑学”一词来源于莱夫谢茨1930年写的一篇专题论文的标题。他发展了交理论，包括流形的交环理论;他对各种同调理论，特别是相对同调、奇异同调和上同调，都做出了重要贡献。
在他的文章《一篇数学自传》(A Page of Mathematical Autobiography, 1968)中，莱夫谢茨解释了他是如何开始将拓扑方法应用于代数曲面理论的。在阅读了皮卡德的《分析之旅》(Analysis of the Journey)和西马特(E. Cimarte)的《两个独立变量的代数函数理论》(Algebraic Function Theory for Two Independent Variables)后，他对数学的兴趣由映射轨迹的代数性质转向代数轨迹的内在性质，并在皮卡德和庞加莱文章的影响下，他建立了一个基本完整的代数曲面拓扑理论[5]，这一工作最终发表在1921年的《美国数学学会会刊》(Journal of the American Mathematical Society)中，并因此获得了美国数学学会的博谢(Bocher)奖。1923年，他发表了关于紧致可定向流形的不动点定理，并在1926年的《美国数学学会会刊》上发表了他著名的《复形和流形的交与变换》(Intersections and Transformations of Complex and Manifolds)[6]。
莱夫谢茨的研究主要在于拓扑学，尤其在不动点类理论、对偶性和交理论方面都是一流的。莱夫谢茨所做的就是把这些早期的想法结合起来，并建立起一般形式。
莱夫谢茨提出，用拓扑问题代替定点几何问题的基本步骤是：①识别一个维数为m的非奇异代数簇V是一个维数为2m的可定向拓扑流形;②复维数为r的任何子簇都定义了M(V)的2R循环。然后需要去证明M(V)中任意两个维数为s和t的循环，它们可以替换为交集维数为2m-s-t的两个同调循环τ和γ [7]。莱夫谢茨关于交理论的主要工作是在1925—1926年完成的，他在一系列论文中逐渐发展了这个理论，尤其在他的这几篇文章——《流形的连续变换》(Continuos Transformation of Manifolds, 1923)《复形和流形的交与变换》——上得到体现。
1923年，莱夫谢茨用他的更原始的交理论得到了他的连续自变换的不动点公式的定向流形。然而，莱夫谢茨并不满足于只给出绝对定向流形的这个公式，他后来在拓扑学上的大部分工作都是研究更一般的空间，在这些空间中他可以得到一些不动点定理。
最后必须提到莱夫谢茨对局部连通理论的贡献。主要是要找到比流形更一般的空间类型，使在这一空间中可以用对偶定理构造同调理论，莱夫谢茨的贡献主要是讨论了X空间的局部连通性。在此基础上，莱夫谢茨又证明了不动点定理对于紧凑的同调局部连通空间是有效的[8]。
总的来说，莱夫谢茨对代数拓扑的主要贡献是他的流形不动点定理，他发展了广义局部连通空间的奇异链复合体的代数机制、相对同调和对偶理论，得到了相应的不动点公式。他写了大量论文来推理从封闭流形到相对流形，到一般复形，到局部连通空间最终形式的过程。莱夫谢茨在代数簇拓扑方面的工作的第一个应用是第二类积分理论。他在这一课题上的一些工作先于变体拓扑学的工作，而且很明显，他是为了在积分研究中取得进展才被引上拓扑学研究的。在拓扑学方向，莱夫谢茨出版了两本在当时内容非常全面的著作，分别是1930年的《拓扑学》和1942年的《代数拓扑学》。
在对代数几何和代数拓扑的广泛研究之后，莱夫谢茨进入了第三个领域，在1946年出版了专著《微分方程讲座》[9]。他以孜孜不倦的精神和热情，先后参加在普林斯顿大学、普林斯顿高等研究院、布朗大学的杰出的研究小组进行工作。从普林斯顿大学退休后，他还在墨西哥大学担任数学教授，继续从事这项研究，包括积分问题等。莱夫谢茨研究数学延续了约60年，他的出版物大约有134多项，足以写一部跨越半世纪的数学历史记录。
莱夫谢茨及普林斯顿学派
二战期间，普林斯顿学派兴起，经过不断的招贤纳士、创新研究，成为世界上远近闻名的数学中心，许多国家的数学家都慕名而来进修学习，可以说普林斯顿学派的兴起是美国数学崛起的重要原因。学派创始人是维布伦(O. Veblen)和范因(H. B. Fine)。维布伦1905年开始到普林斯顿任教，对几何学颇有研究。范因1885年就定居普林斯顿，任普林斯顿大学数学系主任。开始普林斯顿学派较为熟知的是代数几何学和数理逻辑，后来逐渐过渡到拓扑学。拓扑学起初是在欧洲德语区发展的，柏林、格丁根、莱比锡、慕尼黑和维也纳的大学对拓扑学的发展有特别重要的作用。莱夫谢茨和斯廷罗德(N. Steenrod)、莫尔斯(M. Morse)、惠特尼(H. Whitney)、亚历山大(J. Alexander)等数学家将拓扑学带入普林斯顿大学。
普林斯顿大学
普林斯顿大学的前身是“新泽西学院(College of New Jersey)”，当时它是由美国基督教为了培养长老创立的，从不搞科研。然而到了1896年，由于美国内战，新泽西学院改名为普林斯顿大学。1903年威尔逊(W. Wilson)任普林斯顿大学的首任校长，他的首要任务是将教育计划的质量与大学的升级地位相匹配，因此他广纳贤士，委任大量的优秀年轻人共同建设大学。比如刚刚在芝加哥大学博士毕业的青年数学家伯克霍夫(G. Birkhoff)，穆尔(R. L. Moore)和维布伦[10]。后来伯克霍夫和穆尔相继离开，维布伦留了下来。1924年莱夫谢茨花了一年时间访问普林斯顿大学，访问结束后被数学系主任范因邀请到普林斯顿当客座教授，后被任命为副教授，1928年转为正教授。
1933年，普林斯顿高等研究院正式成立，简称IAS。从理论上讲，这个计划的实现是在维布伦思想的基础上进行的。这是一个高级研究所，不属于普林斯顿大学，但位于普林斯顿的“范因楼”中，研究院也可以使用普林斯顿大学的设备，这样两个机构都认识到了合作的好处，研究院的研讨会也向大学的人员开放，反之亦然。研究院由几个学部组成，最先决定建立的是数学学部研究院。这导致大学的三个主要成员的迁移：维布伦、亚历山大和冯·诺伊曼，但是大学依然为他们保留了职位，以便于继续指导学生写论文、获得学位。
在普林斯顿，包括维布伦著作、亚历山大关于对偶性的证明，加上莱夫谢茨的不动点等成就，使得普林斯顿学派成为世界上数学领域的领头羊。在普林斯顿的活跃气氛下，拓扑学研究方面出现了大量人才：维布伦的学生有托马斯(T. Y. Thomas)和怀特黑德(H. C. Whitehead)，莱夫谢茨在这一时期的优秀学生有史密斯(P. A. Smith)、塔克(A. W. Tucker)、沃尔曼(H. Wallman)和道克(C. H. Dowker)。1928年，亚历山大发明了他著名的纽结多项式，而1930年，莱夫谢茨刊行了他具有一定影响的书，因为维布伦已经用了经典的《位置分析》为书名，莱夫谢茨就不得不改用一个新词，因此书名为《拓扑学》。普林斯顿就是以这个光辉的事件为起点，将拓扑学延续至今。莱夫谢茨也成为了著名的普林斯顿拓扑学派的代表人物之一。
在普林斯顿，莱夫谢茨不仅有较强的学术研究能力，人际关系方面也相处得非常好。莱夫谢茨有两位拓扑学的好友——亚历山大和维布伦。亚历山大和莱夫谢茨有着相似的兴趣，所以经常聚在一起讨论交流，热烈探究不动点类理论及对偶定理方面的问题。
莱夫谢茨还精通多种语言，是一位才华横溢的语言学家，精通俄语、英语、法语等，有时候还会在讲座中做一些翻译工作[11]。莱夫谢茨对自己有很高的要求，他把这些要求用到他的学生们身上，对他们严格要求，悉心培养，使普林斯顿数学系成为雇佣顶尖人才的最佳组织。当被问及普林斯顿大学是怎么雇佣自己时，他说：“当你处于顶峰时，你就没有别的办法了。”莱夫谢茨无论走到哪里，都在寻找优秀研究生，比如在访问墨西哥期间就吸引了一些像阿德姆(J. Adem)这样优秀的研究生去普林斯顿。中国拓扑学第一人江泽涵在1930年获哈佛大学博士学位后，到普林斯顿大学做莱夫谢茨的研究助教，跟随这位拓扑学大师研究不动点类理论。
莱夫谢茨是一位伟大的数学家，也是一位有趣的人。他以他机智、热情的指导，对自己的学生和其他后世数学家都产生了巨大影响，为许多年轻人奠定了深厚的学科根基。他对数学和普林斯顿大学的影响非常大，非常积极，也深刻影响了美国的数学。
[1]Lawrence M. Solomon Lefschetz: An Appreciation in Memoriam. Bulletin of the American Mathematical Society, 1973, 79(4): 663-675.
[2]Hodge W. Solomon Lefschetz, 1884-1972. Biographical Memoirs of Fellows of The Royal Society, 1973: 432-453.
[3]Hodge W. Solomon Lefschetz. Bulletin of the London Mathematical Society, 1973, 6(2): 432-453.
[4]Mazur B. Applications of Algebraic Topology by Solomon Lefschetz. American Scientist, 1976, 64(4): 460.
[5]Ewing J. Review: Solomon Lefschetz, Applications of Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society, 1924: 347-348.
[6]Lefschetz S. The Early Development of Algebaic Topology. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, 1970, 1(1): 1-48.
[7]Flexner W W. Review: Solomon Lefschetz, Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society, 1943, 49(3): 205-208.
[8]Tucker W A. Solomon Lefschetz: A Reminiscence. The Two-Year College Mathematics Journal, 1983, 14(3): 22.
[9]Lefschetz S. The Early Development of Algebraic Geometry. American Mathematical Monthly, 1969, 76(5): 451-460.
[10]LaSalle J P. Memorial to Solomon Lefschetz. IEEE Transactions on Automatic Control, 1973, 18(2): 89-90.
[11]Fox R H. Algebraic Geometry and Topology: A Symposium in Honor of Solomon Lefschetz. American: Princeton University Press, 2015: 3-389.