- 周日 9月 17, 2023 11:41 am
#1529
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说说为什么Jacob Lurie会受到热捧
事实上，Lurie DAG和B.Toen的homotopical algebraic geometry是一个体系的，是higher world version of Grothendieck machine. 比如Lurie 发展了higher topos theory. 曾经听过Toen的一个所谓F_un geometry的lecture. 他们发展了so called n-geometric sheaf, 有一些higher version of separateness的刻画n geometric sheaf几何性质的概念。
我觉得Jacob Lurie比较火的原因有这么几个，projective说的“这年头靠忽悠”我在一些程度上比较赞同。
IHES和Max-Plank这些机构中Grothendieck's school的人以及受Grothendieck哲学影响比较深的highly qualified mathematician对Grothendieck的Framework的广泛有效性具有很大的信心(这也得到了历史的证明），因此或许其他版本的Grothendieck style ***algebraic geometry就比较容易受到这些人的重视。而事实上也是如此，据我所知，Lurie的draft出来的时候,IHES&MaxPlank的大佬们就persuade Grothendieck的fellow,以及徒子徒孙关注（阅读）Lurie的工作。我想Lurie的这种性质的工作算的上所谓"Correct Move in algebraic geometry" (Grothendieck machine "should" exist in higher world, and then, it indeed exists)
我觉得似乎有一些之前的例子支持我这种臆测，也就是说“继承”Grothendieck style的或者是完成他老人家未完成的事业的工作比较会引起大佬们重视。
比如Beilinson,Bernstein,Deligne的perverse sheaf. Beilinson and Bernstein的一个重要的工作是localization of g-modules,where g is f.d Lie algebra. 事实上D-modules 可以看成是一种projective scheme.这样上面的代数几何（such as affine covers,localization and globalization）就可以for free地由Grothendieck Machine produce.而Beilinson-Bernstein localization就把 representation theory of Lie algebra变成了AG的问题。这样就有D-scheme version的Grothendieck machine。当然，这里他们用的实际上是Derived noncommutative algebraic geometry 的想法，也就是说他们把Derived category of D-modules看成是一个"space"，而BBD中核心的一部分工作便是t-structures，借此我们可以从derived setting恢复到original space。另外，事实上，D-modules theory是和Grothendieck crystalline cohomology theory是有很密切的关系的。众所周知的是crystalline cohomology theory和其他重要的cohomology theory such as algebraic deRham cohomology and motivic cohomology是有密切关系的，而BB-chark=0是可以看成是这个工作的一个starting point.(reduction的起点）（Berthelot并没有well develop crystalline cohomology），而现在Berstein又转向了p-adic representations. 另外他的一些很厉害的学生，such as Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory and Roman Bezrukavnkov开始了localization of Lie algebra of positive character的工作，而这些工作我以为可以看成是Crystalline cohomology for character p,（比如不久前，Bezrukavnikov,Ivan Mirkovic and Dmitry Rumynin的使用so called Crystalline differential operator来处理Lie algebra for positive character> coxter number）而大佬们普遍认为这部分工作是比较难的，所以如果谁搞出了统一处理这种问题的Grothendieck style的Framework，我想肯定会引起关注的。
PS：忘记提Deligne了--_____---, 据说perverse sheaf的一些关键观点来源于Crystalline cohomology and weil conjecture.
另外Grothendieck 做的machine大多是quasi compact的，他对于infinite dimensional的representation theory并没有太多关注，因此他的Fellow们，对于non quasi compact上的machine就很关心，比如Kashiwara 1988的Flag manifold for Kac-Moody algebra就试图建立non quasi compact(infinite dimensional Lie algebra)上的代数几何，尽管他的工作很厉害，也证出了上面的Kazhdan-Lusztig conjecture.但是一直受到大佬们的怀疑，原因是那上面没有诱导出相应版本的localization theorem。因此大家一致期望有真正的完全Grothendieck style的工作，因此现在Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory这方面的工作都比较受到关注，我想，这也是传出Bezrukavnikov, Gaitsgory也要拿Fields的原因之一吧（臆测的）（为什么Kashiwara没能解决呢，一说是，Kashiwara用的是algebraic analysis的哲学和想法，而这个不能解决云云）我想这些或许能回答这个版上以前有人问为什么Yun Zhiwei的工作比较重要的问题
啊，瞎扯了这么多，扯远了，现在返回来说Jacobi Lurie的工作，或许正如一些版油所说，他这个Framework还没有解决什么大猜想（似乎解决了John Baze和Mike Hopkins提出的两个关于TQFT的猜想？），不过由于大佬们相信在higher world, Grothendieck philosiphy应该也是广泛有效的，因此Lurie造出这个庞大的Gro-style的machine就自然引起很大重视了。另外一个相关的原因是，Grothendieck Machine是由EGA SGA FGA等其他一些工作组成的（比如K-theory)，而Lurie做了higher version的以上很多对应工作
SGA1 ---Lurie's derive Beck theorem(although not only his)
SGA4 --- Higher topos theory
Quillen's K theory---- Lurie's paper(Commutative algebra and so on）
Deligne's Category Tannakian(actually SGA1)---Lurie's paper(Tanakian duality
for geometric stacks)
等等，Grothendieck Machine是需要各部分gadget协调，然后就Bombombom：）开始运转的机器。而Lurie的Machine几乎涵盖了Machine需要运转的各个部件和”传动带”。因此这个工作对于一个很年轻的人来说可能被认为是很不容易的工作（因为要弄清楚Grothendieck machine在higher的情形到底是什么样子，做出来的东西应该要和经典情形完全相容，要有一切性质）（上千页?)
我想基于以上原因，Jacob Lurie受到大佬们的热捧。而同时他的文章全部挂到arxiv上，因此非大佬们也来凑热闹，口口相传，就造成了现在的局面。。。。最近，G.Faltings的一个学生也写了600多页的paper，也是一个巨大的Framework(New approach to Arakelov Geometry)，也是Grothendieck style的Frame,所谓generalized scheme theory,包括了经典的AG,Arithmetic Geometry, Tropical geometry等等，定义了F_un上的geometry。也引起了一些大佬们的关注，比如A.Connes（想干RiemmanHypothesis)，Luc Illise(?), P.Cartier等等。A.Connes和两个女人(Consani andMarcoli），Soule等人又开始搞F_un geometry gadgets，也是Grothendieck style的Framework。加上O.Gabber也搞了一个Grothendieck style的Framework，generalized ring theory等
总之，现在是Framework热啊，当然正如版油所说，最后还是看这些东西能不能解决一些重要的问题。而在短期内，这是个很难说的问题。不过大佬们或许对这种有大潜力的工作还是很看好的
说说为什么Jacob Lurie会受到热捧
事实上，Lurie DAG和B.Toen的homotopical algebraic geometry是一个体系的，是higher world version of Grothendieck machine. 比如Lurie 发展了higher topos theory. 曾经听过Toen的一个所谓F_un geometry的lecture. 他们发展了so called n-geometric sheaf, 有一些higher version of separateness的刻画n geometric sheaf几何性质的概念。
我觉得Jacob Lurie比较火的原因有这么几个，projective说的“这年头靠忽悠”我在一些程度上比较赞同。
IHES和Max-Plank这些机构中Grothendieck's school的人以及受Grothendieck哲学影响比较深的highly qualified mathematician对Grothendieck的Framework的广泛有效性具有很大的信心(这也得到了历史的证明），因此或许其他版本的Grothendieck style ***algebraic geometry就比较容易受到这些人的重视。而事实上也是如此，据我所知，Lurie的draft出来的时候,IHES&MaxPlank的大佬们就persuade Grothendieck的fellow,以及徒子徒孙关注（阅读）Lurie的工作。我想Lurie的这种性质的工作算的上所谓"Correct Move in algebraic geometry" (Grothendieck machine "should" exist in higher world, and then, it indeed exists)
我觉得似乎有一些之前的例子支持我这种臆测，也就是说“继承”Grothendieck style的或者是完成他老人家未完成的事业的工作比较会引起大佬们重视。
比如Beilinson,Bernstein,Deligne的perverse sheaf. Beilinson and Bernstein的一个重要的工作是localization of g-modules,where g is f.d Lie algebra. 事实上D-modules 可以看成是一种projective scheme.这样上面的代数几何（such as affine covers,localization and globalization）就可以for free地由Grothendieck Machine produce.而Beilinson-Bernstein localization就把 representation theory of Lie algebra变成了AG的问题。这样就有D-scheme version的Grothendieck machine。当然，这里他们用的实际上是Derived noncommutative algebraic geometry 的想法，也就是说他们把Derived category of D-modules看成是一个"space"，而BBD中核心的一部分工作便是t-structures，借此我们可以从derived setting恢复到original space。另外，事实上，D-modules theory是和Grothendieck crystalline cohomology theory是有很密切的关系的。众所周知的是crystalline cohomology theory和其他重要的cohomology theory such as algebraic deRham cohomology and motivic cohomology是有密切关系的，而BB-chark=0是可以看成是这个工作的一个starting point.(reduction的起点）（Berthelot并没有well develop crystalline cohomology），而现在Berstein又转向了p-adic representations. 另外他的一些很厉害的学生，such as Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory and Roman Bezrukavnkov开始了localization of Lie algebra of positive character的工作，而这些工作我以为可以看成是Crystalline cohomology for character p,（比如不久前，Bezrukavnikov,Ivan Mirkovic and Dmitry Rumynin的使用so called Crystalline differential operator来处理Lie algebra for positive character> coxter number）而大佬们普遍认为这部分工作是比较难的，所以如果谁搞出了统一处理这种问题的Grothendieck style的Framework，我想肯定会引起关注的。
PS：忘记提Deligne了--_____---, 据说perverse sheaf的一些关键观点来源于Crystalline cohomology and weil conjecture.
另外Grothendieck 做的machine大多是quasi compact的，他对于infinite dimensional的representation theory并没有太多关注，因此他的Fellow们，对于non quasi compact上的machine就很关心，比如Kashiwara 1988的Flag manifold for Kac-Moody algebra就试图建立non quasi compact(infinite dimensional Lie algebra)上的代数几何，尽管他的工作很厉害，也证出了上面的Kazhdan-Lusztig conjecture.但是一直受到大佬们的怀疑，原因是那上面没有诱导出相应版本的localization theorem。因此大家一致期望有真正的完全Grothendieck style的工作，因此现在Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory这方面的工作都比较受到关注，我想，这也是传出Bezrukavnikov, Gaitsgory也要拿Fields的原因之一吧（臆测的）（为什么Kashiwara没能解决呢，一说是，Kashiwara用的是algebraic analysis的哲学和想法，而这个不能解决云云）我想这些或许能回答这个版上以前有人问为什么Yun Zhiwei的工作比较重要的问题
啊，瞎扯了这么多，扯远了，现在返回来说Jacobi Lurie的工作，或许正如一些版油所说，他这个Framework还没有解决什么大猜想（似乎解决了John Baze和Mike Hopkins提出的两个关于TQFT的猜想？），不过由于大佬们相信在higher world, Grothendieck philosiphy应该也是广泛有效的，因此Lurie造出这个庞大的Gro-style的machine就自然引起很大重视了。另外一个相关的原因是，Grothendieck Machine是由EGA SGA FGA等其他一些工作组成的（比如K-theory)，而Lurie做了higher version的以上很多对应工作
SGA1 ---Lurie's derive Beck theorem(although not only his)
SGA4 --- Higher topos theory
Quillen's K theory---- Lurie's paper(Commutative algebra and so on）
Deligne's Category Tannakian(actually SGA1)---Lurie's paper(Tanakian duality
for geometric stacks)
等等，Grothendieck Machine是需要各部分gadget协调，然后就Bombombom：）开始运转的机器。而Lurie的Machine几乎涵盖了Machine需要运转的各个部件和”传动带”。因此这个工作对于一个很年轻的人来说可能被认为是很不容易的工作（因为要弄清楚Grothendieck machine在higher的情形到底是什么样子，做出来的东西应该要和经典情形完全相容，要有一切性质）（上千页?)
我想基于以上原因，Jacob Lurie受到大佬们的热捧。而同时他的文章全部挂到arxiv上，因此非大佬们也来凑热闹，口口相传，就造成了现在的局面。。。。最近，G.Faltings的一个学生也写了600多页的paper，也是一个巨大的Framework(New approach to Arakelov Geometry)，也是Grothendieck style的Frame,所谓generalized scheme theory,包括了经典的AG,Arithmetic Geometry, Tropical geometry等等，定义了F_un上的geometry。也引起了一些大佬们的关注，比如A.Connes（想干RiemmanHypothesis)，Luc Illise(?), P.Cartier等等。A.Connes和两个女人(Consani andMarcoli），Soule等人又开始搞F_un geometry gadgets，也是Grothendieck style的Framework。加上O.Gabber也搞了一个Grothendieck style的Framework，generalized ring theory等
总之，现在是Framework热啊，当然正如版油所说，最后还是看这些东西能不能解决一些重要的问题。而在短期内，这是个很难说的问题。不过大佬们或许对这种有大潜力的工作还是很看好的
