科教兴国、科技创新，必以数学为基础
发表于 ： 周五 10月 20, 2023 6:50 pm
科教兴国、科技创新，必以数学为基础
丘成桐 2023-10-20
数学史的内容，除了它肩负的历史意义外，也应当说明数学的有机发展，不只注意于数学本身，也要顾及数学的外延，要追寻数学发生在怎样环境之下，如何扩散出去。
先父谈哲学史的说法可用在数学史上，因此数学史的目的可归纳为三个：
一是求因。美国哲学家 Walter Mavin 在1917年出版的著作《欧洲哲学史》（The History of European Philosophy, Macmillan, 1917）中写道：“任何时代的哲学都是文明进程的产物，或是时代变迁的缩影。”数学思想的产生不是凭空而来，因此需要穷源溯流，阐明产生此种思想的原因。
二是明变。数学思想变化至繁，但有一定轨迹，所以需要找寻其发展的轨迹。
三是评论。我们要将各种数学思想加以客观的评价，对它们对当时及后代的影响、产生何种价值，作评价可以帮助学者发展自己的想法。
▍学以致用与中国数学
举个例子，我们约略谈谈中国数学史。从前人们总会谈到伏羲、隶首、河图、洛书这些传说。然而，真正重要的中国古代算学书籍是《九章算术》《周髀算经》和《孙子算经》，尤以《九章》为最重要。大略而言，此书非一时一人之作，成书当在汉初，刘徽在公元263年为之作注，已经谈到秦末汉初时张苍为之删补。而东汉郑玄、马续则传述此书。刘徽的注疏可能比原书更为重要，此书涉及二次方程、联立线性方程、勾股定理、圆与球之面积和体积，刘徽是第一个证明勾股定理的中国数学家。
《孙子算经》大约为东汉人所作，这是记载“物不知数”的算经，率先给出中国剩余定理，这可说是中国算学史上最伟大的创作。这个定理从命题到应用，都由中国学者首先提出，其重要性影响至今。
刘徽以3为圆周率，至祖冲之（南朝人，公元429至500年）则算圆周率值在3.1415926与3.1415927之间，这确是一个重要的工作，其方法与阿基米德相同。以后唐朝有王孝通著《缉古算经》，谈到二次和三次方程，然而未提解法。
南宋和元朝期间（12至14世纪）则有李治、秦九韶、杨辉、朱世杰等杰出数学家。杨辉发现帕斯卡三角形定理，秦九韶发现霍纳算法，都比帕斯卡和霍纳早四五百年。总括来说，这一段时间数学以代数为主，尚有天元和四元术的发展。与阿拉伯和印度数学家应当有一定的来往，但需要更多的考证。
明清的数学与西方相差太远，无可观者。明末利玛窦和徐光启才开始翻译欧几里得《几何原本》前6卷。而中国学者虽然仰慕《几何原本》的推理方法，却无力吸取其精髓。到19世纪初叶，李善兰才将《几何原本》全部译出。
清朝数学家却花了不少时间，去整理中国数学古籍。一方面可以看到清代文字狱的影响，一方面也可以隐约看出学者心存“夷夏之分”，抗拒西方的思想。
当西方文艺复兴、百家争鸣的时候，明清政府却大力钳制思想。明成祖为了证明自己的正统，诛杀方孝孺，“天下读书种子，从此灭矣”。数学和有学问的数学家一直到近代，才得到比较多的尊重。
中国强调中体西用，以“拿来主义”吸纳了大量科学技术，但客观而理性的判断方法，即科学精神远未普及。“‘家有敝帚，享之千金。’斯不自见之患也。”这是今日中国数学尚不及西方的一个原因。
纵观中国数学发展，基本上尊崇儒家“学以致用”的想法，对应用科学背后的基本规律研究兴趣并不大。在庄子、墨子和名家的著作中，可以看到比较抽象和无穷逼近法的观念。
《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”但是这种观念在实际运算上没有表现出来，直到刘徽和祖冲之，才用这种方法来计算圆周率。《九章算术》的写作是用例子来解释数学，读者没有办法知道这些例子有多广泛，更不知道证明的来龙去脉。模棱两可的态度是其中的弊病。
在某种意义上，中国古代数学的主要活动，始终停留在实验科学的层次上，中国数学家对证明定理的兴趣不大。我们的文化强调人治的观点，以家庭、宗族为出发点，甚于考虑复杂的数学现象，可以用几条简单显而易见的公理来推导，这与希腊数学家的态度有显著的不同。
▍数学描述自然真理
毕达哥拉斯学派（公元前五百多年）以为天地万物都可以用数字来表示。他们率先指出假设和证明的重要性。在公元前300年，欧几里得的公理就清楚地指出，一切平面几何定理都可以由少数公理推出。这可能是欧几里得搜集了几百年来几何发展得出的结论。
欧氏公理影响了整个科学的发展。在物理科学上，引导了牛顿三大定律和现代的统一场论。在数学上，它使我们知道所发现的定理并非互不关联的事实，它们都可以由几条简易公理来推导。希腊学者在两千多年前已经为科学文明奠定了牢固的基础。
数学家历来对欧氏公理有很浓厚的兴趣，其主要的原因是欧氏公理找到了平面几何的精髓。以简御繁，才能搞清楚我们创造出来的数学概念的真正意义。中国画家画山水画，也是想用简单的笔法将画家心中的感觉表现出来。在很少几个公理的前提下推导出来的结果，才能表达这些公理的内蕴意义。这个看法有如文学家作诗写文，干净利落，从简洁处看到作品的意境。近代数学的发展也往往在极为复杂的数学问题中，找到它精华的一部分来独立发展，完成一个可以概括很多现象的结构。中国数学家不大熟悉这样子的手段，堂庑不够宏大。
在数学每一个重要的环节都搞清楚后，就需要考虑它们交叉的意义和内容。就如一个交响乐团由不同的乐器和音乐家组合而成，由一个掌控全盘的音乐家来指挥。文学创作里的《红楼梦》也是如此：由很多不同的环节组合而成，这些环节有诗、有词、有祭文，各有重要的特色，而又环环相扣。在数学上，也是如此。数学家证明了不同而又重要的定理。这些定理可能都有它们的重要性，但真正成为一个数学主流的学问，必须将这些定理整合起来，成为一个有完整哲学思维做背景的理论，影响才会深入，这种学问才会有价值，能够流传后世！在数学发展史上，能够做到这样的学问的，除了牛顿发现微积分外，以后欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特、庞加莱、外尔、韦伊等人，都能够做到这一点。我们要欣赏他们的工作，最好从他们的历史背景，来找寻他们做研究的踪迹。
还有一个有趣的事实，中国数学家几乎从来不用反证法来证明定理。大概原因：反证法虽然可以指出定理的真实性，却无法得出实际的应用。在欧几里得证明存在无穷多个素数时，西方数学家已经知道反证法的威力。古代中国学者对逻辑的运用远不如西方，对纯粹科学真理的兴趣也不如西方。
希腊数学家对数字、对几何图形有无比的热情。毕达哥拉斯以为整数和有理数可以决定天地的一切，因此研究弦的长度和音调的关系。当他知道直角三角形两边长等于整数一，斜边却是无理数时，大为失望，传说他学派中有人自杀！这是因为毕氏学派是一个哲学团体，他们有一套描述宇宙的想法，但又不得不接受严格推理的结果。但是数学家接受了无理数的存在，并在它的基础上，发展了数学分析这门学问。古代的中国数学家不在乎无理数这种概念，要到20世纪才发展数学分析。现代电子计算机的发展，却大量地运用数字的威力，正好印证毕氏学派万物皆数的想法。
阿基米德研究流体静力学，他在洗澡发现浮力原理时，高兴地跑到街上大叫“Eureka, Eureka（我找到了，我找到了）”。当时他忘记了穿衣服。这种为科学而无比兴奋的心情，恐怕在今日中国的科学界很难找得到了。我记得小时候听我的中学老师黄逸樵讲说阿基米德这个故事时，自觉“大丈夫，当如是”。
我们看伟大的数学家牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯，他们对数学的高瞻远瞩，令人钦佩。他们有强烈的好奇心，为找寻科学真理而努力。他们不在乎他们的研究对政府或对社会有何帮助，也不见得很在乎经费和奖金。但是他们开创的数学，不但流芳百世，也是近代西方文明的支柱。
我从前阅览欧拉的著作，他个人写了60多本书，大部分都是开创性的工作。他有13个小孩，一边抱小孩一边著作，到晚年时更瞎了眼睛。他的创作，无论在纯数学或应用数学方面的贡献，实在是极尽丰满。
▍完美复数与现代数学
明朝初年，欧洲文艺复兴之时，在科学界一个极为重要的问题，就是求解三次和四次方程式。这看来是小事，却是数学家第一次理解到复数的重要性。我们来看二次方程：x2 + 1= 0。很明显，只要x是实数，方程左边一定大于零，所以方程无解。对中国古代数学家来说，似乎没有理由去继续讨论这种没有解的方程。但是欧洲数学家追求数的完美性质，就假定上面这个二次方程有一个非实数的解，称之为虚数，同时要求这个虚数和普通实数混合在一起，同样做加减乘除，得到所谓复数域。他们因此得到一个奇妙和惊人的发现：虽然有的多项式没有实数解，但是所有多项式都有复数解，同时解的个数刚好是多项式的次数。
从方程的角度来说，这个复数域是完美的，也是古希腊哲学家所乐见的。很多中国古代数学家大概认为我只想知道现实界的解，不想研究这种虚无的复数域。但是欧洲数学家发现在研究自然界的数学现象时，复数域不但会增强我们理解实数的能力，它已经成为数学的本体。欧拉用复数来解释三角函数，傅里叶用它来解释波动现象。在数论中，高斯、黎曼和之后的学者，广泛应用复函数和复数域深入研究素数的性质。事实上，用一句简单但不算夸张的话，中国古代数学，甚至可以说中国古代科学，落后于西方的一个因素始于复数理论在西方的萌芽。
要求数学体系或者其他科学体系完备化的想法，根植于希腊哲学，影响到今日数学的发展。韦伊和格罗滕迪克建立了一套完备的代数几何结构，初看时，极度玄虚，结果却极大地推动了数论和几何的研究。这是一个追求完美而有大成就的极好例子。我的老师陈省身先生刚开始研究示性类时，想解释苏联数学家庞特里亚金在实纤维丛的工作。结果发现在复纤维丛时，理论更加完美，完成了陈氏类的工作。从这点就可以看出追求完美的哲学观点的重要性。
中国学者少有注意数学发展的历史和支持数学的基本哲学，大部分萧规曹随，解决一些问题而已。但是理论如何叫作完美？它有它的客观性，也有它的主观性。很多学者发展了一套长篇的理论，看似漂亮，却是越来越玄虚，结果无以为继。这是和自然界的真与美愈来愈脱节的缘故。当年我和我的朋友们发展几何分析，就坚持我们必须要有理论，要有长远的看法。但是在这个基础上，我们的理论必须要有能力来解决具体的问题。一般来说，这些问题必须是自然界产生的问题。
▍学问大流，真诚为源
今日中国科教兴国、科技创新，必以数学为基础。数学在现代社会的影响，可谓无远弗届，上至天文、物理、生物，下至网络、社会人文，都和数学有关。可以预见的是，21世纪大国的竞争，必和科技发展息息相关。谁能掌握科技上流，谁就主导经济和军事的走势。但是科技的上流，却不是解决几个问题就可以完成。我们要有前瞻性的胸襟和理想，才能引领风骚，领导世界。
要做到这一点，我们需要深思我在前面说的求因、明变和评论，才能了解到学问的大流，才能知道如何去赏析数学的真实意义。数学从自然界、从各种学问吸收真和美的真髓。没有深厚的文化和感情，很难做到这一点。既要执着于中国儒家以人为本的精神来看数学，即数学家需要承担起发展数学的责任，也需要接受希腊哲人对真和美追求的狂热精神。当读历代大数学家的生平和研究方法时，我们会知道数学思想的始源。因此在接触到美丽的自然现象时，会有自然的反应，可以开创新的思维。中国不少学者太注重名和利，一生的目标不是做院士，就是得到政府赏赐的奖金和名誉，而并非学问的精进。
孔子说：“吾未见好德如好色者也。”在今日的社会，除了好色之外，还当加上好名和好利。然而孔子也说：“后生可畏，焉知来者之不如今也？”我相信中国的青年是有为的，我们应该为他们树立一个好的榜样，历史上的伟人都可以作为他们的典范。
《中庸》说：“唯天下至诚，为能尽其性；能尽其性，则能尽人之性；能尽人之性，则能尽物之性；能尽物之性，则可以赞天地之化育；可以赞天地之化育，则可以与天地参矣。”真诚是学问之道的不二法门。愿我们能以谦虚真诚的态度，来追随数学先贤们开创的道路。
科学与历史——中国基础科学发展
（本文节选自《真与美：丘成桐的数学观》）
1840年，英国发动鸦片战争，是中国近代屈辱史的开端。此后100余年，国家积弱，生民涂炭！从官方到平民都在问：为什么我们比不上西方列强？开始时只看到面临的问题：中国不如西方的船坚炮利。乃至到了甲午战争，中国大败，海军覆灭，签城下之盟，丧权辱国！打败中国的日本海军，船炮竟然不如当时的中国海军。八国联军侵华战争，更显露朝野百姓对现代科学之无知！
100年来，中国学者逐渐了解到船坚炮利不是唯一的问题，大家都在找寻中国文化的出路。中华人民共和国成立至今，已经60多年了，科技确有大进步，但是基础科学领域始终没有改变落后于欧美的局面。国家上上下下渐渐了解到基础科学根柢未深是主要原因，现在要谈的就是：基础科学的起源和发展的条件在什么地方？
▍基础科学源自穷理致知
现代科技的成果影响着人类生活各方面。例如，民航飞机极大地缩短世界的距离；火箭升空不断地探索宇宙奥秘；人造卫星不断地绕地球运行，传递着亿万讯息；高速公路和高速铁路翻山越岭，四通八达；无人飞机、无人汽车和机器人的能力，远远超过我们十多年前的想象。有谁想到人工智能创造出的软件竟然打败了围棋大师！
这些划时代的科技成果，并不是一蹴则达。它们的背后，有数之不尽的聪明头脑在推动着它的进展。有人在硬件上做出杰出的贡献，有人在软件上做出伟大的创新。但是这些成果，都建立在一个最重要的基础上，这就是今天我们要谈的基础科学！基础科学积累了人类几千年的智慧，去芜存菁，才见到它在工业上的应用。
有时候，我们可以很快地见到基础科学的应用，电磁学就是一个例子。在19世纪法拉第和麦克斯韦发现电磁方程后不久，爱迪生等人就将它用到日常生活中去。但是有些研究却要等很久才见到它们的应用。数论中有很多深奥的理论，一直都以为纸上谈兵。但是这20年来在密码学研究方面，运用了大量的数论的前沿理论。
有些人认为，基础科学需要有深入的训练，有深度的看法，才能产生新的结果，好的创意，旷日弥久，难有快速成功的机会。不如等待别人做好基础的研究后，拿过来用就是了。但是他们忘记了一点，自己觉悟出来的理论，通过自己劳动得到的结果，自己才最了解它的长短，应用起来才能得心应手。在科技发展一日千里的现代社会，我们非得掌握其中精髓，才能与人竞争。
我想从历史的观点来看看中国基础科学的发展。基础科学有别于科技，它是科技能够得以持续发展的基石。中国古代四大发明，确是领先世界，但是对于这些科技发明的基本原理的了解不够深入。到了19世纪，西方国家在科学技术的发展上，比中国进步得多，甚至大力地改进了我们的四大发明。这些成就得要归功于文艺复兴后伟大科学家如伽利略、牛顿、欧拉、高斯、黎曼、法拉第、麦克斯韦等人在基础科学上的伟大贡献。
基础科学除了帮助科技的创新和发明以外，它亦是统摄所有和宇宙中物理现象有关的学问。它必须对大自然有一个宏观的看法，因此需要哲学思想作其支持。此哲学思想又需要有助于人类了解大自然，并懂得如何让人类和大自然和谐相处。
近代基础科学家中，有不少是极其伟大的学者。他们的学问、思想和工作，可以影响科学界数个世纪之久（近30年来发表的科技刊物，不可胜数，文章的篇幅相信远超历史上所有文献总和。但是大部分文章除了作者外，可能没有人知晓。而有些文章流行两三年后，就被人遗忘。至于能够传世超过30年的文章，却是凤毛麟角）。其中，佼佼者有牛顿、欧拉、高斯、黎曼、法拉第、麦克斯韦、爱因斯坦、庞加莱、狄拉克、海森堡、薛定谔、外尔等人。
假如我们仔细去阅读他们的著作时，都会发觉他们有一套哲学思想。例如爱因斯坦在研究广义相对论时，就受到哲学家马赫（Mach）的影响。能够传世的科学工作，必先有概念的突破，而这些概念可能受到观察事物后所得到想法的影响。但是，更大的可能是他们的哲学观在左右他们的想法，影响到他们的审美观念，从而影响他们研究的方向。
哲学引导我们穷究事物最后存在的根据，探求根柢的原理。因此哲学需要探求一般现象共有的原理，来完成宇宙统一的体系。所以科学家不能局限于感觉的观察，必须经过思辨的功夫，方可补其不足！古希腊的哲人在这方面做得极为彻底。毕达哥拉斯、柏拉图和苏格拉底，一方面提出他们的哲学思想，一方面在数学、天文、物理学都有永垂不朽的贡献。
中国的哲学家也有对大自然感兴趣的，如名家和道家，可惜并没有发展出自然科学的基本思想，比如严格的三段论证，也没有系统化地研究一般性原则。
我想中国基础科学不如西方，这与中西方哲学思想的不同有极大的关系。
西方哲学家追求的是穷理致知，中国哲学家追求格物致知。基础科学的精神在于穷理，中国一般学者更讲究应用。在今日中国的学术界，尤其是这三十多年来留学海外的华裔学者，有成就的实在不少。但是领袖群伦，成一家之言的，却实在不多！有这样地位的学者，必须能够创造新的学问，新的方向，有自己的哲学来指引大方向。同时有决心、有毅力来穷究真理的本源。今日中国要在基础科学领域出人头地，必先学习基础科学背后深刻的哲学思想。
▍以人为本的中国哲学
我们现在来讨论中国古代的情形，并试图和古希腊做个比较。影响中国思想最深远的当然是孔子（约公元前551—前479），可儒家对基础科学的思想兴趣不大，子不语怪力乱神也。夫子有教无类的精神，影响了历代以来平民可以读书而至卿相的格局。儒家思想以人为本位。春秋鲁国大夫叔孙豹论三不朽——立德、立功、立言，却不谈大自然的事情。
在儒家的大师中，荀卿（约公元前298—前238）在楚国兰陵讲学多年，受道家的影响比较深。他一方面主张不可知论的唯理主义，但否认理论研究的重要性，而主张技术的实际应用。所以他说：
从天而颂之，孰与制天命而用之！
故错人而思天，则失万物之情！
故明君临之以势，道之以道，申之以命，章之以论，禁之以刑。故其民之化道也如神，辨说恶用矣哉！
荀子认为政府应该带领和指导人文的发展，老百姓是不必辩说的。这个观点和古希腊精神大相径庭。
既然不用辩说，科学无从而起，工匠技术得以发展。荀卿将儒家的正名移交政治权威时，已经十分接近法家。他的弟子李斯成为秦国丞相，作为法家的实践者，就不足为奇了。秦始皇焚书坑儒，春秋战国时代百家争鸣的局面，从此湮灭，最为可惜。
孔子继承祭祀先人的观念，主张服三年之丧，又说：三年无改父之业，可谓孝矣。历朝皆标榜以孝治天下，宗庙祭祀已经接近宗教信仰了。千百年来，孔子受到历朝皇帝的尊崇，中国主要的城市都有孔庙，儒家变成儒教，这对中国历史上基础科学的发展，也有影响。
和儒家对立的墨子（约公元前479—前381），主张兼爱和非攻。他精通筑城和防御技术，研究力学和光学。后期墨子开始注意实验科学基础的思想体系，这个想法可能是要和各家争辩取得胜利的缘故。
此后出现了战国时的惠施和西汉时的公孙龙，被史学家司马谈和班固尊称为名家。他们的著述大部分失传，《公孙龙子》一书，部分留存，还有一部分载在庄子书中。他们开始注意抽象的逻辑理论，发展了悖论。这些悖论和希腊芝诺（Zeno of Elea）的悖论接近。悖论有助于逻辑学的发展，可惜中国在这方面的研究远逊于西方。
在齐国，邹衍得到齐宣王的尊重，在稷下这个地方发展了五行学说和阴阳的观念。稷下学宫容纳几乎各个学派的学者。上述的荀卿在五十多岁就曾游学稷下，其他学者包括淳于髡、慎到、田骈等。在那个时候，楚国的兰陵，齐国的稷下，是天下学术中心，媲美古希腊时代柏拉图的学园。
邹衍提出的五行概念，是中国的自然主义，也是科学的概念。他们认为木克土、金克木、火克金、水克火、土克水，循环又周而复始。邹衍的学说很受诸侯的重视。《史记·历书》说：“是时独有邹衍，明于五德之传，而散消息之分，以显诸侯。”又说：“而燕齐海上之方士传其术不能通，然则怪迂阿谀苟合之徒自此兴，不可胜数也。”
虽然古希腊和中国五行学说有相似的地方，但是分歧更大。五行的概念也影响了炼丹术的发展。汉儒董仲舒等继续发扬五行之说。西方的元素概念从柏拉图开始，不断地通过推导、观察，形成现代的原子、化学元素的概念。中国的阴阳和五行学说，开始时是自然科学思维雏形，但是逐渐发展为解释人事的学说。
现在来谈道家。儒家和道家影响了中国两千多年来的思想，不可不研究它的内容。和道家有关的著作有老子的《道德经》、庄周的《庄子》，还有《列子》《管子》和《淮南子》。何炳棣先生认为都源于《孙子兵法》。事实上，道家应该起源于战国初期喜欢探索大自然之道的哲学家。他们认为要治理人类社会，必须对超出人类社会的大自然有深入的认识和了解。
道家也受到齐国和燕国的巫师和方士这些神秘主义者的影响。他们认识到宇宙和自身都在不断地变化。他们对于自然界的观察转移到实验，炼丹术成为化学、矿物学和药物学研究的开始。可惜他们并未将观察系统化，缺乏亚里士多德对事物分类的能力，又没有创造一套适用于科学的逻辑方法。这是很可惜的事情！
综观上述诸子，在春秋战国时，百家争鸣，影响了中国两千多年的思想历史。现在很多年轻人即使不在乎这段历史文化，却是受到它们的深刻影响而不自知。汉武帝独尊儒家，儒家享有至高无上的地位。此外，中国还受到道家思想的影响。魏晋南北朝时，基础科学获得空前的发展，刘徽注《九章算术》，祖冲之父子计算圆周率和球体积，以及《孙子算经》的剩余定理，都是杰出的数学成就。
东晋医学家葛洪（公元284-364）开创中国化学的研究基础。天文和地理（如《水经注》）都取得空前的进步。可惜隋唐以后基础科学不受重视，以技术为主要方向，清末遇到西方现代科学文化的冲击，才开始了解中土文化有欠缺的地方。
受到儒家哲学的影响，中国人对定量的看法并不重视，往往愿意接受模棱两可的说法。一个例子是，中国的诗词有很多极为隐晦的语句，其特点是富有意境！
但是当测量师、木工、建筑师、雕塑家、音乐家得到精细的数字时，中国古代学者对这些数字却没有兴趣去做深入的研究。从这点来看中国古代学者对科学的态度和西方不一样。
东西方哲学大相径庭，对人生的看法也不一样。
▍现代科学与希腊文化
西方的科学，都可以溯源到古希腊时代。从公元前625年到公元前225年间，哲学家辈出，穷理致知。到柏拉图和亚里士多德的时候，更将哲学范围扩大，包括讨论宇宙和人生的一切。
古希腊的科学观和宇宙观，在文艺复兴和人文主义开始时，由培根（Francis Bacon）和笛卡尔（René Descartes）发扬光大，影响到今日基本科学的想法，所以我们在下面纵述古希腊哲学家源流和中国哲学源流的比较，从中可以找到中国基础科学落后于西方的原因。
哲学的任务，在于聚集一切的事物，总结一切的知识，构成整个的宇宙观和人生观的基础。有系统的哲学研究，大致上从公元前625年开始。希腊哲学的奠基时代从这年开始到公元前480年（该年希腊海军打败波斯人，亦是孔子卒前一年）。公元前625年到公元前480年的早期希腊哲学，开始摆脱希腊神话的传统思维，转而探寻本源。这个时期分东西两派。
东派以泰勒斯（Thales，约公元前624—前546）为代表，他可说是古代第一位几何学家、天文学家和物理学家，开始了论证的方法，并提出世界本质的观念（idea of nature）。他生于米利都（Miletus），是米利都哲学学派的创始人。此地濒临大海，海洋变化多端，因此有好奇心来考究与自体相同而同时能运动的宇宙本质。他们认为物质之中，含有精神的要素。他们主张宇宙为生灭流转之过程，无始无终的大变化。
西派有爱利亚学派（Eleatic School）和毕达哥拉斯学派（Pythagorean School）。爱利亚学派的创导者是齐诺芬尼斯（Xenophanes，约公元前570—前475），他定居于意大利西南部的爱理亚，他认为构成宇宙的原始本质是不变的。这和东派相反。此派学者芝诺（Zeno of Elea，约公元前490—前430）是辩证法（dialectics）和诡辩术（sophistry）的始祖。
西派另一派为毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570—前495年）是小亚细亚附近的萨摩斯岛人（island of Samos）。他在意大利南部的克罗多纳（Crotona）讲学，以神秘宗教为背景，此种神秘宗教盛行于色雷斯（Thrace）。每年有年会，狂歌狂饮，以图超脱形骸的束缚，谋求精神的解脱。毕氏的贡献以音乐、数学及天文学为主。
他们认为数是万有之型或相（form），并认为宇宙的实体有二，就是数与无限的空间。一切事物的根本性质和“存在”，是基于无限的空间之形成于算数的具体方式。数是“存在”的有限方面，而空间是“存在”的无限方面，真的“存在”即是两方面的联合，缺一不可。数是自然事物的方式或模范，它预备了“模型”（mould）。无限的空间则供给“原料”（raw material）。二者相合而万象生。
此派的宇宙观念，认为世界万有以火为中心，天体有十，绕火作运动，为后来哥白尼（Copernicus）的天文学说之源头。毕氏亦研究音乐，量弦之长短，以定音，是故音亦数也。值得一提的是，《易经·系辞下》中所谓“象”，实即form。谓：“《易》者，象也”“圣人立象以尽意”。《易经》认为在变化的现象中，抽出不变的概念，而以简单的方式表达，是所谓象。这个观念和上述的数的概念很接近。
泰勒斯和毕氏学派均主张宇宙本土为一元之说，一派主变，一派主不变；一派主动，一派认为动是假象。为解决这些矛盾，遂有调和派的多元论产生。他们以为变易非变形，乃换位。是大块中各小分子的换位，生灭都不过是位置的变易而已。创造是新结合，破坏不过是分子的分散而已。
这段时期的希腊哲学家认识到知识界的有秩序和感觉界的无秩序。他们的秩序是研究天文学得来的。他们寻求的永存不变的原理，是在诸星单纯的关系中所发现的。
在公元前480年，雅典战胜波斯以后，希腊文明逐渐移入雅典，进入了希腊启蒙时代（the Age of Enlightenment）。这时由伯里克利（Pericles）执政，达32年之久。
这段时期，名家辈出：雕刻家菲狄亚斯（Pheidias），悲剧大师欧里庇得斯（Euripides）、埃斯库罗斯（Aeschylus）和索福克勒斯（Sophocles），历史学家希罗多德（Herodotus）和修昔底德（Thucydides），哲学家普罗泰戈拉（Protagoras）、苏格拉底（Socrates）和德谟克里特（Democritus）。
在这段时期，平民政治代替了贵族政治。问政需要知识，法庭申辩需要才智，因此学问要求也愈益迫切，同时更加普及化，对政治，对法律，对传统和对自己都加以批评，呈现了灿烂的奇观。
希波战争以后，文化得到自由发展。个人觉醒，由怀疑而批评的精神发展到了极点。由批评而入于怀疑的，当时叫作辩者（sophists）或哲人。由怀疑而再入于肯定的代表人物，则是苏格拉底（Socrates，约公元前469—前399）。他生于雅典，是这时代最重要的人物。他认为知识即道德，而道德即幸福。
哲人原文为智者，他们教授平民文学、历史、文法、辩论术、修辞学、伦理学和心理学等学科。哲人运动，长达百年。希腊小孩子学习体育和音乐，所谓音乐包括几何学、七弦琴、诗歌、天文、地理和物理等，16岁起受教于这些哲人。
苏氏的主要继承人为柏拉图（Plato，约公元前427—前347），也是雅典人，仪表堂堂，好美术诗歌，师从苏格拉底8年，40岁后在雅典郊外成立学院（academy），可说是教育史和学术史上之盛事！他认为有两个世界：理念的世界（world of ideas）和物质（现象）的世界，前者为至善，后者要达到至善，通过爱（Eros）人类于不完全中求完全的渴望乃是爱。
柏拉图之后，他的学生亚里士多德（Aristotle）集希腊哲学家科学之大成，他是亚历山大大帝的老师。他的学说，宏博无比，我们常用的三段论证法，即源于亚里士多德。
公元前338年腓力二世赢得喀罗尼亚战役，结束了希腊的独立。两年后，他被刺身亡。他的儿子亚历山大继位，在12年间征服了一大片土地，希腊文化走向了终结，而开辟了一个新的希腊化时代，他把希腊文化输送到了亚洲的心脏地带。他33岁去世。
亚历山大的朋友托勒密（Ptolemy）成为埃及的总督。他在公元前320年征服了巴勒斯坦和叙利亚。在希腊人的统治下，埃及成为东方和西方的融合处，亚历山大城聚集了马其顿人、希腊人、埃及人、犹太人、阿拉伯人、叙利亚人和印度人。因此希腊的城邦观念被世界主义的观念取代了，在这里建立了亚历山大博物馆，希腊文化因此移植到埃及来。
在这里诞生了欧几里得（约公元前325—前265）和他的《几何原本》。该书有13卷，前6卷讨论平面几何，第7卷到第10卷讨论算术和数论，后3卷讨论立体几何。这本书受亚里士多德公理化理论影响，将很多重要和已知的数学定理，用公理严格地统一起来，影响了基础科学的发展。牛顿和爱因斯坦都想用简洁的原理来统一说明物理现象，这也是《几何原本》所追求的精神。
在数论方面，欧几里得证明了一个漂亮的命题：素数有无穷多个。这个命题开创了素数的研究。他发明找寻最大公约数的方法，现在叫作欧几里得算法，至今还是一个很重要和实用的工具。
紧跟着欧几里得的大数学家有西西里岛上的阿基米德（约公元前287—前212）。他发明了穷竭法，从而计算各种立体和平面几何图形的体积和面积（例如球体和抛物线及曲线围绕出来的面积），可以说开近代微积分的先河。他用逼近法计算圆周率，还开创了静力学和流体力学，影响到牛顿力学的发展。
欧几里得和阿基米德以后，罗马帝国兴起，疆域横跨欧亚大陆，将希腊文化传播得更远。但从基础科学的观点来看，罗马帝国虽然击败了希腊，但被希腊文化征服了。波斯人和阿拉伯人倒是保护了希腊的文化，融合了古巴比伦人在代数方面的贡献，将之继续发扬光大。
近代基础科学萌芽于希腊，茁壮于文艺复兴时代。我们以上的论述，基本上集中在公元前625年到公元前225年这400年间的希腊文化，无论从哪个角度看，这是人类文明的极致，现代科学成功的基础。西方科学，由希腊留存下来的哲学引导，至于今日，大放异彩！这些事实，绝不是偶然发生的。例如古希腊哲学家基于哲学的观点而提出的原子理论，到目前还是基本上正确的。至于牛顿和爱因斯坦不同的观点，在于时空是静态还是动态，其实是希腊哲学家辩论的一个重要命题。
▍结语：科学面前，人人平等
科技的发达，固然是现代先进国家富强和持续发展最重要的一环。科技依赖于基础科学的发展。哪个国家能够领导科技，必将强大；哪个国家能够领导基础科学，其强大必定会历久不衰。科学家是有血有肉的人，所以基础科学需要人文科学来培养他们的气质和意志。
哲学是统摄这些学问的根源，基础科学需要哲学的帮助，才能不断创新前进。中国和古希腊大约都在公元前6世纪开始哲学的研究，但是由于种种不同的历史原因，中国在西方文艺复兴后，大幅落后于西方。这个问题需要从最基本的哲学观点着手，始能够解决我国科学工作者对于科学的基本态度，更深入地了解基础科学的价值观念。
在不同时代，中国学者表现的风骨并不一样。有时，中国人重人事关系，远比真理为重。如何解决这个问题是中国科学现代化的重要一环。在真理面前，人人平等！这个显而易见的科学精神，必须得到重视。
希腊亡于罗马，宋朝亡于蒙古人。亡国者的文化远胜于侵略者。但其实这是两个问题。最理想的状态是，一群人一生致力于文艺和基础科学的研究，另一群人做技术上的研究，还有人致力于将技术变成产业。几方面协力共进，社会和国家才会得益。
丘成桐 2023-10-20
数学史的内容，除了它肩负的历史意义外，也应当说明数学的有机发展，不只注意于数学本身，也要顾及数学的外延，要追寻数学发生在怎样环境之下，如何扩散出去。
先父谈哲学史的说法可用在数学史上，因此数学史的目的可归纳为三个：
一是求因。美国哲学家 Walter Mavin 在1917年出版的著作《欧洲哲学史》（The History of European Philosophy, Macmillan, 1917）中写道：“任何时代的哲学都是文明进程的产物，或是时代变迁的缩影。”数学思想的产生不是凭空而来，因此需要穷源溯流，阐明产生此种思想的原因。
二是明变。数学思想变化至繁，但有一定轨迹，所以需要找寻其发展的轨迹。
三是评论。我们要将各种数学思想加以客观的评价，对它们对当时及后代的影响、产生何种价值，作评价可以帮助学者发展自己的想法。
▍学以致用与中国数学
举个例子，我们约略谈谈中国数学史。从前人们总会谈到伏羲、隶首、河图、洛书这些传说。然而，真正重要的中国古代算学书籍是《九章算术》《周髀算经》和《孙子算经》，尤以《九章》为最重要。大略而言，此书非一时一人之作，成书当在汉初，刘徽在公元263年为之作注，已经谈到秦末汉初时张苍为之删补。而东汉郑玄、马续则传述此书。刘徽的注疏可能比原书更为重要，此书涉及二次方程、联立线性方程、勾股定理、圆与球之面积和体积，刘徽是第一个证明勾股定理的中国数学家。
《孙子算经》大约为东汉人所作，这是记载“物不知数”的算经，率先给出中国剩余定理，这可说是中国算学史上最伟大的创作。这个定理从命题到应用，都由中国学者首先提出，其重要性影响至今。
刘徽以3为圆周率，至祖冲之（南朝人，公元429至500年）则算圆周率值在3.1415926与3.1415927之间，这确是一个重要的工作，其方法与阿基米德相同。以后唐朝有王孝通著《缉古算经》，谈到二次和三次方程，然而未提解法。
南宋和元朝期间（12至14世纪）则有李治、秦九韶、杨辉、朱世杰等杰出数学家。杨辉发现帕斯卡三角形定理，秦九韶发现霍纳算法，都比帕斯卡和霍纳早四五百年。总括来说，这一段时间数学以代数为主，尚有天元和四元术的发展。与阿拉伯和印度数学家应当有一定的来往，但需要更多的考证。
明清的数学与西方相差太远，无可观者。明末利玛窦和徐光启才开始翻译欧几里得《几何原本》前6卷。而中国学者虽然仰慕《几何原本》的推理方法，却无力吸取其精髓。到19世纪初叶，李善兰才将《几何原本》全部译出。
清朝数学家却花了不少时间，去整理中国数学古籍。一方面可以看到清代文字狱的影响，一方面也可以隐约看出学者心存“夷夏之分”，抗拒西方的思想。
当西方文艺复兴、百家争鸣的时候，明清政府却大力钳制思想。明成祖为了证明自己的正统，诛杀方孝孺，“天下读书种子，从此灭矣”。数学和有学问的数学家一直到近代，才得到比较多的尊重。
中国强调中体西用，以“拿来主义”吸纳了大量科学技术，但客观而理性的判断方法，即科学精神远未普及。“‘家有敝帚，享之千金。’斯不自见之患也。”这是今日中国数学尚不及西方的一个原因。
纵观中国数学发展，基本上尊崇儒家“学以致用”的想法，对应用科学背后的基本规律研究兴趣并不大。在庄子、墨子和名家的著作中，可以看到比较抽象和无穷逼近法的观念。
《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”但是这种观念在实际运算上没有表现出来，直到刘徽和祖冲之，才用这种方法来计算圆周率。《九章算术》的写作是用例子来解释数学，读者没有办法知道这些例子有多广泛，更不知道证明的来龙去脉。模棱两可的态度是其中的弊病。
在某种意义上，中国古代数学的主要活动，始终停留在实验科学的层次上，中国数学家对证明定理的兴趣不大。我们的文化强调人治的观点，以家庭、宗族为出发点，甚于考虑复杂的数学现象，可以用几条简单显而易见的公理来推导，这与希腊数学家的态度有显著的不同。
▍数学描述自然真理
毕达哥拉斯学派（公元前五百多年）以为天地万物都可以用数字来表示。他们率先指出假设和证明的重要性。在公元前300年，欧几里得的公理就清楚地指出，一切平面几何定理都可以由少数公理推出。这可能是欧几里得搜集了几百年来几何发展得出的结论。
欧氏公理影响了整个科学的发展。在物理科学上，引导了牛顿三大定律和现代的统一场论。在数学上，它使我们知道所发现的定理并非互不关联的事实，它们都可以由几条简易公理来推导。希腊学者在两千多年前已经为科学文明奠定了牢固的基础。
数学家历来对欧氏公理有很浓厚的兴趣，其主要的原因是欧氏公理找到了平面几何的精髓。以简御繁，才能搞清楚我们创造出来的数学概念的真正意义。中国画家画山水画，也是想用简单的笔法将画家心中的感觉表现出来。在很少几个公理的前提下推导出来的结果，才能表达这些公理的内蕴意义。这个看法有如文学家作诗写文，干净利落，从简洁处看到作品的意境。近代数学的发展也往往在极为复杂的数学问题中，找到它精华的一部分来独立发展，完成一个可以概括很多现象的结构。中国数学家不大熟悉这样子的手段，堂庑不够宏大。
在数学每一个重要的环节都搞清楚后，就需要考虑它们交叉的意义和内容。就如一个交响乐团由不同的乐器和音乐家组合而成，由一个掌控全盘的音乐家来指挥。文学创作里的《红楼梦》也是如此：由很多不同的环节组合而成，这些环节有诗、有词、有祭文，各有重要的特色，而又环环相扣。在数学上，也是如此。数学家证明了不同而又重要的定理。这些定理可能都有它们的重要性，但真正成为一个数学主流的学问，必须将这些定理整合起来，成为一个有完整哲学思维做背景的理论，影响才会深入，这种学问才会有价值，能够流传后世！在数学发展史上，能够做到这样的学问的，除了牛顿发现微积分外，以后欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特、庞加莱、外尔、韦伊等人，都能够做到这一点。我们要欣赏他们的工作，最好从他们的历史背景，来找寻他们做研究的踪迹。
还有一个有趣的事实，中国数学家几乎从来不用反证法来证明定理。大概原因：反证法虽然可以指出定理的真实性，却无法得出实际的应用。在欧几里得证明存在无穷多个素数时，西方数学家已经知道反证法的威力。古代中国学者对逻辑的运用远不如西方，对纯粹科学真理的兴趣也不如西方。
希腊数学家对数字、对几何图形有无比的热情。毕达哥拉斯以为整数和有理数可以决定天地的一切，因此研究弦的长度和音调的关系。当他知道直角三角形两边长等于整数一，斜边却是无理数时，大为失望，传说他学派中有人自杀！这是因为毕氏学派是一个哲学团体，他们有一套描述宇宙的想法，但又不得不接受严格推理的结果。但是数学家接受了无理数的存在，并在它的基础上，发展了数学分析这门学问。古代的中国数学家不在乎无理数这种概念，要到20世纪才发展数学分析。现代电子计算机的发展，却大量地运用数字的威力，正好印证毕氏学派万物皆数的想法。
阿基米德研究流体静力学，他在洗澡发现浮力原理时，高兴地跑到街上大叫“Eureka, Eureka（我找到了，我找到了）”。当时他忘记了穿衣服。这种为科学而无比兴奋的心情，恐怕在今日中国的科学界很难找得到了。我记得小时候听我的中学老师黄逸樵讲说阿基米德这个故事时，自觉“大丈夫，当如是”。
我们看伟大的数学家牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯，他们对数学的高瞻远瞩，令人钦佩。他们有强烈的好奇心，为找寻科学真理而努力。他们不在乎他们的研究对政府或对社会有何帮助，也不见得很在乎经费和奖金。但是他们开创的数学，不但流芳百世，也是近代西方文明的支柱。
我从前阅览欧拉的著作，他个人写了60多本书，大部分都是开创性的工作。他有13个小孩，一边抱小孩一边著作，到晚年时更瞎了眼睛。他的创作，无论在纯数学或应用数学方面的贡献，实在是极尽丰满。
▍完美复数与现代数学
明朝初年，欧洲文艺复兴之时，在科学界一个极为重要的问题，就是求解三次和四次方程式。这看来是小事，却是数学家第一次理解到复数的重要性。我们来看二次方程：x2 + 1= 0。很明显，只要x是实数，方程左边一定大于零，所以方程无解。对中国古代数学家来说，似乎没有理由去继续讨论这种没有解的方程。但是欧洲数学家追求数的完美性质，就假定上面这个二次方程有一个非实数的解，称之为虚数，同时要求这个虚数和普通实数混合在一起，同样做加减乘除，得到所谓复数域。他们因此得到一个奇妙和惊人的发现：虽然有的多项式没有实数解，但是所有多项式都有复数解，同时解的个数刚好是多项式的次数。
从方程的角度来说，这个复数域是完美的，也是古希腊哲学家所乐见的。很多中国古代数学家大概认为我只想知道现实界的解，不想研究这种虚无的复数域。但是欧洲数学家发现在研究自然界的数学现象时，复数域不但会增强我们理解实数的能力，它已经成为数学的本体。欧拉用复数来解释三角函数，傅里叶用它来解释波动现象。在数论中，高斯、黎曼和之后的学者，广泛应用复函数和复数域深入研究素数的性质。事实上，用一句简单但不算夸张的话，中国古代数学，甚至可以说中国古代科学，落后于西方的一个因素始于复数理论在西方的萌芽。
要求数学体系或者其他科学体系完备化的想法，根植于希腊哲学，影响到今日数学的发展。韦伊和格罗滕迪克建立了一套完备的代数几何结构，初看时，极度玄虚，结果却极大地推动了数论和几何的研究。这是一个追求完美而有大成就的极好例子。我的老师陈省身先生刚开始研究示性类时，想解释苏联数学家庞特里亚金在实纤维丛的工作。结果发现在复纤维丛时，理论更加完美，完成了陈氏类的工作。从这点就可以看出追求完美的哲学观点的重要性。
中国学者少有注意数学发展的历史和支持数学的基本哲学，大部分萧规曹随，解决一些问题而已。但是理论如何叫作完美？它有它的客观性，也有它的主观性。很多学者发展了一套长篇的理论，看似漂亮，却是越来越玄虚，结果无以为继。这是和自然界的真与美愈来愈脱节的缘故。当年我和我的朋友们发展几何分析，就坚持我们必须要有理论，要有长远的看法。但是在这个基础上，我们的理论必须要有能力来解决具体的问题。一般来说，这些问题必须是自然界产生的问题。
▍学问大流，真诚为源
今日中国科教兴国、科技创新，必以数学为基础。数学在现代社会的影响，可谓无远弗届，上至天文、物理、生物，下至网络、社会人文，都和数学有关。可以预见的是，21世纪大国的竞争，必和科技发展息息相关。谁能掌握科技上流，谁就主导经济和军事的走势。但是科技的上流，却不是解决几个问题就可以完成。我们要有前瞻性的胸襟和理想，才能引领风骚，领导世界。
要做到这一点，我们需要深思我在前面说的求因、明变和评论，才能了解到学问的大流，才能知道如何去赏析数学的真实意义。数学从自然界、从各种学问吸收真和美的真髓。没有深厚的文化和感情，很难做到这一点。既要执着于中国儒家以人为本的精神来看数学，即数学家需要承担起发展数学的责任，也需要接受希腊哲人对真和美追求的狂热精神。当读历代大数学家的生平和研究方法时，我们会知道数学思想的始源。因此在接触到美丽的自然现象时，会有自然的反应，可以开创新的思维。中国不少学者太注重名和利，一生的目标不是做院士，就是得到政府赏赐的奖金和名誉，而并非学问的精进。
孔子说：“吾未见好德如好色者也。”在今日的社会，除了好色之外，还当加上好名和好利。然而孔子也说：“后生可畏，焉知来者之不如今也？”我相信中国的青年是有为的，我们应该为他们树立一个好的榜样，历史上的伟人都可以作为他们的典范。
《中庸》说：“唯天下至诚，为能尽其性；能尽其性，则能尽人之性；能尽人之性，则能尽物之性；能尽物之性，则可以赞天地之化育；可以赞天地之化育，则可以与天地参矣。”真诚是学问之道的不二法门。愿我们能以谦虚真诚的态度，来追随数学先贤们开创的道路。
科学与历史——中国基础科学发展
（本文节选自《真与美：丘成桐的数学观》）
1840年，英国发动鸦片战争，是中国近代屈辱史的开端。此后100余年，国家积弱，生民涂炭！从官方到平民都在问：为什么我们比不上西方列强？开始时只看到面临的问题：中国不如西方的船坚炮利。乃至到了甲午战争，中国大败，海军覆灭，签城下之盟，丧权辱国！打败中国的日本海军，船炮竟然不如当时的中国海军。八国联军侵华战争，更显露朝野百姓对现代科学之无知！
100年来，中国学者逐渐了解到船坚炮利不是唯一的问题，大家都在找寻中国文化的出路。中华人民共和国成立至今，已经60多年了，科技确有大进步，但是基础科学领域始终没有改变落后于欧美的局面。国家上上下下渐渐了解到基础科学根柢未深是主要原因，现在要谈的就是：基础科学的起源和发展的条件在什么地方？
▍基础科学源自穷理致知
现代科技的成果影响着人类生活各方面。例如，民航飞机极大地缩短世界的距离；火箭升空不断地探索宇宙奥秘；人造卫星不断地绕地球运行，传递着亿万讯息；高速公路和高速铁路翻山越岭，四通八达；无人飞机、无人汽车和机器人的能力，远远超过我们十多年前的想象。有谁想到人工智能创造出的软件竟然打败了围棋大师！
这些划时代的科技成果，并不是一蹴则达。它们的背后，有数之不尽的聪明头脑在推动着它的进展。有人在硬件上做出杰出的贡献，有人在软件上做出伟大的创新。但是这些成果，都建立在一个最重要的基础上，这就是今天我们要谈的基础科学！基础科学积累了人类几千年的智慧，去芜存菁，才见到它在工业上的应用。
有时候，我们可以很快地见到基础科学的应用，电磁学就是一个例子。在19世纪法拉第和麦克斯韦发现电磁方程后不久，爱迪生等人就将它用到日常生活中去。但是有些研究却要等很久才见到它们的应用。数论中有很多深奥的理论，一直都以为纸上谈兵。但是这20年来在密码学研究方面，运用了大量的数论的前沿理论。
有些人认为，基础科学需要有深入的训练，有深度的看法，才能产生新的结果，好的创意，旷日弥久，难有快速成功的机会。不如等待别人做好基础的研究后，拿过来用就是了。但是他们忘记了一点，自己觉悟出来的理论，通过自己劳动得到的结果，自己才最了解它的长短，应用起来才能得心应手。在科技发展一日千里的现代社会，我们非得掌握其中精髓，才能与人竞争。
我想从历史的观点来看看中国基础科学的发展。基础科学有别于科技，它是科技能够得以持续发展的基石。中国古代四大发明，确是领先世界，但是对于这些科技发明的基本原理的了解不够深入。到了19世纪，西方国家在科学技术的发展上，比中国进步得多，甚至大力地改进了我们的四大发明。这些成就得要归功于文艺复兴后伟大科学家如伽利略、牛顿、欧拉、高斯、黎曼、法拉第、麦克斯韦等人在基础科学上的伟大贡献。
基础科学除了帮助科技的创新和发明以外，它亦是统摄所有和宇宙中物理现象有关的学问。它必须对大自然有一个宏观的看法，因此需要哲学思想作其支持。此哲学思想又需要有助于人类了解大自然，并懂得如何让人类和大自然和谐相处。
近代基础科学家中，有不少是极其伟大的学者。他们的学问、思想和工作，可以影响科学界数个世纪之久（近30年来发表的科技刊物，不可胜数，文章的篇幅相信远超历史上所有文献总和。但是大部分文章除了作者外，可能没有人知晓。而有些文章流行两三年后，就被人遗忘。至于能够传世超过30年的文章，却是凤毛麟角）。其中，佼佼者有牛顿、欧拉、高斯、黎曼、法拉第、麦克斯韦、爱因斯坦、庞加莱、狄拉克、海森堡、薛定谔、外尔等人。
假如我们仔细去阅读他们的著作时，都会发觉他们有一套哲学思想。例如爱因斯坦在研究广义相对论时，就受到哲学家马赫（Mach）的影响。能够传世的科学工作，必先有概念的突破，而这些概念可能受到观察事物后所得到想法的影响。但是，更大的可能是他们的哲学观在左右他们的想法，影响到他们的审美观念，从而影响他们研究的方向。
哲学引导我们穷究事物最后存在的根据，探求根柢的原理。因此哲学需要探求一般现象共有的原理，来完成宇宙统一的体系。所以科学家不能局限于感觉的观察，必须经过思辨的功夫，方可补其不足！古希腊的哲人在这方面做得极为彻底。毕达哥拉斯、柏拉图和苏格拉底，一方面提出他们的哲学思想，一方面在数学、天文、物理学都有永垂不朽的贡献。
中国的哲学家也有对大自然感兴趣的，如名家和道家，可惜并没有发展出自然科学的基本思想，比如严格的三段论证，也没有系统化地研究一般性原则。
我想中国基础科学不如西方，这与中西方哲学思想的不同有极大的关系。
西方哲学家追求的是穷理致知，中国哲学家追求格物致知。基础科学的精神在于穷理，中国一般学者更讲究应用。在今日中国的学术界，尤其是这三十多年来留学海外的华裔学者，有成就的实在不少。但是领袖群伦，成一家之言的，却实在不多！有这样地位的学者，必须能够创造新的学问，新的方向，有自己的哲学来指引大方向。同时有决心、有毅力来穷究真理的本源。今日中国要在基础科学领域出人头地，必先学习基础科学背后深刻的哲学思想。
▍以人为本的中国哲学
我们现在来讨论中国古代的情形，并试图和古希腊做个比较。影响中国思想最深远的当然是孔子（约公元前551—前479），可儒家对基础科学的思想兴趣不大，子不语怪力乱神也。夫子有教无类的精神，影响了历代以来平民可以读书而至卿相的格局。儒家思想以人为本位。春秋鲁国大夫叔孙豹论三不朽——立德、立功、立言，却不谈大自然的事情。
在儒家的大师中，荀卿（约公元前298—前238）在楚国兰陵讲学多年，受道家的影响比较深。他一方面主张不可知论的唯理主义，但否认理论研究的重要性，而主张技术的实际应用。所以他说：
从天而颂之，孰与制天命而用之！
故错人而思天，则失万物之情！
故明君临之以势，道之以道，申之以命，章之以论，禁之以刑。故其民之化道也如神，辨说恶用矣哉！
荀子认为政府应该带领和指导人文的发展，老百姓是不必辩说的。这个观点和古希腊精神大相径庭。
既然不用辩说，科学无从而起，工匠技术得以发展。荀卿将儒家的正名移交政治权威时，已经十分接近法家。他的弟子李斯成为秦国丞相，作为法家的实践者，就不足为奇了。秦始皇焚书坑儒，春秋战国时代百家争鸣的局面，从此湮灭，最为可惜。
孔子继承祭祀先人的观念，主张服三年之丧，又说：三年无改父之业，可谓孝矣。历朝皆标榜以孝治天下，宗庙祭祀已经接近宗教信仰了。千百年来，孔子受到历朝皇帝的尊崇，中国主要的城市都有孔庙，儒家变成儒教，这对中国历史上基础科学的发展，也有影响。
和儒家对立的墨子（约公元前479—前381），主张兼爱和非攻。他精通筑城和防御技术，研究力学和光学。后期墨子开始注意实验科学基础的思想体系，这个想法可能是要和各家争辩取得胜利的缘故。
此后出现了战国时的惠施和西汉时的公孙龙，被史学家司马谈和班固尊称为名家。他们的著述大部分失传，《公孙龙子》一书，部分留存，还有一部分载在庄子书中。他们开始注意抽象的逻辑理论，发展了悖论。这些悖论和希腊芝诺（Zeno of Elea）的悖论接近。悖论有助于逻辑学的发展，可惜中国在这方面的研究远逊于西方。
在齐国，邹衍得到齐宣王的尊重，在稷下这个地方发展了五行学说和阴阳的观念。稷下学宫容纳几乎各个学派的学者。上述的荀卿在五十多岁就曾游学稷下，其他学者包括淳于髡、慎到、田骈等。在那个时候，楚国的兰陵，齐国的稷下，是天下学术中心，媲美古希腊时代柏拉图的学园。
邹衍提出的五行概念，是中国的自然主义，也是科学的概念。他们认为木克土、金克木、火克金、水克火、土克水，循环又周而复始。邹衍的学说很受诸侯的重视。《史记·历书》说：“是时独有邹衍，明于五德之传，而散消息之分，以显诸侯。”又说：“而燕齐海上之方士传其术不能通，然则怪迂阿谀苟合之徒自此兴，不可胜数也。”
虽然古希腊和中国五行学说有相似的地方，但是分歧更大。五行的概念也影响了炼丹术的发展。汉儒董仲舒等继续发扬五行之说。西方的元素概念从柏拉图开始，不断地通过推导、观察，形成现代的原子、化学元素的概念。中国的阴阳和五行学说，开始时是自然科学思维雏形，但是逐渐发展为解释人事的学说。
现在来谈道家。儒家和道家影响了中国两千多年来的思想，不可不研究它的内容。和道家有关的著作有老子的《道德经》、庄周的《庄子》，还有《列子》《管子》和《淮南子》。何炳棣先生认为都源于《孙子兵法》。事实上，道家应该起源于战国初期喜欢探索大自然之道的哲学家。他们认为要治理人类社会，必须对超出人类社会的大自然有深入的认识和了解。
道家也受到齐国和燕国的巫师和方士这些神秘主义者的影响。他们认识到宇宙和自身都在不断地变化。他们对于自然界的观察转移到实验，炼丹术成为化学、矿物学和药物学研究的开始。可惜他们并未将观察系统化，缺乏亚里士多德对事物分类的能力，又没有创造一套适用于科学的逻辑方法。这是很可惜的事情！
综观上述诸子，在春秋战国时，百家争鸣，影响了中国两千多年的思想历史。现在很多年轻人即使不在乎这段历史文化，却是受到它们的深刻影响而不自知。汉武帝独尊儒家，儒家享有至高无上的地位。此外，中国还受到道家思想的影响。魏晋南北朝时，基础科学获得空前的发展，刘徽注《九章算术》，祖冲之父子计算圆周率和球体积，以及《孙子算经》的剩余定理，都是杰出的数学成就。
东晋医学家葛洪（公元284-364）开创中国化学的研究基础。天文和地理（如《水经注》）都取得空前的进步。可惜隋唐以后基础科学不受重视，以技术为主要方向，清末遇到西方现代科学文化的冲击，才开始了解中土文化有欠缺的地方。
受到儒家哲学的影响，中国人对定量的看法并不重视，往往愿意接受模棱两可的说法。一个例子是，中国的诗词有很多极为隐晦的语句，其特点是富有意境！
但是当测量师、木工、建筑师、雕塑家、音乐家得到精细的数字时，中国古代学者对这些数字却没有兴趣去做深入的研究。从这点来看中国古代学者对科学的态度和西方不一样。
东西方哲学大相径庭，对人生的看法也不一样。
▍现代科学与希腊文化
西方的科学，都可以溯源到古希腊时代。从公元前625年到公元前225年间，哲学家辈出，穷理致知。到柏拉图和亚里士多德的时候，更将哲学范围扩大，包括讨论宇宙和人生的一切。
古希腊的科学观和宇宙观，在文艺复兴和人文主义开始时，由培根（Francis Bacon）和笛卡尔（René Descartes）发扬光大，影响到今日基本科学的想法，所以我们在下面纵述古希腊哲学家源流和中国哲学源流的比较，从中可以找到中国基础科学落后于西方的原因。
哲学的任务，在于聚集一切的事物，总结一切的知识，构成整个的宇宙观和人生观的基础。有系统的哲学研究，大致上从公元前625年开始。希腊哲学的奠基时代从这年开始到公元前480年（该年希腊海军打败波斯人，亦是孔子卒前一年）。公元前625年到公元前480年的早期希腊哲学，开始摆脱希腊神话的传统思维，转而探寻本源。这个时期分东西两派。
东派以泰勒斯（Thales，约公元前624—前546）为代表，他可说是古代第一位几何学家、天文学家和物理学家，开始了论证的方法，并提出世界本质的观念（idea of nature）。他生于米利都（Miletus），是米利都哲学学派的创始人。此地濒临大海，海洋变化多端，因此有好奇心来考究与自体相同而同时能运动的宇宙本质。他们认为物质之中，含有精神的要素。他们主张宇宙为生灭流转之过程，无始无终的大变化。
西派有爱利亚学派（Eleatic School）和毕达哥拉斯学派（Pythagorean School）。爱利亚学派的创导者是齐诺芬尼斯（Xenophanes，约公元前570—前475），他定居于意大利西南部的爱理亚，他认为构成宇宙的原始本质是不变的。这和东派相反。此派学者芝诺（Zeno of Elea，约公元前490—前430）是辩证法（dialectics）和诡辩术（sophistry）的始祖。
西派另一派为毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570—前495年）是小亚细亚附近的萨摩斯岛人（island of Samos）。他在意大利南部的克罗多纳（Crotona）讲学，以神秘宗教为背景，此种神秘宗教盛行于色雷斯（Thrace）。每年有年会，狂歌狂饮，以图超脱形骸的束缚，谋求精神的解脱。毕氏的贡献以音乐、数学及天文学为主。
他们认为数是万有之型或相（form），并认为宇宙的实体有二，就是数与无限的空间。一切事物的根本性质和“存在”，是基于无限的空间之形成于算数的具体方式。数是“存在”的有限方面，而空间是“存在”的无限方面，真的“存在”即是两方面的联合，缺一不可。数是自然事物的方式或模范，它预备了“模型”（mould）。无限的空间则供给“原料”（raw material）。二者相合而万象生。
此派的宇宙观念，认为世界万有以火为中心，天体有十，绕火作运动，为后来哥白尼（Copernicus）的天文学说之源头。毕氏亦研究音乐，量弦之长短，以定音，是故音亦数也。值得一提的是，《易经·系辞下》中所谓“象”，实即form。谓：“《易》者，象也”“圣人立象以尽意”。《易经》认为在变化的现象中，抽出不变的概念，而以简单的方式表达，是所谓象。这个观念和上述的数的概念很接近。
泰勒斯和毕氏学派均主张宇宙本土为一元之说，一派主变，一派主不变；一派主动，一派认为动是假象。为解决这些矛盾，遂有调和派的多元论产生。他们以为变易非变形，乃换位。是大块中各小分子的换位，生灭都不过是位置的变易而已。创造是新结合，破坏不过是分子的分散而已。
这段时期的希腊哲学家认识到知识界的有秩序和感觉界的无秩序。他们的秩序是研究天文学得来的。他们寻求的永存不变的原理，是在诸星单纯的关系中所发现的。
在公元前480年，雅典战胜波斯以后，希腊文明逐渐移入雅典，进入了希腊启蒙时代（the Age of Enlightenment）。这时由伯里克利（Pericles）执政，达32年之久。
这段时期，名家辈出：雕刻家菲狄亚斯（Pheidias），悲剧大师欧里庇得斯（Euripides）、埃斯库罗斯（Aeschylus）和索福克勒斯（Sophocles），历史学家希罗多德（Herodotus）和修昔底德（Thucydides），哲学家普罗泰戈拉（Protagoras）、苏格拉底（Socrates）和德谟克里特（Democritus）。
在这段时期，平民政治代替了贵族政治。问政需要知识，法庭申辩需要才智，因此学问要求也愈益迫切，同时更加普及化，对政治，对法律，对传统和对自己都加以批评，呈现了灿烂的奇观。
希波战争以后，文化得到自由发展。个人觉醒，由怀疑而批评的精神发展到了极点。由批评而入于怀疑的，当时叫作辩者（sophists）或哲人。由怀疑而再入于肯定的代表人物，则是苏格拉底（Socrates，约公元前469—前399）。他生于雅典，是这时代最重要的人物。他认为知识即道德，而道德即幸福。
哲人原文为智者，他们教授平民文学、历史、文法、辩论术、修辞学、伦理学和心理学等学科。哲人运动，长达百年。希腊小孩子学习体育和音乐，所谓音乐包括几何学、七弦琴、诗歌、天文、地理和物理等，16岁起受教于这些哲人。
苏氏的主要继承人为柏拉图（Plato，约公元前427—前347），也是雅典人，仪表堂堂，好美术诗歌，师从苏格拉底8年，40岁后在雅典郊外成立学院（academy），可说是教育史和学术史上之盛事！他认为有两个世界：理念的世界（world of ideas）和物质（现象）的世界，前者为至善，后者要达到至善，通过爱（Eros）人类于不完全中求完全的渴望乃是爱。
柏拉图之后，他的学生亚里士多德（Aristotle）集希腊哲学家科学之大成，他是亚历山大大帝的老师。他的学说，宏博无比，我们常用的三段论证法，即源于亚里士多德。
公元前338年腓力二世赢得喀罗尼亚战役，结束了希腊的独立。两年后，他被刺身亡。他的儿子亚历山大继位，在12年间征服了一大片土地，希腊文化走向了终结，而开辟了一个新的希腊化时代，他把希腊文化输送到了亚洲的心脏地带。他33岁去世。
亚历山大的朋友托勒密（Ptolemy）成为埃及的总督。他在公元前320年征服了巴勒斯坦和叙利亚。在希腊人的统治下，埃及成为东方和西方的融合处，亚历山大城聚集了马其顿人、希腊人、埃及人、犹太人、阿拉伯人、叙利亚人和印度人。因此希腊的城邦观念被世界主义的观念取代了，在这里建立了亚历山大博物馆，希腊文化因此移植到埃及来。
在这里诞生了欧几里得（约公元前325—前265）和他的《几何原本》。该书有13卷，前6卷讨论平面几何，第7卷到第10卷讨论算术和数论，后3卷讨论立体几何。这本书受亚里士多德公理化理论影响，将很多重要和已知的数学定理，用公理严格地统一起来，影响了基础科学的发展。牛顿和爱因斯坦都想用简洁的原理来统一说明物理现象，这也是《几何原本》所追求的精神。
在数论方面，欧几里得证明了一个漂亮的命题：素数有无穷多个。这个命题开创了素数的研究。他发明找寻最大公约数的方法，现在叫作欧几里得算法，至今还是一个很重要和实用的工具。
紧跟着欧几里得的大数学家有西西里岛上的阿基米德（约公元前287—前212）。他发明了穷竭法，从而计算各种立体和平面几何图形的体积和面积（例如球体和抛物线及曲线围绕出来的面积），可以说开近代微积分的先河。他用逼近法计算圆周率，还开创了静力学和流体力学，影响到牛顿力学的发展。
欧几里得和阿基米德以后，罗马帝国兴起，疆域横跨欧亚大陆，将希腊文化传播得更远。但从基础科学的观点来看，罗马帝国虽然击败了希腊，但被希腊文化征服了。波斯人和阿拉伯人倒是保护了希腊的文化，融合了古巴比伦人在代数方面的贡献，将之继续发扬光大。
近代基础科学萌芽于希腊，茁壮于文艺复兴时代。我们以上的论述，基本上集中在公元前625年到公元前225年这400年间的希腊文化，无论从哪个角度看，这是人类文明的极致，现代科学成功的基础。西方科学，由希腊留存下来的哲学引导，至于今日，大放异彩！这些事实，绝不是偶然发生的。例如古希腊哲学家基于哲学的观点而提出的原子理论，到目前还是基本上正确的。至于牛顿和爱因斯坦不同的观点，在于时空是静态还是动态，其实是希腊哲学家辩论的一个重要命题。
▍结语：科学面前，人人平等
科技的发达，固然是现代先进国家富强和持续发展最重要的一环。科技依赖于基础科学的发展。哪个国家能够领导科技，必将强大；哪个国家能够领导基础科学，其强大必定会历久不衰。科学家是有血有肉的人，所以基础科学需要人文科学来培养他们的气质和意志。
哲学是统摄这些学问的根源，基础科学需要哲学的帮助，才能不断创新前进。中国和古希腊大约都在公元前6世纪开始哲学的研究，但是由于种种不同的历史原因，中国在西方文艺复兴后，大幅落后于西方。这个问题需要从最基本的哲学观点着手，始能够解决我国科学工作者对于科学的基本态度，更深入地了解基础科学的价值观念。
在不同时代，中国学者表现的风骨并不一样。有时，中国人重人事关系，远比真理为重。如何解决这个问题是中国科学现代化的重要一环。在真理面前，人人平等！这个显而易见的科学精神，必须得到重视。
希腊亡于罗马，宋朝亡于蒙古人。亡国者的文化远胜于侵略者。但其实这是两个问题。最理想的状态是，一群人一生致力于文艺和基础科学的研究，另一群人做技术上的研究，还有人致力于将技术变成产业。几方面协力共进，社会和国家才会得益。