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ferrygao 写了： ↑周日 1月 07, 2024 3:11 pm 老板 这个不是爱因斯坦

真正的有重大原创的天才的天赋之间是有差别的。

爱因斯坦与纳什之间隔了好几级。

爱因斯坦，格洛腾迪克这级；

法尔廷斯（G.Faltings）能在中学或大学迅速完全领会上一级的原创真理，并作出自己的重大原创，并且对知道别的原创的目标和境界知道原创真理的内容知道什么肯定是对的，只要知道原创结论则不看原创的推理过程，自己可以用不同的方法和道路完全独立地复制出别人原创；

能领会的原创真理，并在框架下做出自己的重大原创，较杰出的菲尔兹；

能领会的原创真理，并在框架下、方法下、道路上做出自己的重大原创，纳什这种；

能领会的原创真理做出一定的原创，一些名校较杰出的教授；

能大致领会的原创真理，并教授学生传承知识，写出比较合理的教科书， 大致是GTM52 作者这类名校教授；

能在已知知识的竞赛中刷题得奖，比如竞赛金牌银牌，但读知识普及版譬如GTM52 觉得很困难。


附一篇网友 floer写的关于GTM52的旧网文。


GTM 52 应该是 GTM 系列里面比较难念的一本书。 很多数学系研究生耗费很多时间念
没念好。我知道的例子里面， 有MIT代数几何大牛 Michael Arting 以前一个中国学生，
奥赛金牌， 因为念这本书一年多没多少进展， 过不了QUALIFY。
因此和ARTING 关系日渐恶化， 最后离开了MIT。

这本书难念， 原因之一是需要一定准备知识。要念懂GTM52，至少需要一个交换代数一
学期的本科高年级内容， 另外对同调代数有点最基本的训练， 对它的的思维方式起码
不至于陌生。这些准备内容， 在大陆一般院校的本科教学里面并没有COVER。

这本书难念更重要的原因是第2，3章介绍的HUGE MACHINNERY of high tech。
GTM52 第一章处理VARIETY， 优点是简明扼要，缺点是材料太少，
不足以给学生足够的几何直觉， 支撑第2，3章的学习。
GTM 52 的精华是第2，3章， 介绍SCHEME 和 它上面的COHOMOLOGY THEORY。
SCHEME的概念已经高度抽象， 初学者会觉得学习很多概念时HIGHLY UNMOTIVIATED。
SCHEME 上的COHOMOLOGY 理论的建立更需要很多技术上的准备。
初学者很容易陷入技术细节的推导上，一叶障目，不见森林。

我个人认为GTM52 其实不应该做为代数几何FIRST COURSE 的教材， 虽然它PRETEND 读
者没有代数几何的任何基础。(数学成熟度比较高或者有天才的读者另当别论。) 要是
你不准备今后从事代数几何研究， 但是希望学好代数几何最基本的知识， 我个人觉得
Igor Shafarevich 的BASIC ALGEBRAIC GEOMETRY 那样的课本肯定是更好的选择。它的优点
是有大量具体的例子， 另外处理DIVISOR,DIFFERENTIAL FORM, INTERSECTION THEORY，
都是对最简单的PROJECTIVE VARIETY 做 的。 这样处理，几何意义反而最明晰。
SHAFAREVICH 里面对SCHEME 上的 COHOMOLOGY 应该没有讲透。
但是念了它以后，读者再念gtm 52 的第2，3章 就应该很容易了。

念懂GTM 52 的研究生， 应该还是有一定数学能力的。 不过这个标准充其量也就是衡
量研究生低年级阶段数学能力的标准。 衡量数学家的能力， 当然还是要看他工作是否
重要，而不是念懂了什么难念的书。 对GROTHENDICK 是20世纪后半叶最重要的极少数
几个数学家之一， 我完全赞同。 但是GROTHENDICK 之所以伟大， 是因为他基本从无
到有，把GTM 52 的基本框架建构起来， 而不是他把 他以前的数学家的教材或者论文
念得特别好。 就是这个GROTHENDICK，当他朋友访问他抱怨当时新建立的EHS 没什么数
学书籍时， 他的回答是： We do not read books; we write books.

没有人否认GROTHENDICK 的伟大。 但要把这种个人崇拜推到只有GROTHENDICK 风格的
数学才是好数学， 那就荒唐可笑了。 就拿复数域上的代数几何来说， 本来就有纯粹
代数的和超越的两种APPROACH，这本来是数学的幸事。 对深刻的东西， 我们自然希望
可以从不同的角度理解。要把超越的复代数几何赶出代数几何，对代数几何本身肯定是
灾难。

其实不管数学的分支是什么， 有好的思想，有原创力的数学就是好数学。
应用数学家里面也有PETER LAX 那样伟大的数学家，他对数学的贡献超过绝大多数的纯
粹数学家。
而内容空洞，没什么新意的数学， 即使打着抽象代数几何的旗帜，也是坏数学。

除了上述的第一级第二级的那种百年一遇的天才，其他的人，即使有天赋，刚入校的本科生或刚毕业的本科生，不管是不是名校本科，实际上暂时还什么都没有什么都不是，他们中的多数人一辈子都会是如此。只有极少数以后可以脱颖而出。

沃尔夫（数学奖）有补偿该得菲尔兹但因种种原因错过了的重要数学家，比如André Weil, Israel Gelfand, Andrey Kolmogorov, Mikhail Gromov 等等。

André Weil被广泛认为是二十世纪后半叶最伟大的四位数学家Michael Atiyah， André Weil， Alexander Grothendieck， J-P Serre中的一位。四位中的J-P Serre认为Weil的工作比Grothendieck的重要些。 Weil对数学的十四个重要分支有实质性的贡献。建立了核心数学现代代数几何的基础。他是布尔巴基学派的精神领袖，是法国数学的骄傲。两次带领法国数学走出由于战争年轻数学家战死疆场而丧失了整代法国年轻数学家造成的数学低谷重现法国数学的辉煌。他年轻时几乎拿到菲尔兹，后因评奖委员会某些成员的原因，失之交臂。沃尔夫奖给他是补偿。

Gelfand, Kolmogorov没拿到Fields是因为当时西方学界欺负前苏的数学家。给他们沃尔夫奖是纠错补偿。

Gromov时代西方学界已经不欺负俄乌的数学家了。评菲尔兹时他的竞争对手是丘成桐。犹太大牛Nirenberg力主把菲尔兹给了丘。两人当时工作差不多，Gromov略强。多数顶级数学家更欣赏Gromov。长期来看，觉得Gromov的工作有远见有重大影响，更深刻更广些，有一些一流传家认为Gromov比丘要高一个量级，虽然丘的工作也是杰出的。因此把沃尔夫给了当时还很年轻的Gromov作为补偿。这奖的得奖人得奖时的年纪一般都偏大人偏老。

阿贝尔奖给Nash也是补偿的意思。DeGorgi-Nash估计虽对偏微分方程具有根本的（fundamental）的重要性，但当时（1966）的四位菲尔兹得奖人的工作都比这牛。
Atiyah，Grothendieck这两位有二十世纪最伟大的数学工作；
Stephen Smale解决了五维以上的庞加莱猜想；
Paul Cohen解决了希尔伯特的23个问题中的第一个问题，证明了康托尔的连续统假设与策梅洛-弗兰克尔Zermelo-Fraenkel公理系统彼此独立 。

他疯掉与没拿到这奖有一定的关系。后来补给他一个阿贝尔。觉得他的DeGeorgi-Nash估计的份量不够这奖，加上他的一般黎曼流形在欧式空间的等距嵌入定理也不太够。

Nash的黎曼流形在欧式空间的等距嵌入定理后来被德国的一低年级研究生用非正交系方法初等方法重新证明。这位德国青年的通过选取适当的非正交系来避免失导，也就不需要像Nash一样面对失导引起巨大困难。这个第二个证明在数学上大致相当于陈景润的1+2，作者得到与陈景润一样的数学待遇：被邀请在国际数学大会上作45分中的（分组）报告。数学家大会上的最高待遇是一小时（对大会全体的）报告或菲尔兹奖。相当于Nash用的是正交系，方便但光滑性在减少，过程中须不断补偿，最终才有足够的紧性。这个需要技术上的重大革新。Nash的这个嵌入定理的证明是过于高级了，不需要这样。证明越初等用到的工具越少越好。但这嵌入定理的credit归于Nash，是他的原创和光荣。Nash证明中原创工具和方法是了不起的，有着其它的应用。