- 周四 11月 16, 2023 10:32 am
#3317
仿佛来自虚空——Grothendieck的故事（上）
编织者
Grothendieck是谁？Grothendieck做了什么？为什么这么多人会喜欢Grothendieck？为什么我一个上班族，会想着寻找志同道合之士去一同翻译《收获与播种》第二章（可能带上第三章）？下面这篇15年前的古老文章里，应该有一些答案。
本文是Notices2004年10月和11月份Allyn Jackson关于Alexandre Grothendieck文章的翻译，译者是欧阳毅教授。
知识分子以前也推送过此文，并进行了排版，删改文字，且附上了各种图片，参考：
Grothendieck的故事（一）
Grothendieck的故事（二）
Grothendieck的故事（三）
Grothendieck的故事（四）
Grothendieck的故事（五）
Grothendieck的故事（六）
在此特别推荐给志趣相投的人。
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仿佛来自虚空(1)
每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。
——《收获与播种》，第20页
亚历山大－格洛腾迪克是一位对数学对象极度敏感，对它们之间复杂而优美的结构有着深刻认识的数学家。他生平中的两个制高点——他是高等科学研究院（IHES）的创始成员之一，并在1966年荣获菲尔兹奖——就足以保证他在二十世纪数学伟人殿里的位置。但是这样的叙说远不足以反映他工作的精华，它深深植根于某种更有机更深层的东西里面。正如他在长篇回忆录《收获与播种》中所说: “构成一个研究人员的创造力和想象力的品质的东西，正是他聆听事情内部声音能力”（原书第27页）。今天格洛腾迪克自己的声音，蕴含在他的著作中，到达我们耳中，就如来自虚空：如今76岁的高龄，他已经在法国南部的一个小村落里隐居十多年了。
用密歇根大学海曼－巴斯的话来说，格洛腾迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。如今这种观点已经如此深入吸收到数学研究里面，以至于对新来的研究者来说，很难想象以前并不是这样的。格洛腾迪克留下最深印迹的是代数几何学，在其中他强调通过发现数学对象间的联系来理解数学对象本身。他具有一种极其强大、几乎就是来自另外一个世界的抽象能力，让他能够从非常普适的高度来看待问题，而且他使用这种能力又是完美无缺的精确。事实上，从二十世纪中叶开始，在整个数学领域里不断加深的一般化和抽象化的潮流，在很大程度上归功于格洛腾迪克。同时，那些为一般化而一般化，以至于去研究一些毫无意义或者没有意思的数学问题，是他从来不感兴趣的。
格洛腾迪克在二次世界大战期间的早期生活充满混乱和伤害，并且他的教育背景并不是最好的。他如何从这样缺乏足够教育的开始脱颖而出，成为世界上的领袖数学家之一，是一出精彩的戏剧——同样，在1970年，正当他最伟大的成就在数学研究领域开花结果，而且数学研究正深受他非凡个性影响的时候，他突然离开了数学研究，也是富有戏剧性。
早期生活
对于我来说，我们高中数学课本最令人不满意的地方，是缺乏对长度、面积和体积的严格定义。我许诺自己，当我有机会的时候，我一定得填补这个不足。
——《收获与播种》，第3页
2003年八月以八十岁高龄过世的普林斯顿高等研究院的阿曼德－波莱尔回忆起他在1949年11月在巴黎一次布尔巴基讨论班上第一次见到格洛腾迪克的情形。在讲座的空歇时间，当时二十多岁的波莱尔正与时年45岁，法国数学界那时的一位领袖人物查尔斯－爱尔斯曼聊天。波莱尔回忆说，此时一个年轻人走到爱尔斯曼面前，不作任何介绍，当头就问：“你是拓扑群方面的专家吗？”为了显示自己的谦虚，爱尔斯曼回答说是的，他知道一点点关于拓扑群的知识。年轻人坚持说：“可我需要一个真正的专家！”这就是亚历山大－格洛腾迪克，时年21岁——性急，热情，确切说不是无礼，但对社交礼仪差不多一无所知。波莱尔记得格洛腾迪克当时问了一个问题: 每个局部拓扑群是否是整体拓扑群的芽？波莱尔自己恰好知道一个反例。这个问题表明格洛腾迪克那个时候就已经考虑用很普适的观点还考虑问题了。
1940年代末在巴黎度过的时期是格洛腾迪克首次和数学研究世界的真正接触。在此之前，他的生活——至少就我们所知道的情况而言——几乎没有什么可以预示他注定成为这个世界一位具统治地位的人物。大多关于格洛腾迪克的家庭背景和早期生活的情节都是粗略或者未知的。穆斯特大学的温弗雷德－沙劳正在撰写一部格洛腾迪克的传记，因而对他的这段历史作了详细研究。下面我对格洛腾迪克生平的简略描述的大部分信息来自于对沙劳的一次访谈或者来自于他收集的关于格洛腾迪克生平的资料。
格洛腾迪克的父亲，其名字或许叫亚历山大－沙皮诺，于1889年10月11日生于乌克兰诺夫兹博科夫的一个犹太人家庭。沙皮诺是一个无政府主义者，参加过20世纪早期沙皇俄国多次暴动。在17岁的时候他被捕，尽管成功逃脱死刑的判决，但是数次越狱又被抓获，让他一共在狱中呆了大约10年时间。格洛腾迪克的父亲，有时候常常被人混淆为另外一个更有名的亚历山大－沙皮诺，他也参加过了多次政治运动。那位沙皮诺，曾在约翰－里德的名著《震撼世界的10天》里面出现过，移民去了纽约并于1946年去世，那时候，格洛腾迪克的父亲已经过世4年了。另外一个关于格洛腾迪克父亲的显著特征是他只有一只手。根据贾斯汀－巴姆比（她在1970年代曾经与格洛腾迪克生活过一段时间，并且和他育有一个儿子）的话来说，他的父亲是在一次逃避被警察抓获而尝试自杀的行动中丢失他的一只胳膊的。格洛腾迪克本人可能不知情地帮助造成这两个沙皮诺的混淆：举个例子，高等科学研究院的皮埃尔－卡迪耶尔提到格洛腾迪克坚持里德的书里面一个人物是他父亲。
仿佛来自虚空(2)
小朋友时代结束。下面牛人们将一个个登场。
1921年，沙皮诺离开俄国，从那时起，终其一生他都是一个无国籍人。为了隐瞒他的政治过去，他获得了一份名叫亚历山大－塔纳洛夫的身份证明，从此他就用这个新的名字。他在德国，法国和比利时都呆过一段时间，和无政府主义者和其他革命团体均有联系。在1920年代中期一个激进份子圈子里面，他认识了格洛腾迪克的母亲，琼娜（汉卡）－格洛腾迪克。她于1900年8月21日出生在汉堡一个中产阶级路德教徒家庭里。出于对她所受的传统教育的反叛，她被吸引来到柏林，当时那里是先锋派和社会革命运动的温床。她和沙皮诺都渴望成为作家。他从没有发表过什么东西，而她在报纸上发表过一些文章；特别的，在1920年到1922年间她为一家左翼报纸Der Pranger写稿，当时它正在调查生活在汉堡社会底层的妓女们卖淫的真正原因。很久以后，在1940年代，她写了一本自传小说Eine Frau（《一个小女人》），不过从未发表。在他一生的大部分时间，塔纳洛夫是一位街头摄影师，这项工作让他可以独立生活，又不用违背自己的无政府主义信仰去被人雇佣。他和汉卡曾经都结婚过，而且都各有一个前次婚姻所生的孩子，她有个女儿而他有个儿子。亚历山大－格洛腾迪克于1928年3月28日出生于柏林，其时他们家由汉卡，塔纳洛夫，汉卡的女儿、比亚历山大大四岁的麦娣组成。他被家人和后来的密友们叫做舒瑞克；他父亲的昵称叫萨沙。尽管他从来没有见到过他的同父异母哥哥，格洛腾迪克将他在1980年代完成的手稿A La Poursuite des Champs（《探索Stacks》）献给了他。
1933年，纳粹上台后，沙皮诺从柏林逃到了巴黎。同年12月，汉卡决定追随丈夫，于是她将儿子留在汉堡附近布兰肯尼斯的一个寄养家庭里面；麦娣则留在柏林一个收养残疾人的机构里，尽管她并不是残疾人（《收获与播种》，472－473页）。这个寄养家庭的家长是威尔海姆－海铎，他的不平凡的一生在他的传记Nur Mensch Sein里面得到详细描述；同书里面有格洛腾迪克1934年的一张照片，而且在书中他被简要提起。海铎曾经是路德教会牧师和军官，随后他离开教会，成为小学教师，同时是一位Heipraktiker（这个词现在可以粗略翻译为“另类医学的从业者”， 江湖医生）。1930年他创立了理想主义政党人道主义党，此党后来被纳粹认定为非法。海铎自己有4个孩子，他和妻子代格玛，出于他们信仰的基督教义务，又收养了好几个孩子，他们都由于在二战前那段混乱日子不得不与自己的家庭分开。
格洛腾迪克从5岁到11岁，在海铎家里呆了5年多，并且开始上学。代格玛－威尔海姆在回忆录里面说小亚历山大是一位非常自由，特别诚实，毫无顾忌的小孩。在他生活在海铎家这几年里，格洛腾迪克只从他母亲那里收到几封信，他父亲根本就没有给他写过信。尽管汉卡仍然还有些亲戚在汉堡，从没有人来看过他。突然和父母分离，对格洛腾迪克是非常伤心的事情，这可以从《收获与播种》书中看出（473页）。沙劳认为小亚历山大可能在海铎家里过得并不愉快。从两个无政府主义者作家长的不受拘束的家里出来，海铎家里的比较严肃的氛围可能比较让他觉得郁闷。事实上，他和海铎家附近其他一些家庭更亲近些，成年以后他仍然多年坚持给他们写信。他也给海铎家写信，并且数次回来拜访汉堡，最后一次是在1980年代中期。
1939年，战争迫在眉睫，海铎夫妇所承受政治压力也越来越大，他们不能够再抚养这些孩子了。格洛腾迪克这个情况更困难些，因为他看上去就象犹太人。尽管他父母的确切地址不为人知，但是代格玛－海铎写信给法国驻汉堡领事馆，设法给时在巴黎的沙皮诺和时在尼姆兹的汉卡带去消息。联系到他父母以后，11岁的格洛腾迪克被送上从汉堡到巴黎的火车。1939年5月他和父母团聚，他们在一起度过了战前的短暂时光。
目前我们并不确切知道当格洛腾迪克在汉堡的时候，他的父母干了些什么的细节，但可以肯定他们政治上仍然很活跃。他们跑到西班牙参加了西班牙内战，当佛朗哥获胜后又逃回法国。由于他们的政治活动，汉卡和她的丈夫在法国被当作危险的外国人。格洛腾迪克回到他们身边不久，沙皮诺就被送入Le Vernet的国际集中营，此地是所有法国集中营中最糟糕的。很可能从那以后他再也没有看到他的妻子和儿子了。1942年8月，他被法国政府驱逐到奥斯维辛，在那里他被杀害。麦娣那段时期如何度过我们并不清楚，但最终她和一位美国士兵结婚，并移居美国；她于几年前过世。
1941年汉卡和她的儿子被送入Mende附近Rieucros的战俘收容所。就战俘收容所而言，Rieucros的这个算比较好的，格洛腾迪克被允许到Mende去读高中。然而，这种生活被剥夺了自由，又很不确定。他告诉巴姆比说，他和他母亲时常被那些不知道汉卡是反对纳粹的法国人故意躲开。有一次他从收容所跑了出去，想去刺杀希特勒，但他很快就被抓获，送了回来。“这很可能让他丢了性命的”，巴姆比说。格洛腾迪克一生以来都很强壮，是一个很优秀的拳击手，他将此归功于这段时期，因为他常常是被伏击的对象。2年后，母子俩又分开了：汉卡被送到另一个战俘收容所，而她的儿子则最终送到小镇Chambon－sur－Lignon。安德烈－特洛克姆，一位新教徒牧师，将这个山区休假胜地Chambon镇变成了反抗纳粹占领的据点和犹太人及其他被战争危及生命的人们的避难所。在那里格洛腾迪克被送到由一个瑞士组织成立的儿童之家。他在Chambon镇专门为年轻人的教育而设立的Cevenol学院上学并得到业士学位（即通过中学毕业会考）。Chambon人的英雄行为给了逃难者安全，但是生活却是很不稳定的。在《收获与播种》里，格洛腾迪克提到当时周期性的抓捕犹太人的行动迫使他和其他同学在森林里躲藏好几天（第2页）。
在此书中，他也提到些对Mende和Chambon上学情况的回忆。很显然，尽管少年时遇到的诸多困难和混乱，他从很小的时候起就有很强的内在理解能力。在他的数学课上，他不需要老师的提示就能区分什么东西是深层的、什么是表面的，什么是正确的、什么是错误的。他发现课本上的数学问题老是重复，而且经常和那些可以赋予它意义的东西隔离开。“这是这本书的问题，不是我的问题”，他写道。当有问题引起他注意时，他就完全忘我的投入到问题中去，以至于忘记时间（第3页）。
仿佛来自虚空（3）
从蒙彼利尔到巴黎到南锡
我的微积分老师舒拉先生向我保证说数学上最后一个问题已经在二三十年前就被一个叫勒贝格的人解决了。确切地说，他发展了一套测度和积分的理论（真是很令人惊讶的巧合！），而这就是数学的终点。
《收获与播种》，第4页
1945年5月欧战结束的时候，亚历山大－格洛腾迪克17岁。他和母亲居住在一蒙彼利尔郊外盛产葡萄地区的一个叫Maisargues的村子里。他在蒙彼利尔大学上学，母子俩靠他的奖学金和葡萄收获季节打零工来生活；他母亲也做些清扫房屋的工作。不久以后他呆在课堂的时间就越来越少，因为他发现老师全是照本宣科。根据让－丢多涅的话来说，那是的蒙彼利尔是"法国大学里面教授数学最落后的地区之一"。
在这种不那么令人激昂的环境下，格洛腾迪克将他在蒙彼利尔三年的大部分时间放在弥补他曾经觉察到的高中教科书上的缺陷，即给出令人满意的长度、面积和体积的定义。完全靠自己的努力，他实际上重新发现了测度论和勒贝格积分的概念。这个小故事可以说是格洛腾迪克和阿尔伯特－爱因斯坦两个人生平中几条平行线之一：年轻的爱因斯坦根据自己的想法发展了统计物理理论，后来他才知道这已经由约舒亚－维拉德－吉布斯发现了！
1948年，在蒙彼利尔完成理学学士课程后，格洛腾迪克来到了巴黎，法国数学的主要中心。1995年，在一篇发表于一法文杂志上关于格洛腾迪克的文章中，一位名叫安德烈－马格尼尔的法国教育官员回忆起格洛腾迪克的去巴黎求学的奖学金申请。马格尼尔让他说明一下在蒙彼利尔干了些什么。"我大吃一惊，"文章引用马格尼尔的话说，"本来我以为20分钟会面就足够了，结果他不停的讲了两个小时，向我解释他如何利用'现有的工具'，重新构造前人花了数十年时间构建的理论。他显示出来非凡的聪慧。"马格尼尔接着说："格洛腾迪克给了我这样的印象：他是一位才气惊人的年青人，但是所受的苦痛和自由被剥夺的经历让他的发展很不均衡。"马格尼尔立刻推荐格洛腾迪克得到这个奖学金。
格洛腾迪克在蒙彼利尔的数学老师，舒拉先生推荐他到巴黎去找他以前的老师嘉当。不过到底是父亲，时年快八十的埃里－嘉当，还是他的儿子，四十多岁的亨利－嘉当，格洛腾迪克并不知道（《收获与播种》，第19页）。在1948年秋天到达巴黎后，他给那里的数学家看在蒙彼利尔自己做的工作。正如舒拉所说，那些结果已经为人所知，不过格洛腾迪克并不觉得沮丧。事实上，这段早期孤独一人的努力可能对他成为数学家起了至关重要的作用。在《收获与播种》中，格洛腾迪克谈到这段时期时说："在根本不知情的情况下，我在孤独工作中学会了成为数学家的要素--这些没有一位老师能够真正教给学生的。不用别人告诉我，然而我却从内心就知道我是一位数学家：也就是说，完全从字面上理解，"做数学的人就好像人们'做'爱一样。"
他开始参加亨利－嘉当在高等师范学校开设的传奇性的讨论班。这个讨论班采用了一种格洛腾迪克在以后的职业生涯更严格化的模式：每一年所有的讨论围绕一个选定的主题进行，讲稿要系统的整理出来并最终出版。1948－1949年嘉当讨论班的主题是单形代数拓扑和层论--当时数学的前沿课题，还没有在法国其他地方讲授过。事实上，那时离让－勒雷(Jean Leray)最初构想层的概念并没有多久。在嘉当讨论班上，格洛腾迪克第一次见到了许多当时数学界的风云人物，包括克劳德－夏瓦雷(Claude Chevalley)，让－德尔萨(Jean Delsarte)，让－丢多涅(Jean Dieudonne)，罗杰－苟德曼(Roger Godement)，洛朗－施瓦兹(Laurent Schwartz)和安德烈－韦依(Andre Weil)。其时嘉当的学生有让－皮埃尔－塞尔(Jean-Pierre Serre)。参加嘉当讨论班以外，他还去法兰西学院听勒雷开设的一门介绍当时很新潮的局部凸空间理论的课程。
作为几何学家埃里－嘉当的儿子，自己本人又是一位杰出的数学家，并且又是巴黎高师的教授，从多个方面来看亨利－嘉当都是巴黎精英数学家的中心。而且他还是战后少数几位努力创造条件与德国同行们交流的法国数学家之一，尽管他自己很清楚战争带给的惨痛：他的弟弟参加了抵抗德国占领的地下运动，结果被德国人抓获并斩首。嘉当和当时的许多一流数学家--比如爱尔斯曼，勒雷，夏瓦雷，德尔萨，丢多涅和韦依--都有一个共同的背景，他们是"高师人"，即为法国高等教育的最高学府巴黎高等师范学校的毕业生。
当格洛腾迪克加入嘉当讨论班的时候，他还是个外来人：这不仅仅是说他居住在战后法国而又讲德语，而且因为他与其他参加者比较起来显得特别贫乏的教育背景。然而在《收获与播种》里，格洛腾迪克说他并不觉得象是圈子里面的陌生人，并且叙述了他对在那受到的"善意的欢迎"的美好回忆（第19－20页）。他的坦率直言很快就引起大家的注意：在给嘉当100岁生日的颂词中，Jean Cerf回忆说，当时在嘉当讨论班上看到"一个陌生人（即格洛腾迪克），此人从屋子后部随意向嘉当发话，就如同和他平起平坐一样"。格洛腾迪克问问题从不受拘束，然而，他在书上写道，他也发现自己很难明白新的东西，而坐在他旁边的人似乎很快就掌握了，就象"他们从摇篮里就懂一样"（第6页）。这可能是其中一个原因，促使他在嘉当和韦依的建议下，于1949年10月离开巴黎的高雅氛围去了节奏缓慢的南锡。另外，如丢多涅所言，格洛腾迪克那时候对拓扑线性空间比对代数几何更感兴趣，因此他去南锡恰当不过了。
仿佛来自虚空（4）
南锡的学习生涯
（我在这里受到的）欢迎弥漫开来… 从1949年首次来到南锡的时候我就受到这样的欢迎，不管是在Laurent 和Helene Schwartz的家（那儿我就好像是一个家庭成员一样），还是在Dieudonne的或者Godement的家（那里也是我经常出没的地方之一）。在我初次步入数学殿堂就包容在这样挚爱的温暖中，这种温暖虽然我有时易于忘记，对我整个数学家生涯非常重要。
————《收获与播种》，第42页
1940年后期，南锡是法国最强的数学中心之一；事实上，虚构人物尼古拉－布尔巴基据说是“Nancago大学”的教授，就是指在芝加哥大学的韦依和在南锡大学的他的布尔巴基同伴。此时南锡的教员包括德尔萨，Godement，Dieudonne和Schwartz。格洛腾迪克的同学包括Jacques－Louis Lions和Bernard Malgrange，他们和格洛腾迪克一样均是Schwartz的学生；以及Paulo Ribenboim，时年20岁，差不多与格洛腾迪克同时来到南锡的巴西人。
根据现在是（加拿大）安大略省Queens大学名誉教授Ribenboim的话来说，南锡的节奏不象巴黎那么紧张，教授们也有更多时间来指导学生。Ribenboim说他感觉格洛腾迪克来到南锡的原因是因为他基础知识缺乏以致很难跟上Cartan的高强度讨论班。这不是格洛腾迪克出来承认的，“他不是那种会承认自己也会不懂的人！”Ribenboim评论说。然而，格洛腾迪克的超凡才能是显而易见的，Ribenboim记得自己当时将他作为完美化身来景仰。
格洛腾迪克可能会变得非常极端，有时候表现得不太厚道。Ribenboim回忆说：“他不是什么卑鄙的人，只是他对自己和别人都要求很苛刻.”格洛腾迪克只有很少几本书；他不是从读书中去学习新的知识，而宁愿自己去重新建构这些知识。而且他工作得很刻苦。Ribenboim还记得Schwartz告诉他：你看上去是个很友善、均衡发展的年轻人；你应该和格洛腾迪克交个朋友，一起出去玩玩，这样他就不会整天工作了。
其时Dieudonne和Schwartz在南锡开设了关于拓扑线性空间的讨论班。如Dieudonne在[D1]所说，那时候Banach空间及其对偶已经理解得很清楚了，不过局部凸空间的概念当时刚刚引入，而关于他们的对偶的一般理论还没有建立起来。在这个领域工作一段时间后，他和Schwartz遇到了一系列的问题，他们决定将这些问题交给格洛腾迪克。数月之后，他们大吃一惊地得知格洛腾迪克已经将所有的问题都解决了，并在继续研究泛函分析的其他问题。“1953年，应当给予他博士学位的时候，有必要在他写的六篇文章中选取一篇做博士论文，可每一篇都有好的博士论文的水准，”丢多涅写道。最后选定作为论文的是“拓扑张量积和核空间”，这篇文章显示出他的一般性思考的初次征兆，而这将刻划格洛腾迪克的整个数学生涯。核空间的概念，在目前已经得到了广泛应用，就是首先在这篇文章里面提出的。Schwartz在巴黎一次讨论班上宣传了格洛腾迪克的结果, 其讲稿“格洛腾迪克的张量空间”发表于1954年[Schwartz]。此外，格洛腾迪克的论文作为专著1955年在美国数学会的Memoir系列出版；此书[GThesis]在1990年第七次重印。
格洛腾迪克在泛函分析方面的工作“相当出色”，加州大学洛山矶分校的Edwards E. Effors评论说。“他可能是第一个意识到二战后迅猛发展的代数和范畴工具可以用来研究如此高度解析的数学分支泛函分析的人了。”从某些方面来说，格洛腾迪克走在他的时代的前面，Effors注意到至少花了15年时间，格洛腾迪克的工作才结合到主流的Banach空间理论中去，这其中部分原因是大家对采用他的更代数的观点不积极。Effors还说道，近年来由于Banach空间理论的“量子化”，而格洛腾迪克的范畴论的方法特别适用于这种情况，他的工作的影响进一步得到加强。
尽管格洛腾迪克的数学工作已经得到很有前途的开始，他的个人生活还没有安定下来。在南锡他和母亲住在一起，根据Ribenboim的回忆，她由于肺结核偶尔会卧床不起。她是在收容所染上这种疾病的。就在这时候她开始写自传《小女人》的。格洛腾迪克和管理他和他母亲寄住的公寓的一位年老妇人的关系让他有了第一个孩子，一个名叫塞吉的儿子：塞吉主要由母亲抚养。完成他的博士学位后，格洛腾迪克找到永久职位的希望很小：他是无国籍人，而那时在法国非公民很难找到永久工作。想成为法国公民就得去参军，而格洛腾迪克拒绝这样做。从1950年起他通过国家科学研究中心（CNRS）有个职位，不过这个职位更象奖学金，而不是永久性的。有段时间他甚至考虑去学做木匠来赚钱谋生（《收获与播种》，第1246页）。
Laurent Schwartz于1952年访问了巴西，给那里的人说起他这个才华横溢的学生在法国找工作遇到的麻烦。结果格洛腾迪克收到圣保罗大学提供给他的访问教授职位的提议，他在1953年和1954年保持了这个职位。根据当时为圣保罗大学学生、现在是Rutgers大学名誉教授的Jose Barros－Neto的话来说，格洛腾迪克（和大学）做了特别安排，这样他可以回巴黎参加那里秋天举行的讨论班。由于巴西数学界的第二语言是法语，教学和与同事交流对格洛腾迪克来讲是件很容易的事情。通过去圣保罗，格洛腾迪克延续了巴西和法国的科学交流的传统：Schwartz之外，韦依、丢多涅和德尔萨都在1940和1950年代访问过巴西。韦依1945年一月到圣保罗，在那里一直呆到1947年秋天、他转赴芝加哥大学的时候。法国和巴西的数学交流一直延续到现在。里约热内卢的纯粹与应用数学研究所（IMPA）就有一个促成许多法国数学家到IMPA去的法－巴合作协议。
在《收获与播种》一书中，格洛腾迪克将1954年形容为“令人疲倦的一年”（163页）。整整一年时间，他不成功地试图在拓扑线性空间上的逼近问题上获得一些进展，而这个问题要到整整20年后才被一种和格洛腾迪克尝试的办法完全不同的方法解决。这是“我一生唯一一次感觉做数学是如此繁重！”他写道。这次挫折给了他一个教训：不管何时，要有几个数学“铁器在火中”，这样如果一个问题被发现很难解决，就可以在别的问题上下功夫。
现在为圣保罗大学教授的Chaim Honig，当格洛腾迪克在那儿的时候是数学系的助教，他们成了好朋友。Honig说格洛腾迪克过着一种斯巴达式的孤独生活，靠着牛奶和香蕉过日子，将自己完全投入到数学中。Honig有次问格洛腾迪克他为什么选择了数学。格洛腾迪克回答说他有两个爱好，数学和音乐，他选择了数学是因为他觉得这样可能更容易谋生些。他的数学天赋是如此显而易见，Honig说，“我当时相当惊讶他竟然在数学和音乐间犹豫不决。”
格洛腾迪克计划和当时在里约热内卢的Leopoldo Nachbin一起合写一本拓扑线性空间的书，不过这本书从来没有实质化过。然而，格洛腾迪克在圣保罗教授了拓扑线性空间这门课程，并撰写了讲义，这个讲义后来由大学出版了。Barros－Neto是班上的学生，他写了讲义上的一个介绍性章节，讲述一些基本的必需知识。Barros－Neto回忆说当格洛腾迪克在巴西的时候说起过要转换研究领域。他“很雄心勃勃，”Barros－Neto说道，“你可以感觉到这个行动——他应该做些很根本、重要而又基础的东西。”
仿佛来自虚空（5）
新星升起
这个最本质的东西就是每次塞尔会强烈感觉到某个陈述下隐含着的丰富意义，而这个陈述在字面意义上讲，无疑让我既不感到兴奋，也不觉得无味——而且他可以“传输”这种对如此内蕴丰富、实在而又神秘的实质的感知——这种感知在同一时候就是理解这个实质的渴望，以至看透它的本质。
《收获与播种》，第556页
格勒诺贝尔大学的Bernard Malgrange 回忆起当格洛腾迪克写完论文后，他宣称自己不再对拓扑线性空间感兴趣了。“他告诉我，‘这里面不再有东西可做了，这个学科已经死了，’”Malgrange回忆道。当时学生按要求需要准备一份“第二论文”，此文不必包含原创性的工作，其用意在于让学生展示对和自己博士论文研究相隔很远的一门数学领域的理解深度。格洛腾迪克的第二论文是关于层论的，这个工作或许埋下了他对代数几何的兴趣的种子，而这将是他做出最伟大成就的地方。在巴黎完成格洛腾迪克的论文答辩后，Malgrange记得他自己、格洛腾迪克和亨利－嘉当挤在一辆出租车上去Laurent施瓦兹家里吃午饭。他们坐出租是因为Malgrange在滑雪的时候摔断了腿。“在车上，嘉当告诉格洛腾迪克他叙述层论时犯的一些错误，”Malgrange回忆说。
离开巴西后，格洛腾迪克1955年在堪萨斯大学度过，可能是受到N. Aronzajn的邀请[Corr]。在那里格洛腾迪克开始投入到同调代数研究中去。正是在堪萨斯他写了“关于同调代数的若干问题”这篇文章，此文在专家圈子里面被非正式地称为“Tohoku文章”，由于此文发表在The Tohoku Mathematical Journal(《东北数学期刊》)上。此文是同调代数的经典，发展了嘉当和Eilenberg关于模的工作。也是在堪萨斯的时候，格洛腾迪克写了“带结构层的纤维空间的一般理论’一文，此文作为国家科学基金(National Science Foundation, NSF)的一个报告发表。这个报告发展了他关于非交换上同调的初步想法，此领域在后来他会在代数几何的架构下再次触及。
就是在这时候，格洛腾迪克开始和法兰西学院的让－皮埃尔－塞尔通信。他起初和塞尔在巴黎相识，而后来在南锡时又见过面。他们信件的精选在2001年出版了法文原版，在2003年出版了法英对照版[Corr]。这是一段长期而又硕果累累的交流的开始。这些信件显示了两个非常不同的数学家的深厚而又充满活力的数学联系。格洛腾迪克表现出天马行空般的想象力，而它又常常被塞尔的深刻理解和渊博知识带回到地面。有时候在信中格洛腾迪克会表现出很令人惊讶的无知：比如说，有一次他询问塞尔黎曼zeta函数是否有无穷多零点（[Corr],第204页）。“他的经典代数几何知识实质上等于零，”塞尔回忆说，“我自己的经典代数几何知识比他稍微好点，但好得不多，但是我试着去帮助他。可是…有这么多未解决的问题，所以这不是很重要。”格洛腾迪克不是那种了解最新文献的人，很大程度上他依靠塞尔来了解目前数学界正在干些什么。在《收获与播种》里，格洛腾迪克写道，他学习到的大部分几何知识，除去他自学的外，全学自于塞尔（第555－556页）。不过塞尔不仅仅是教给格洛腾迪克知识；他能够将要点融会贯通，然后用一种格洛腾迪克发现非常具有说服力的方法叙述出来。格洛腾迪克将塞尔叫着“引爆器”，一个提供火花，将导火索点燃，促使观点大爆炸的人。
确实，格洛腾迪克将他工作的许多中心主题都归因于塞尔。比如说，就是塞尔在1955年将韦依猜想用上同调的语言介绍给格洛腾迪克——这种语言在韦依最初提出猜想的时候是没有明显给出的，而它却正是可以吸引格洛腾迪克的地方（《收获与播种》，840页）。通过对韦依猜想做“凯莱”类比的想法，塞尔也促使了格洛腾迪克的所谓“标准猜想”的提出，此猜想更加一般化，而韦依猜想只是其中一个推论（《收获与播种》，第210页）。
在堪萨斯呆了一年后，格洛腾迪克在1956年回到法国的时候，在CNRS谋得了一个位置，大部分时间里他呆在巴黎。他和塞尔继续通信，并且经常通电话讨论问题。就在此时格洛腾迪克开始更深入地研究拓扑和代数几何。他脑子里“充溢着想法，”阿曼德－波莱尔回忆说，“我很确定某些一流的工作必将出自于他。不过最后（从他那里）出来的比我想象的甚至还要高出很多。这就是他的Riemann－Roch定理，一个相当美妙的定理。它真是数学上的一个杰作。”
经典形式的Riemann－Roch定理在19世纪中叶得到证明。它讨论的问题是：在一个紧致黎曼曲面上，由那些极点在给定的有限多个点上，且具有最多给定次数的阶的亚纯函数构成的空间的维数是多少？问题的答案就是Riemann－Roch公式，它将维数用曲面的不变量来表达——从而提供了曲面的解析性质和拓扑性质的丰富联系。弗里德里希－赫兹布鲁克(Friedrich Hirzebruch)在1953年做出了一个巨大的进展，其时他将Riemann－Roch定理推广到不仅适用于紧致曲面，而且适用于复数域上的射影非奇异簇的情况。整个数学界都在欢呼这项伟业，它可能是这个问题的盖棺之语了。
“此时格洛腾迪克走了出来，说道：‘不，黎曼－洛赫定理不是一个关于簇的定理，而是一个关于簇间态射的定理’，”普林斯顿大学的尼克莱斯－卡兹说，“这是一个根本性的新观点…整个定理的陈述完全改变了。”范畴论的基本哲学，也就是大家应该更加注意的是对象间的箭头（态射），而不是对象自身，才刚刚开始在数学上取得一点影响。“格洛腾迪克所做的事情就是将这种哲学应用到数学上很困难的一个论题上去，”波莱尔说，“这真的很符合范畴和函子的精神，不过人们从没有想过在如此困难的论题上使用它… 如果人们已经知道这个陈述，并且明白它在说什么，可能别的某个人可以证明这个陈述。不过单单这个陈述本身就已经领先别的任何人10年时间。”
这个定理，其后也被Gerard Washnitzer[Washnitzer]在1959年证明，不仅适用于复代数簇——基域特征零的情况——而且也适用于任何本征光滑代数簇而不必在乎基域是什么。赫兹布鲁克－黎曼－洛赫定理即作为特殊情况推出。1963年黎曼－洛赫定理一个影响深远的推广出现了，它就是Michael Atiyah和Isadore Singer证明的Atiyah－Singer指标定理。在证明的过程中，格洛腾迪克引入了现在叫作格洛腾迪克群的概念，这些群本质上提供了一类新型拓扑不变量。格洛腾迪克自己将它们叫做K－群，他们提供了由Atiyah和Hirzebruch所发展的拓扑K理论的起点。拓扑K理论接着又提供了代数K理论的源动力，这两个领域从此均是研究很活跃的领域。
Arbeitstagung，字面意思即是“工作会议”，是由赫兹布鲁克在波恩大学所发起的，其作为数学前沿研究的论坛已经有四十多年历史了。正是在1957年7月首次Arbeitstagung上格洛腾迪克讲述了他在黎曼－洛赫问题上的工作。不过令人好奇的是，这个结果从没有在他名字下发表；它出现在波莱尔和塞尔的一篇文章[BS]上（这个证明作为一个报告，后来也出现在SGA6中）。正当他在1957年秋访问IAS（高等研究院）的时候，塞尔收到格洛腾迪克的一封信，里面包含了格洛腾迪克证明的概要（[Corr]中日期为1957年11月1日的信）。他和波莱尔组织了一个讨论班来试着理解这个定理。因为格洛腾迪克正在忙很多别的事情，他建议他的同事们将讨论班记录下来发表。不过波莱尔推测可能有别的原因让格洛腾迪克对将证明写下来不感兴趣。“格洛腾迪克主要的哲学思想是数学应该被简化为一系列很小而又很自然的步骤，”波莱尔说，“只要你还不能这么做，就说明你还没有理解里面真正的含义…他的黎曼－洛赫证明使用了一个小窍门，une atuce。因此他不喜欢这个证明，所以也就不想发表它。正好他有别的很多事情要做，他对将这个窍门写下来没有兴趣。”
这并不是格洛腾迪克最后一次革命化一个学科研究问题的观点。“这样的事情是一次又一次不停地发生，他会去考虑有些别人已经花了很久时间、在某些情况下甚至是100年的时间研究过的问题… 最后他完全转变了人们当初认定的这个学科告诉我们的东西。”卡兹评论道。格洛腾迪克不仅会去解决很困难的问题，他还会去继续研究引起这些问题的问题。
仿佛来自虚空（6）
新世界大门开启
（我最后终于）意识到这种“我们，伟大而高贵的精神”思维方式，在一种特别极端和恶意的形式下，从我母亲的孩提时代开始，就让她情绪易于激动，并支配着她和别人的关系，让她总是居高临下，带着常常是倨傲甚至于轻蔑的怜悯来看待别人。
《收获与播种》，第30页
根据Honig的说法，格洛腾迪克的母亲在他呆在巴西的时候，至少有部分时间也在那里，尽管Honig说自己从没有见过她。我们不清楚她是否跟随儿子去了堪萨斯。当1956年格洛腾迪克回到法国的时候，他们可能就没有住在一起了。在1957年11月于巴黎写给塞尔的信中，格洛腾迪克询问塞尔他是否可以租下塞尔正要搬出的一间巴黎公寓。“我想给我母亲租住这个公寓，她在Bois-Colombes过得不怎么好，而且觉得特别孤独，”格洛腾迪克这样解释[Corr]。事实上，他母亲在这年底就去世了。
格洛腾迪克的朋友们和同事们都说当他谈及父母双亲的时候总是充满景仰，几乎到了吹捧的地步。在《收获与缝补》一书中，格洛腾迪克也表达了对他们的深厚的孺慕之情。多年里他在办公室里挂了张很醒目的他父亲的肖像，此画是Le Vernet集中营里的难友描绘的。据Pierre Cartier的描述，这幅肖像画描绘了一个剃着光头、双目“炯炯有神”的男人[Cartier1]；很多年里格洛腾迪克自己也剃光头。根据Ribenboin的话，汉卡－格洛腾迪克对她的杰出儿子感到非常骄傲，反过来他也有一种对母亲特别深厚的依赖。
她过世后，格洛腾迪克经历了一段时间来寻找自我，期间他停止了所有的数学活动，还想过去成为一位作家。数月后，他决定重返数学，去完成和一些他已经开始发展的想法相关联的工作。这一年是1958年，根据格洛腾迪克的话，这一年“可能是我数学生涯最多产的一年。”（《收获与播种》，第24页）这个时候他开始和一位叫Mireille的妇女同居，他将在数年后与她结婚，并育有三个孩子：乔安娜, 马修和亚历山大。Mireille和格洛腾迪克的母亲曾经过往甚密，并且据熟悉他俩的人说，她比他大了不少。
得克萨斯大学奥斯汀分校的约翰－特德（John Tate）和他当时的妻子凯伦－特德(Karen Tate)1957－1958学年在巴黎度过，在那儿他们首次见到格洛腾迪克。格洛腾迪克根本就没有表现过那种他归因于母亲的倨傲。“他很友好，同时相当天真和孩子气，”John Tate回忆道，“很多数学家都相当孩子气，有时不通世务，不过格洛腾迪克犹有甚之。他看上去就那么无辜——不工于心计，不伪装自己，也不惺惺作态。他想问题的时候相当清晰，解释问题的时候非常有耐心，没有自觉比别人高明的意思。他没有被任何文明、权力或者高人一等的作风所污染。”Karin Tate回忆说格洛腾迪克乐于享受快乐，他很有魅力，并喜欢开怀大笑。但他也可以变得很极端，用非黑即白的眼光来看待问题，容不得半点灰色地带。另外他很诚实:“你和他在一起的时候总知道他要说的是什么，”她说，“他不假装任何事情。他总是很直接。”她和她的弟弟，麻省理工学院的迈克尔－阿廷（Michael Artin）都觉察到格洛腾迪克的个性和他们的父亲埃米尔－阿廷（Emil Artin）很相似。
格洛腾迪克有着“令人难以置信的理想主义想法”，Karin Tate回忆说。比如说，他不允许在他屋子里有地毯，因为他坚信地毯只是装饰用的奢侈品罢了。她还记得他穿着轮胎做的凉鞋。“他认为这妙极了，”她说，“这些都是他所尊敬的事务的象征——人需要量体裁衣，量力而行。”在他的理想主义原则下，有时候他可能变得特别不合世宜。在格洛腾迪克和Mireille1958年首次访问哈佛之前，他给了Mireille一本他喜欢的小说让她来提高她相当贫乏的英语水平。这本小说就是Moby Dick。
新几何的诞生
按照三十年后的后见之明，现在我可以说就是在1958年，伴随着两件主要工具，概型（scheme，它代表旧概念“代数簇”的一个变形）和拓扑斯（toposes，它代表空间概念的变体，尽管更加复杂）的苏醒，新几何的观点真正诞生了。
《收获与播种》，第23页
1958年8月，格洛腾迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个大会报告[Edin]。这个报告用一种非凡的先见之明，简要描述了许多他将在未来12年里工作的主题。很清楚这个时候他的目标就是要证明Andre Weil的著名猜想，其揭示了代数簇构成的离散世界和拓扑形成的连续世界的丰富联系。
在这个时候，代数几何的发展非常迅猛，很多未知问题并不需要很多背景知识。起初的时候这个学科主要是研究复数域上的簇。在20世纪初叶，这个领域是意大利数学家，诸如Guido Casternuovo，Federigo Enriques和Francesco Severi等的专长。尽管他们发展了很多的独创思想，但他们的结果不都是通过严格证明得来的。在1930和1940年代，其他一些数学家，包括范德瓦尔登、安德烈－韦依和奥斯卡－察里斯基，打算研究任意数域上的簇，特别是特征p域上的簇，其在数论上很重要。但是，由于意大利代数几何学派严谨性的匮乏，有必要在此领域建筑新的基础。这就是韦依在他1946年出版的《代数几何基础》中所做的事情(Foundations of Algebraic Geometry, [Weil1])。
韦依的猜想出现在他1949年的文章[Weil2]中。由数论中某些问题的启发，韦依研究了一类其一些特殊情况是由Emil Artin引进的zeta函数；它被叫做zeta函数则是因为它是通过和黎曼zeta函数作类比定义得来的。给定定义于特征p的有限域上的一个代数簇V，则可以计算V上在此域上有理点的个数，以及在其每个有限扩域上有理点的个数。将这些数放入一个生产函数中，就得到V的zeta函数。韦依证明了在曲线和Abel簇两种情况下，zeta函数满足三条性质：它是一个有理函数；它满足函数方程；它的零点和极点有某种特定的形式。这种（特定的）形式，经过换元后，恰好和黎曼假设相对应。韦依更进一步观察到，如果V是由某个特征零簇W模p得到的，那么当V的zeta函数表示为有理函数时，W的Betti数就可以从V的zeta函数上读出。韦依猜想就是问，如果在射影非奇异代数簇上定义这样的zeta函数，是否同样的性质还是正确的。特别地，象Betti数这样的拓扑量是否会在zeta函数里面出现？这种猜想中的代数几何和拓扑的联系，暗示当时的一些新工具，比如说为研究拓扑空间而发展出来的上同调理论，可能适用于代数簇。由于和经典黎曼假设的类似，韦依猜想的第三条有时也叫作“同余黎曼假设”；这个猜想后来被证实是三个中最难证明的。
“韦依猜想一经问世，很显然它们会由于某种原因而将扮演一个中心角色，”Katz说道,“这不仅因为它们就是作为‘黑盒子’式的论断也是令人惊异的，而且因为看上去很清楚要解决它们将需要发展很多不可思议的新工具，这些工具它们自身将由于某种原因具有不可思议的价值——这些后来都被证明是完全正确的。”高等研究院的皮埃尔－德林（Pierre Deligne）说（韦依猜想）吸引格洛腾迪克的地方正是代数几何和拓扑的猜测联系。
他喜欢这种“将韦依的这个梦想变成强大的机器”的想法，Deligne评论道。
格洛腾迪克不是由于韦依猜想很有名、或者由于别人认为它们很难而对韦依猜想感兴趣的。事实上，他并不是靠对困难问题的挑战来推动自己。他感兴趣的问题，是那些看上去会指向更大而又隐藏着的结构。“他目标在于发现和创造问题的自然栖息之家，”Deligne注意到，“这个部分是他感兴趣的，尤甚于解决问题。”这种方式和同时代另外一位伟大数学家约翰－纳什（John Nash）的方式形成鲜明对照。在他的数学黄金时代，Nash喜欢找那些被他同事们认为是最重要、最有挑战性的问题来做。“Nash象一个奥运会的运动员，”密歇根大学的Hyman Bass评论道。“他对众多的个人挑战感兴趣。”如果Nash不算是一个善于解决问题的理想范例，格洛腾迪克绝对算是建构理论的完美范例。Bass说，格洛腾迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点。”
1958年秋，格洛腾迪克开始了他到哈佛大学数学系的多次访问的第一次。Tate其时正是那里的教授，而系主任是奥斯卡－察里斯基。那时候格洛腾迪克已经用新发展的上同调的方法，重新证明了连通性定理，Zariski最重要的成果之一，于1940年代首次被其证明。根据当时是Zariski学生，现在布朗大学的大卫－曼福德（David Mumford）的话，Zariski自己从没有学会这些新方法，但是他明白它们的能力，希望他的学生们受到新方法的熏陶，因此他邀请格洛腾迪克来访问哈佛。
Mumford注意到察里斯基和格洛腾迪克他们相处得很好，尽管作为数学家他们是完全不同的。据说察里斯基如果被一个问题难住的时候，就会跑到黑板前，画一条自相交曲线，这样可以帮助他将各种想法条理化。“谣传他会将这画在黑板的一个角落里，然后他会擦掉它，继续做代数运算。”Mumford解释说，“他必须通过创造一个几何图像、重新建构从几何到代数的联系来使自己思维清晰。”根据曼福德的话，这种事格洛腾迪克是绝对不会做的；他似乎从不从例子开始研究，除那些特别简单、几乎是平凡的例子外。除去交换图表外，他也几乎不画图。
当格洛腾迪克首次应邀到哈佛的时候，他和察里斯基在访问前通过几次信，曼福德回忆道。这时离众议院非美活动委员会的时代不久，得到签证的一个要求是访问者宣誓自己不会从事推翻美国政府的活动。格洛腾迪克告诉察里斯基他拒绝做这样的宣誓。当被告知他可能会因此进监狱时，格洛腾迪克说进监狱可以接受，只要学生们可以来探访他而且他有足够多的书可用。
在格洛腾迪克哈佛的讲座上，曼福德发现到抽象化的跃进相当惊险。有一次他询问格洛腾迪克某个引理如何证明，结果得到一个高度抽象的论证作为回复。曼福德开始时不相信如此抽象的论证能够证明如此具体的引理。“于是我走开了，将它想了好几天，结果我意识到它是完全正确的。”曼福德回忆道,“他比我见到的任何人都更具有这种能力，去完成一个绝对令人吃惊的飞跃到某个在度上更抽象的东西上去…他一直都在寻找某种方法来叙述一个问题，看上去很明显地将所有的东西都从问题里抛开，这样你会认为里面什么都没有了。然而还有些东西留了下来，而他能够在这看上去的真空里发现真正的结构。”
仿佛来自虚空（7）
英雄岁月
在IHES（高等科学研究所）的英雄岁月里，Dieudonne和我是所里仅有的成员，也是仅有的可以给它带来信誉和科学世界听众的人… 我觉得自己和Dieudonne一起，有点象是我任职的这个研究所的“科学”共同创始人，而且我期望在那里结束我的岁月！我最终强烈地认同IHES…
《收获与播种》，第169页
1958年6月，在巴黎索邦举行的发起人会议上，高等科学研究所（Institut des Hautes Scientifiques, IHES）正式成立。IHES的创始人Leon Motchane，一位具有物理博士学位的商人，设想在法国成立一个和普林斯顿的高等研究院类似的独立的研究型学院。IHES的最初计划是集中做三个领域的基础研究：数学，理论物理和人类科学方法论。尽管第三个领域从来没有在那立足过，在10年时间里，IHES已经建设成为世界上最顶尖的数学和理论物理中心之一，拥有一群为数不多但素质一流的成员和一个很活跃的访问学者计划。根据科学史家David Aubin的博士论文[Aubin]，就是在1958年爱丁堡数学家大会或者可能更前的时候，Motchane说服Dieudonne和格洛腾迪克接受新设立的IHES的教授职位。Cartier在[Cartier2]中说Motchane起初希望聘用Dieudonne，而Dieudonne则将格洛腾迪克的聘请作为他接受聘请的一个条件。因为IHES从一开始就是独立于国家的，聘请格洛腾迪克不是一个问题，尽管他是无国籍人。两位教授在1959年3月正式上任，格洛腾迪克在同年5月开始他的代数几何讨论班。Rene Thom，1958年大会菲尔兹奖章获得者，在1963年10月加入，而IHES的理论物理部随着1962年Louis Michel和1964年David Ruelle的任命开始进行活动。就这样到1960年代中期，Motchane就已经为他的新研究所招募了一群杰出的研究人员。
到1962年的时候，IHES还没有永久的活动场所。办公场所是从Thiers基金会租用的，讨论班也在那里或巴黎的大学里举行。Aubin报道说一位叫Arthur Wightman的IHES早期访问学者就被希望在他的旅馆房间里工作。据说，当一位访问学者告之图书馆资料不足的时候，格洛腾迪克回答说：“我们不读书的，我们是写书的！”的确在最初几年里，研究所的很多活动是围绕“Publications Mathematiques de l’IHES”进行的，它的起初几卷包括奠基性著作Elements de Geometrie Algebrique，其以起首字面缩写EGA而闻名于世。事实上EGA的撰写在Dieudonne和格洛腾迪克正式于IHES上任前半年就已经开始了；[Corr]里提及最初写作的日期是1958年的秋天。
EGA的著述者通常认为是格洛腾迪克，“与Jean Dieudonne的合作”。格洛腾迪克将笔记和草稿写好，这些然后由Dieudonne充实和完善。根据Armand Borel的解释，格洛腾迪克是把握EGA全局的人，而Dieudonne只是对此有逐行的理解。“Dieudonne将它写得相当繁琐，”Borel评论说。同时，“Dieudonne当然又有令人难以置信的高效。没有别的人可以将它写好而不严重影响自己的工作。”对于当时那些想进入这个领域的人来说，从EGA中学习是一件令人望而生畏的挑战。目前它很少作为这个领域的入门书，因为有其他许多更容易入门的教材可供选择。不过那些教材并没有做EGA打算做的事，也就是完全而系统地解释清楚研究概型所需要的一些工具。现在在波恩的马克斯－普朗克数学研究所的Gerd Faltings，当他在普林斯顿大学的时候，就鼓励自己的博士研究生去学EGA。对很多数学家而言，EGA仍然是一本有用而全面的参考书。IHES的现任所长Jean－Pierre Bourguignon说每年研究所仍然要卖掉超过100本的EGA。
格洛腾迪克计划中EGA要包括的东西十分多。在1959年8月给塞尔的信中，他给了个简要的大纲，其中包括基本群，范畴论，留数，对偶，相交数，Weil上同调，加上“如果上帝愿意，一点同伦论”。“除非有不可预知的困难或者我掉入泥沼里去了，这个multiplodocus应该在三年内或最多四年内完成，”格洛腾迪克很乐观地说，此处他应用了他和塞尔的玩笑用语multiplodocus，其意是指一篇很长的文章。“我们接下去就可以开始做代数几何了！”格洛腾迪克欢呼道。后来的情况表明，EGA在经过近乎指数式增长后失去了动力：第一章和第二章每章一卷，第三章两卷，而最后一章第四章则达到了四卷。它们一共有1800多页。尽管EGA没有达到格洛腾迪克计划的要求，它仍然是一项里程碑式的著作。
EGA这个标题仿效Nicolas Bourbaki的《数学原理》系列的标题不是偶然的，正如后者仿效欧几里得的《几何原本》也不偶然一样。格洛腾迪克从1950年代后期开始，数年内曾经是布尔巴基学派的成员，而且他和学派内很多成员关系密切。布尔巴基是一群数学家的笔名，其大多数是法国人，他们在一起合作撰写数学方面一系列基础性的著作。Dieudonne和Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Andre Weil一起，是布尔巴基学派的创始成员。一般情况下学派有10名成员，其组成随着岁月而演化。布尔巴基最早的书出版于1939年，而它的影响在1950年代和1960年代达到了顶峰。这些书籍的目的是对数学的中心领域提供公理化的处理，使其一般性程度足以对最大数目的数学家有用处。这些著作都是经过成员间激烈甚至火爆的辩论的严格考验才诞生的，而这些成员中的许多都有很强的人格和非常个性化的观点。曾是布尔巴基成员25年的波莱尔写道这个合作可能是“数学史上的独特事件”[Borel]。布尔巴基汇聚了当时许多的顶尖数学家的努力，他们无私的匿名奉献自己的大量时间和精力来撰写教材，使得这个领域的一大部分容易让大家理解。这些教材有很大的影响，到1970和1980年代，有人埋怨布尔巴基的影响太大了。还有人也批评这些书的形式过于抽象和一般化。
布尔巴基和格洛腾迪克的工作有一些相似之处，此表现在抽象化和一般化的程度上，也表现在其目的都是基本、细致而有系统。他们间的主要区别是布尔巴基包括了数学研究的一系列领域，而格洛腾迪克主要关注在代数几何上发展新的思想，以韦依猜想作为其主要的目标。格洛腾迪克的工作差不多集中在他自己的内在观点上，而布尔巴基则是铸造他的成员们的不同观点的结合的合作努力。波莱尔在[Borel]中描述了1957年3月布尔巴基的聚会，他称之为“顽固的函子大会”，因为格洛腾迪克提议一篇关于范畴论的Bourbaki草稿应该从一个更范畴论的观点来重写。布尔巴基没有采用这个想法，认为这将导致无穷无尽的基础建设的循环往复。格洛腾迪克“不能够真正和布尔巴基合作，因为他有他自己的庞大机器，而布尔巴基对他而言，还不够一般化，”塞尔回忆说。另外，塞尔评论道：“我认为他不是很喜欢布尔巴基这样的体系，在此我们可以真正详细讨论草稿并且批评它们…这不是他做数学的方式。他想自己单干。”格洛腾迪克在1960年离开布尔巴基，尽管他继续和其中很多成员关系密切。
有些故事传说格洛腾迪克离开布尔巴基是因为他和韦依的冲突，实际上他们在布尔巴基时间上仅仅有很短的重合：根据惯例，成员必须在50岁的时候退休，所以韦依在1956年离开了学派。然而，格洛腾迪克和韦依作为数学家很不一样倒的确是事实。根据Deligne的说法：“韦依不知为何觉得格洛腾迪克对意大利几何学家们的工作和对经典文献阐明的结果太无知了，而且韦依不喜欢这种建造巨大机器的工作方式…他们的风格相当不一样。
除去EGA以外，格洛腾迪克代数几何全集的另外一个主要部分是Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie，简称SGA，其中包括他的IHES讨论班的演讲的讲义。它们最初由IHES分发。SGA2由North Holland和Masson合作出版的，而其他几卷则是由Springer-Verlag出版。SGA1整理自1960－1961年讨论班，而这个系列最后的SGA7则来自1967－1969年的讨论班。与目的是为了奠基的EGA不一样，SGA描述的是出现在格洛腾迪克讨论班上的正在进行的研究。他也在巴黎布尔巴基讨论班上介绍了很多结果，它们被合集为FGA，即Fondements de la Geometrie Algebrique,其出版于1962年。EGA，SGA和FGA加起来大约有7500页。
仿佛来自虚空（8）
魔术扇子
如果说数学里有什么东西让我比对别的东西更着迷的话（毫无疑问，总有些让我着迷的），它既不是“数”也不是“大小”，而是型。在一千零一张通过其型来展示给我的面孔中，让我比其他更着迷的而且会继续让我着迷下去的，就是那隐藏在数学对象下的结构。
《收获与播种》，第27页
在《收获与播种》第一卷里，格洛腾迪克对他的工作作了一个解释性的概括，意在让非数学家能够理解（第25－48页）。在那儿他写道，从最根本上来讲，他的工作是寻找两个世界的统一：“算术世界，其中（所谓的）‘空间’没有连续性的概念，和连续物体的世界，其中的‘空间’在恰当的条件下，可以用分析学家的方法来理解”。韦依猜想如此让人渴望正是因为它们提供了此种统一的线索。胜于直接尝试解决韦依猜想，格洛腾迪克大大地推广了它们的整个内涵。这样做可以让他感知更大的结构，这些猜想所凭依于此结构，却只能给它提供惊鸿一瞥。在《收获与播种》这一节里，格洛腾迪克解释了他工作中一些主要思想，包括概型、层和拓扑斯。
基本上说，概型是代数簇概念的一个推广。给定一组素特征有限域，一个概型就可以产生一组代数簇，而每一个都有它自己与众不同的几何结构。“这些具有不同特征的不同代数簇构成的组可以想象为一个‘由代数簇组成的无限扇面的扇子’（每个特征构成一个扇面），”格洛腾迪克写道.“‘概型’就是这样的魔术扇子，就孺扇子连接很多不同的‘分支’一样，它连接着所有可能特征的‘化身’或‘转世’。”到概型的推广则可以让大家在一个统一方法下，研究一个代数簇所有的不同“化身”。在格洛腾迪克之前，“我认为大家都不真正相信能够这样做，”迈克－阿廷评论说，“这太激进了。没有人有勇气哪怕去想象这个方法可能行，甚至可能在完全一般的情况下都行。这个想法真的太出色了。”
从19世纪意大利数学家Enrico Betti的远见开始，同调和它的对偶上同调那时候已经发展成为研究拓扑空间的工具。基本上说，上同调理论提供一些不变量，这些不变量可以认为是衡量空间的这个或那个方面的‘准尺’。由韦依猜想隐含着的洞察力所激发的巨大期望就是拓扑空间的上同调方法可以适用于簇与概型。这个期望在很大程度上由格洛腾迪克及其合作者的工作实现了。“就象夜以继日一样将这些上同调技巧带到代数几何中”，曼福德注意到。“它完全颠覆了这个领域。这就象傅立叶分析之前和之后的分析学。你一旦知道傅立叶分析的技巧，突然间你看一个函数的时候就有了完全深厚的洞察力。这和上同调很类似。”
层的概念是由让－勒雷所构想而后由亨利－嘉当和让-皮埃尔－塞尔进一步发展的。在他的奠基性文章FAC（“Faisceaux algebriques coherents”,“代数凝聚层”，[FAC]）中，塞尔论证了如何将层应用到代数几何中去。格洛腾迪克在《收获与播种》中描述了这个概念如何改变了数学的全貌：当层的想法提出来后，就好象原来的五好标准上同调“准尺”突然间繁殖成为一组无穷多个新“准尺”，它们拥有各种各样的大小和形状，每一个都完美地适合它自己独特的衡量任务。更进一步说，一个空间所有层构成的范畴包含了如此多的信息，本质上人们可以“忘记”这个空间本身。所有这些的信息都包括在层里面——格洛腾迪克称此为“沉默而可靠的向导”，引领他走向发现之路。
拓扑斯的概念，如格洛腾迪克所写，是“空间概念的变体”。层的概念提供了一种办法，将空间所依附的拓扑设置，转化为层范畴所依附的范畴设置。拓扑斯则可以描述为这样一个范畴，它尽管无需起因于普通空间，然而却具有所有层范畴的“好”的性质。拓扑斯的概念，格洛腾迪克写道，突出了这样的事实：“对于一个拓扑空间而言真正重要的根本不是它的‘点’或者点构成的子集和它们的亲近关系等等，而是空间上的层和层构成的范畴”。
为了提出拓扑斯的概念，格洛腾迪克“很深入地思考了空间的概念”，Deligne评价道。“他为理解韦依猜想所创立的理论首先是创立拓扑斯的概念，将空间概念推广，然后定义适用于这个问题的拓扑斯，”他解释说。格洛腾迪克也证实了“你可以真正在其上面工作，我们关于普通空间的直觉在拓扑斯上仍然适用…这是一个很深刻的想法。”
在《收获与播种》中格洛腾迪克评论道，从技术观点而言，他在数学上的大多工作集中在发展所缺乏的上同调理论。平展上同调（Etale cohomology）就是这样一种理论，由格洛腾迪克、迈克－阿廷以及其他一些人所发展，其明确意图是应用于韦依猜想，而它确实是最终证明的主要因素之一。但是格洛腾迪克走得更远，发展了motive的概念，他将此描述为“终极上同调不变量”，所有其他的上同调理论都是它的实现或者化身。Motive的完整理论至今还没有发展起来，不过由它产生了大量好的数学。比如，在1970年代，高等研究院的Deligne和Robert Langlands猜想了motives和自守表示间的精确关系。这个猜想，现在是所谓Langlands纲领的一部分，首次以印刷形式出现在[Langlands]一文中。多伦多大学的James Arthur认为彻底证明这个猜想将是数十年后的事情。但他指出，Andrew Wiles的Fermat大定理的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维motives的特殊情况。另外一个例子是高等研究院的Vladimir Voevodsky在motivic上同调的工作，由此他获得2002年菲尔兹奖章。这个工作发展了格洛腾迪克关于motive的一些原始想法。
在此关于他数学工作的简短回顾中，格洛腾迪克写道，构成它的精华和力量的，不是大的定理，而是“想法，甚至梦想”（第51页）。
仿佛来自虚空（9）
格洛腾迪克学派
直到1970年第一次“苏醒”的时候，我和我的学生们的关系，就如我和自己工作的关系一样，是我感到满意和快乐－这些是我生活的和谐感知的切实而无可指责的基础之一－的一个源泉，至今仍有它的意义…
《收获与播种》，第63页
在1961年秋访问哈佛时，格洛腾迪克致信给塞尔：“哈佛的数学气氛真是棒极了，和巴黎相比是一股真正的清新空气，而巴黎的情况则是一年年里越来越糟糕。这里有一大群学生开始熟悉概型的语言，他们别无所求，只想做些有趣的问题，我们显然是不缺有趣的问题的”[Corr]。迈克－阿廷，其于1960年在察里斯基指导下完成论文，此时正是哈佛的Benjamin Pierce讲师。完成论文之后，阿廷马上开始学习新的概型语言，他也对平展上同调的概念感兴趣。当格洛腾迪克1961年来哈佛的时候，“我询问他平展上同调的定义，”阿廷笑着回忆说。这个定义当时还没有明确给出来。阿廷说道：“实际上整个秋天我们都在辩论这个定义。”
1962年搬到麻省理工学院后，阿廷开了个关于平展上同调的讨论班。接下去两年大部分时间他在IHES度过，和格洛腾迪克一起工作。平展上同调的定义完成后，仍然还有许多工作要做来驯服这个理论，让它变成一个可以真正使用的工具。“这个定义看上去很美，不过它不保证什么东西是有限的，也不保证可计算，甚至不保证任何东西，”曼福德评论道。这些就是阿廷和格洛腾迪克要投入的工作；其中一个结果就是阿廷可表定理。与让-路易－沃迪耶尔（Jean－Louis Verdier）一起，他们主持了1963－1964年的讨论班，其主题即平展上同调。这个讨论班写成为SGA4的三卷书，一共差不多1600页。
可能有人不同意格洛腾迪克对1960年代早期巴黎数学氛围“糟糕”的评价，但毫无疑问，当他在1961年回到IHES，重新开始他的讨论班时，巴黎的数学氛围得到了相当大的加强。那里的气氛“相当棒”，阿廷回忆说。这个讨论班参加者人数众多，包括巴黎数学界的头面人物以及世界各地来访的数学家。一群出色而好学的学生围绕在格洛腾迪克周围，在他的指导下写论文（由于IHES不授予学位，名义上说他们是巴黎市内外一些大学的学生）。
1962年，IHES搬到它的永久之家，位于巴黎郊区Bures-sur-Yvette一个叫Bois-Marie，宁静而树木丛生的公园里。那个举行讨论班的舞台式建筑，及其大绘图窗户和所赋予的开放而通透的感觉，给这里提供了一种不凡而生动的背景。格洛腾迪克是所有活动的激情四射的中心。“这些讨论班是非常交互式的，”Hyman Bass回忆说，他于1960年代访问过IHES，“不过不管格洛腾迪克是不是发言人，他都占着统治地位。”他特别严格而且可能对人比较苛求。“他不是不善心，但他也不溺爱学生。”Bass说道。格洛腾迪克发展了一套与学生工作的固定模式。一个典型例子是巴黎南大学的Luc Illusie（老耶律），他于1964年成为格洛腾迪克的学生。老耶律曾参加了巴黎的亨利－嘉当和洛朗－施瓦兹讨论班，正是嘉当建议老耶律或许可以跟随格洛腾迪克做论文。老耶律其时还只学习过拓扑，很害怕去见这位代数几何之“神”。后来表明，见面的时候格洛腾迪克相当友善，他让老耶律解释自己已经做过的事情。老耶律说了一小段时间后，格洛腾迪克走到黑板前，开始讨论起层、有限性条件、伪凝聚层和其他类似的东西。“黑板上的数学就象海一样，象那奔流的溪流一样，”老耶律回忆道。最后，格洛腾迪克说下一年他打算将讨论班主题定为L-函数和l-adic上同调，老耶律可以帮助记录笔记。当老耶律抗议说他根本不懂代数几何时，格洛腾迪克说没关系：“你很快会学会的。”
老耶律的确学会了。“他讲课非常清楚，而且他花大力气去回顾那些必需的知识，包括所有的预备知识，”老耶律评价道。格洛腾迪克是位优秀的老师，非常有耐心而且擅于清楚解释问题。“他会花时间去解释非常简单的例子，来证明这个机器的确可以运行，”老耶律说。格洛腾迪克会讨论一些形式化的性质，那些常常被人归结到“平凡情况”因而太明显而不需要讨论的性质。通常“你不会去详述它，你不会在它上面花时间，”老耶律说，但这些东西对于教学非常有用。“有时有点冗长，但是它对理解问题很有帮助。”格洛腾迪克给老耶律的任务是记录讨论班一些报告的笔记——准确说，是SGA5的报告I,II和III。笔记完成后，“当我将它们交给他时全身都在发抖，”老耶律回忆道。几个星期后格洛腾迪克告诉老耶律到他家去讨论笔记；他常常与同事和学生在家工作。格洛腾迪克将笔记拿出来放在桌子上后，老耶律看到笔记上涂满了铅笔写的评语。两个人会坐在那里好几个小时来让格洛腾迪克解释每一句评语。“他可能评论一个逗号、一个句号的用法，可能评论一个声调的用法，也可能深刻评论关于一个命题的实质并提出另一种组织方法——各种各样的评论都有，”老耶律说道，“但是他的评语都说到点子上。”这样逐行对笔记做评论是格洛腾迪克指导学生很典型的方法。老耶律回忆起有几个学生因为不能忍受这样近距离的批评，最终在别人指导下写了论文。有个学生一次见过格洛腾迪克后差点流眼泪了。老耶律说：“我记得有些人很不喜欢这样的方式。你必须照这样做…但这些批评不是吹毛求疵。”
Nicholas Katz在他以博士后身份于1968年访问IHES时也被给了个任务。格洛腾迪克建议Katz可以在讨论班上做个关于Lefschetz pencils的报告。“我曾听说过Lefschetz pencils，但除去听说过它们之外我对它们几乎一无所知，”Katz回忆说。“但到年底的时候我已经在讨论班上做过几次报告了，现在这些作为SGA7的一部分留传了下来。我从这里学到了相当多的东西，这对我的未来起了很多影响。”Katz说格洛腾迪克一周内可能会去IHES一次去和访问学者谈话。“绝对令人惊讶的是他不知怎么可以让他们对某些事情感兴趣，给他们一些事情做，”Katz解释说，“而且，在我看来，他有那种令人惊讶的洞察力知道对某个人而言什么问题是个好问题，可以让他去考虑。在数学上，他有种很难言传的非凡魅力，以至于大家觉得几乎是一项荣幸被请求在格洛腾迪克对未来的远见卓识架构里做些事情。
哈佛大学的Barry Mazur至今仍然记得在1960年代早期在IHES和格洛腾迪克最初一次谈话中，格洛腾迪克给他提出的问题，那个问题起初是Gerard Washnitzer问格洛腾迪克的。
问题是这样的：定义在一个域上的代数簇能否由此域到复数域的两个不同嵌入而得到不同的拓扑微分流形？塞尔早前曾给了些例子说明两个拓扑流形可能不一样，受这个问题的激发，Mazur后来和阿廷在同伦论上做了些工作。但在格洛腾迪克说起这个问题的时候，Mazur还是个全心全意的微分拓扑学家，而这样的问题本来他是不会碰到的。“对于格洛腾迪克，这是个很自然的问题，”Mazur说道，“但对我而言，这恰好是让我开始从代数方面思考的动力。”格洛腾迪克有种真正的天赋来“给人们搭配未解决问题。他会估量你的能力而提出一个问题给你，而它正是将为你照亮世界的东西。这是种相当奇妙而罕见的感知模式。”
在和IHES的同事及学生工作外，格洛腾迪克和巴黎外一大群数学家保持着通信联系，其中有些正在别的地方在部分他的纲领上进行工作。例如，加州大学伯克莱分校的Robin Hartshorne1961年的时候正在哈佛上学，从格洛腾迪克在那所做的讲座里，他得到关于论文主题的想法，即研究希尔伯特概型。论文完成后Hartshorne给已经回到巴黎的格洛腾迪克寄了一份。在日期署为1962年9月27日的回信中，格洛腾迪克对论文做了些简短的正面评价。“接下去3到4页全是他对我可能可以发展的更深定理的想法和其他些关于这个学科大家应该知道的东西，”Hartshorne说。他注意到信中建议的有些事情是“不可完成的困难”，而其他一些则显示了非凡的远见。倾泄这些想法后，格洛腾迪克又回来谈及论文，给了3页详细的评语。
在他1958年爱丁堡数学家大会的报告中，格洛腾迪克已经概述了他关于对偶理论的想法，但由于他在IHES讨论班中正忙着别的一些主题，没有时间来讨论它。于是Hartshorne提出自己在哈佛开一个关于对偶的讨论班并将笔记记录下来。1963年夏天，格洛腾迪克给了Hartshorne大约250页的教案（prenote），这将成为Hartshorne这年秋天开始的讨论班的基础。听众提出的问题帮助Hartshorne发展和提炼了对偶理论，他并开始将它系统记录下来。他会将每一章都寄给格洛腾迪克来接受批评，“它回来的时候整个都布满了红墨水，”Hartshorne回忆道，“于是我将他说的都改正了并即给他寄新的版本。它被寄回时上面的红墨水更多。”意识到这可能是个无穷尽的过程后，Hartshorne有天决定将手稿拿去出版；此书1966年出现在Springer的Lecture Notes系列里[Hartshorne]。
格洛腾迪克“有如此多的想法以至基本上他一个人让那时候世界上所有在代数几何上认真工作的人都很忙碌，”Hartshorne注意到。他是如何让这个事业一直运行下来的呢？“我认为这没有什么简单答案，”迈克－阿廷回答说。不过显然格洛腾迪克的充沛精力和知识宽度是一些原因。“他非常的精力充沛，而且他涵盖很多领域，”阿廷说。“他能够完全控制这个领域达12年之久真是太不寻常了，这可不是个懒人集中营。”
在他IHES的岁月里，格洛腾迪克对数学的奉献是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及对自身观点的顽强坚持，产生了思维的巨浪，将很多人冲入它的奔涌激流中。他没有在自己所设的令人畏惧的计划面前退缩，反而勇往直前地投入进去，冲向大大小小的目标。“他的数学议程比起一个人能做的要多出很多，”Bass评价道。他将其中很多工作发包给他的学生们和合作者们来做，而自己也做了很大一部分的工作。给予他动力的，如他在《收获与播种》里所解释，就只是理解事情的渴望，而确实，那些知道他的人证明他不是由于什么形式的竞赛来推动自己的。“在那时，从没有过这样要在别人之前证明某个东西的想法，”塞尔解释道。而且在任何时候，“他不会和别的任何人竞赛，一个原因是他希望按他自己的方式来做事情，而几乎没有别的人愿意也这样做。完成它需要太多工作了。”
格洛腾迪克学派的统治地位有些有害的效果。甚至格洛腾迪克IHES的杰出同事，Rene Thom也感到有压力。在[Fields]中，Thom写道与其他同事的关系比较起来，他与格洛腾迪克的关系“不那么愉快”。“他的技术优势太有决定性了，”Thom写道。“他的讨论班吸引了整个巴黎数学界，而我则没有什么新的东西可供给大家。这促使我离开了严肃数学世界而去处理更一般的概念，比如组织形态的发生，这个学科让我更感兴趣，引导我走向一个很一般形式的‘哲学’生物学。”
在他1988年的教材《本科生代数几何》最后的历史性评论中，Miles Reid写道：“对格洛腾迪克的个人崇拜有些严重的副作用：许多曾经花了一生很大一部分时间去掌握韦依的代数几何基础的人觉得受到了拒绝和羞辱…整整一代学生（主要是法国人）被洗脑而愚蠢地认为如果一个问题不能放置于高效能的抽象框架里就不值得去研究。”如此“洗脑”可能是时代时尚无法避免的副产品，尽管格洛腾迪克自己从来不是为抽象化而追求抽象化的。
Reid也注意到，除去少数可以“跟上步伐并生存下来”的格洛腾迪克的学生，从他的思想里得益最多的是那些在一段距离外受影响的人，特别是美国，日本和俄国的数学家。Pierre Cartier在俄国数学家，如Vladimir Drinfeld，Maxim Kontsevich，Yuri Manin和Vladimir Voevodsky的工作中看到了格洛腾迪克思想的传承。Cartier说：“他们抓住了格洛腾迪克的真正精神，但他们能够将它和其他东西结合起来。”
编织者
Grothendieck是谁？Grothendieck做了什么？为什么这么多人会喜欢Grothendieck？为什么我一个上班族，会想着寻找志同道合之士去一同翻译《收获与播种》第二章（可能带上第三章）？下面这篇15年前的古老文章里，应该有一些答案。
本文是Notices2004年10月和11月份Allyn Jackson关于Alexandre Grothendieck文章的翻译，译者是欧阳毅教授。
知识分子以前也推送过此文，并进行了排版，删改文字，且附上了各种图片，参考：
Grothendieck的故事（一）
Grothendieck的故事（二）
Grothendieck的故事（三）
Grothendieck的故事（四）
Grothendieck的故事（五）
Grothendieck的故事（六）
在此特别推荐给志趣相投的人。
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仿佛来自虚空(1)
每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。
——《收获与播种》，第20页
亚历山大－格洛腾迪克是一位对数学对象极度敏感，对它们之间复杂而优美的结构有着深刻认识的数学家。他生平中的两个制高点——他是高等科学研究院（IHES）的创始成员之一，并在1966年荣获菲尔兹奖——就足以保证他在二十世纪数学伟人殿里的位置。但是这样的叙说远不足以反映他工作的精华，它深深植根于某种更有机更深层的东西里面。正如他在长篇回忆录《收获与播种》中所说: “构成一个研究人员的创造力和想象力的品质的东西，正是他聆听事情内部声音能力”（原书第27页）。今天格洛腾迪克自己的声音，蕴含在他的著作中，到达我们耳中，就如来自虚空：如今76岁的高龄，他已经在法国南部的一个小村落里隐居十多年了。
用密歇根大学海曼－巴斯的话来说，格洛腾迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。如今这种观点已经如此深入吸收到数学研究里面，以至于对新来的研究者来说，很难想象以前并不是这样的。格洛腾迪克留下最深印迹的是代数几何学，在其中他强调通过发现数学对象间的联系来理解数学对象本身。他具有一种极其强大、几乎就是来自另外一个世界的抽象能力，让他能够从非常普适的高度来看待问题，而且他使用这种能力又是完美无缺的精确。事实上，从二十世纪中叶开始，在整个数学领域里不断加深的一般化和抽象化的潮流，在很大程度上归功于格洛腾迪克。同时，那些为一般化而一般化，以至于去研究一些毫无意义或者没有意思的数学问题，是他从来不感兴趣的。
格洛腾迪克在二次世界大战期间的早期生活充满混乱和伤害，并且他的教育背景并不是最好的。他如何从这样缺乏足够教育的开始脱颖而出，成为世界上的领袖数学家之一，是一出精彩的戏剧——同样，在1970年，正当他最伟大的成就在数学研究领域开花结果，而且数学研究正深受他非凡个性影响的时候，他突然离开了数学研究，也是富有戏剧性。
早期生活
对于我来说，我们高中数学课本最令人不满意的地方，是缺乏对长度、面积和体积的严格定义。我许诺自己，当我有机会的时候，我一定得填补这个不足。
——《收获与播种》，第3页
2003年八月以八十岁高龄过世的普林斯顿高等研究院的阿曼德－波莱尔回忆起他在1949年11月在巴黎一次布尔巴基讨论班上第一次见到格洛腾迪克的情形。在讲座的空歇时间，当时二十多岁的波莱尔正与时年45岁，法国数学界那时的一位领袖人物查尔斯－爱尔斯曼聊天。波莱尔回忆说，此时一个年轻人走到爱尔斯曼面前，不作任何介绍，当头就问：“你是拓扑群方面的专家吗？”为了显示自己的谦虚，爱尔斯曼回答说是的，他知道一点点关于拓扑群的知识。年轻人坚持说：“可我需要一个真正的专家！”这就是亚历山大－格洛腾迪克，时年21岁——性急，热情，确切说不是无礼，但对社交礼仪差不多一无所知。波莱尔记得格洛腾迪克当时问了一个问题: 每个局部拓扑群是否是整体拓扑群的芽？波莱尔自己恰好知道一个反例。这个问题表明格洛腾迪克那个时候就已经考虑用很普适的观点还考虑问题了。
1940年代末在巴黎度过的时期是格洛腾迪克首次和数学研究世界的真正接触。在此之前，他的生活——至少就我们所知道的情况而言——几乎没有什么可以预示他注定成为这个世界一位具统治地位的人物。大多关于格洛腾迪克的家庭背景和早期生活的情节都是粗略或者未知的。穆斯特大学的温弗雷德－沙劳正在撰写一部格洛腾迪克的传记，因而对他的这段历史作了详细研究。下面我对格洛腾迪克生平的简略描述的大部分信息来自于对沙劳的一次访谈或者来自于他收集的关于格洛腾迪克生平的资料。
格洛腾迪克的父亲，其名字或许叫亚历山大－沙皮诺，于1889年10月11日生于乌克兰诺夫兹博科夫的一个犹太人家庭。沙皮诺是一个无政府主义者，参加过20世纪早期沙皇俄国多次暴动。在17岁的时候他被捕，尽管成功逃脱死刑的判决，但是数次越狱又被抓获，让他一共在狱中呆了大约10年时间。格洛腾迪克的父亲，有时候常常被人混淆为另外一个更有名的亚历山大－沙皮诺，他也参加过了多次政治运动。那位沙皮诺，曾在约翰－里德的名著《震撼世界的10天》里面出现过，移民去了纽约并于1946年去世，那时候，格洛腾迪克的父亲已经过世4年了。另外一个关于格洛腾迪克父亲的显著特征是他只有一只手。根据贾斯汀－巴姆比（她在1970年代曾经与格洛腾迪克生活过一段时间，并且和他育有一个儿子）的话来说，他的父亲是在一次逃避被警察抓获而尝试自杀的行动中丢失他的一只胳膊的。格洛腾迪克本人可能不知情地帮助造成这两个沙皮诺的混淆：举个例子，高等科学研究院的皮埃尔－卡迪耶尔提到格洛腾迪克坚持里德的书里面一个人物是他父亲。
仿佛来自虚空(2)
小朋友时代结束。下面牛人们将一个个登场。
1921年，沙皮诺离开俄国，从那时起，终其一生他都是一个无国籍人。为了隐瞒他的政治过去，他获得了一份名叫亚历山大－塔纳洛夫的身份证明，从此他就用这个新的名字。他在德国，法国和比利时都呆过一段时间，和无政府主义者和其他革命团体均有联系。在1920年代中期一个激进份子圈子里面，他认识了格洛腾迪克的母亲，琼娜（汉卡）－格洛腾迪克。她于1900年8月21日出生在汉堡一个中产阶级路德教徒家庭里。出于对她所受的传统教育的反叛，她被吸引来到柏林，当时那里是先锋派和社会革命运动的温床。她和沙皮诺都渴望成为作家。他从没有发表过什么东西，而她在报纸上发表过一些文章；特别的，在1920年到1922年间她为一家左翼报纸Der Pranger写稿，当时它正在调查生活在汉堡社会底层的妓女们卖淫的真正原因。很久以后，在1940年代，她写了一本自传小说Eine Frau（《一个小女人》），不过从未发表。在他一生的大部分时间，塔纳洛夫是一位街头摄影师，这项工作让他可以独立生活，又不用违背自己的无政府主义信仰去被人雇佣。他和汉卡曾经都结婚过，而且都各有一个前次婚姻所生的孩子，她有个女儿而他有个儿子。亚历山大－格洛腾迪克于1928年3月28日出生于柏林，其时他们家由汉卡，塔纳洛夫，汉卡的女儿、比亚历山大大四岁的麦娣组成。他被家人和后来的密友们叫做舒瑞克；他父亲的昵称叫萨沙。尽管他从来没有见到过他的同父异母哥哥，格洛腾迪克将他在1980年代完成的手稿A La Poursuite des Champs（《探索Stacks》）献给了他。
1933年，纳粹上台后，沙皮诺从柏林逃到了巴黎。同年12月，汉卡决定追随丈夫，于是她将儿子留在汉堡附近布兰肯尼斯的一个寄养家庭里面；麦娣则留在柏林一个收养残疾人的机构里，尽管她并不是残疾人（《收获与播种》，472－473页）。这个寄养家庭的家长是威尔海姆－海铎，他的不平凡的一生在他的传记Nur Mensch Sein里面得到详细描述；同书里面有格洛腾迪克1934年的一张照片，而且在书中他被简要提起。海铎曾经是路德教会牧师和军官，随后他离开教会，成为小学教师，同时是一位Heipraktiker（这个词现在可以粗略翻译为“另类医学的从业者”， 江湖医生）。1930年他创立了理想主义政党人道主义党，此党后来被纳粹认定为非法。海铎自己有4个孩子，他和妻子代格玛，出于他们信仰的基督教义务，又收养了好几个孩子，他们都由于在二战前那段混乱日子不得不与自己的家庭分开。
格洛腾迪克从5岁到11岁，在海铎家里呆了5年多，并且开始上学。代格玛－威尔海姆在回忆录里面说小亚历山大是一位非常自由，特别诚实，毫无顾忌的小孩。在他生活在海铎家这几年里，格洛腾迪克只从他母亲那里收到几封信，他父亲根本就没有给他写过信。尽管汉卡仍然还有些亲戚在汉堡，从没有人来看过他。突然和父母分离，对格洛腾迪克是非常伤心的事情，这可以从《收获与播种》书中看出（473页）。沙劳认为小亚历山大可能在海铎家里过得并不愉快。从两个无政府主义者作家长的不受拘束的家里出来，海铎家里的比较严肃的氛围可能比较让他觉得郁闷。事实上，他和海铎家附近其他一些家庭更亲近些，成年以后他仍然多年坚持给他们写信。他也给海铎家写信，并且数次回来拜访汉堡，最后一次是在1980年代中期。
1939年，战争迫在眉睫，海铎夫妇所承受政治压力也越来越大，他们不能够再抚养这些孩子了。格洛腾迪克这个情况更困难些，因为他看上去就象犹太人。尽管他父母的确切地址不为人知，但是代格玛－海铎写信给法国驻汉堡领事馆，设法给时在巴黎的沙皮诺和时在尼姆兹的汉卡带去消息。联系到他父母以后，11岁的格洛腾迪克被送上从汉堡到巴黎的火车。1939年5月他和父母团聚，他们在一起度过了战前的短暂时光。
目前我们并不确切知道当格洛腾迪克在汉堡的时候，他的父母干了些什么的细节，但可以肯定他们政治上仍然很活跃。他们跑到西班牙参加了西班牙内战，当佛朗哥获胜后又逃回法国。由于他们的政治活动，汉卡和她的丈夫在法国被当作危险的外国人。格洛腾迪克回到他们身边不久，沙皮诺就被送入Le Vernet的国际集中营，此地是所有法国集中营中最糟糕的。很可能从那以后他再也没有看到他的妻子和儿子了。1942年8月，他被法国政府驱逐到奥斯维辛，在那里他被杀害。麦娣那段时期如何度过我们并不清楚，但最终她和一位美国士兵结婚，并移居美国；她于几年前过世。
1941年汉卡和她的儿子被送入Mende附近Rieucros的战俘收容所。就战俘收容所而言，Rieucros的这个算比较好的，格洛腾迪克被允许到Mende去读高中。然而，这种生活被剥夺了自由，又很不确定。他告诉巴姆比说，他和他母亲时常被那些不知道汉卡是反对纳粹的法国人故意躲开。有一次他从收容所跑了出去，想去刺杀希特勒，但他很快就被抓获，送了回来。“这很可能让他丢了性命的”，巴姆比说。格洛腾迪克一生以来都很强壮，是一个很优秀的拳击手，他将此归功于这段时期，因为他常常是被伏击的对象。2年后，母子俩又分开了：汉卡被送到另一个战俘收容所，而她的儿子则最终送到小镇Chambon－sur－Lignon。安德烈－特洛克姆，一位新教徒牧师，将这个山区休假胜地Chambon镇变成了反抗纳粹占领的据点和犹太人及其他被战争危及生命的人们的避难所。在那里格洛腾迪克被送到由一个瑞士组织成立的儿童之家。他在Chambon镇专门为年轻人的教育而设立的Cevenol学院上学并得到业士学位（即通过中学毕业会考）。Chambon人的英雄行为给了逃难者安全，但是生活却是很不稳定的。在《收获与播种》里，格洛腾迪克提到当时周期性的抓捕犹太人的行动迫使他和其他同学在森林里躲藏好几天（第2页）。
在此书中，他也提到些对Mende和Chambon上学情况的回忆。很显然，尽管少年时遇到的诸多困难和混乱，他从很小的时候起就有很强的内在理解能力。在他的数学课上，他不需要老师的提示就能区分什么东西是深层的、什么是表面的，什么是正确的、什么是错误的。他发现课本上的数学问题老是重复，而且经常和那些可以赋予它意义的东西隔离开。“这是这本书的问题，不是我的问题”，他写道。当有问题引起他注意时，他就完全忘我的投入到问题中去，以至于忘记时间（第3页）。
仿佛来自虚空（3）
从蒙彼利尔到巴黎到南锡
我的微积分老师舒拉先生向我保证说数学上最后一个问题已经在二三十年前就被一个叫勒贝格的人解决了。确切地说，他发展了一套测度和积分的理论（真是很令人惊讶的巧合！），而这就是数学的终点。
《收获与播种》，第4页
1945年5月欧战结束的时候，亚历山大－格洛腾迪克17岁。他和母亲居住在一蒙彼利尔郊外盛产葡萄地区的一个叫Maisargues的村子里。他在蒙彼利尔大学上学，母子俩靠他的奖学金和葡萄收获季节打零工来生活；他母亲也做些清扫房屋的工作。不久以后他呆在课堂的时间就越来越少，因为他发现老师全是照本宣科。根据让－丢多涅的话来说，那是的蒙彼利尔是"法国大学里面教授数学最落后的地区之一"。
在这种不那么令人激昂的环境下，格洛腾迪克将他在蒙彼利尔三年的大部分时间放在弥补他曾经觉察到的高中教科书上的缺陷，即给出令人满意的长度、面积和体积的定义。完全靠自己的努力，他实际上重新发现了测度论和勒贝格积分的概念。这个小故事可以说是格洛腾迪克和阿尔伯特－爱因斯坦两个人生平中几条平行线之一：年轻的爱因斯坦根据自己的想法发展了统计物理理论，后来他才知道这已经由约舒亚－维拉德－吉布斯发现了！
1948年，在蒙彼利尔完成理学学士课程后，格洛腾迪克来到了巴黎，法国数学的主要中心。1995年，在一篇发表于一法文杂志上关于格洛腾迪克的文章中，一位名叫安德烈－马格尼尔的法国教育官员回忆起格洛腾迪克的去巴黎求学的奖学金申请。马格尼尔让他说明一下在蒙彼利尔干了些什么。"我大吃一惊，"文章引用马格尼尔的话说，"本来我以为20分钟会面就足够了，结果他不停的讲了两个小时，向我解释他如何利用'现有的工具'，重新构造前人花了数十年时间构建的理论。他显示出来非凡的聪慧。"马格尼尔接着说："格洛腾迪克给了我这样的印象：他是一位才气惊人的年青人，但是所受的苦痛和自由被剥夺的经历让他的发展很不均衡。"马格尼尔立刻推荐格洛腾迪克得到这个奖学金。
格洛腾迪克在蒙彼利尔的数学老师，舒拉先生推荐他到巴黎去找他以前的老师嘉当。不过到底是父亲，时年快八十的埃里－嘉当，还是他的儿子，四十多岁的亨利－嘉当，格洛腾迪克并不知道（《收获与播种》，第19页）。在1948年秋天到达巴黎后，他给那里的数学家看在蒙彼利尔自己做的工作。正如舒拉所说，那些结果已经为人所知，不过格洛腾迪克并不觉得沮丧。事实上，这段早期孤独一人的努力可能对他成为数学家起了至关重要的作用。在《收获与播种》中，格洛腾迪克谈到这段时期时说："在根本不知情的情况下，我在孤独工作中学会了成为数学家的要素--这些没有一位老师能够真正教给学生的。不用别人告诉我，然而我却从内心就知道我是一位数学家：也就是说，完全从字面上理解，"做数学的人就好像人们'做'爱一样。"
他开始参加亨利－嘉当在高等师范学校开设的传奇性的讨论班。这个讨论班采用了一种格洛腾迪克在以后的职业生涯更严格化的模式：每一年所有的讨论围绕一个选定的主题进行，讲稿要系统的整理出来并最终出版。1948－1949年嘉当讨论班的主题是单形代数拓扑和层论--当时数学的前沿课题，还没有在法国其他地方讲授过。事实上，那时离让－勒雷(Jean Leray)最初构想层的概念并没有多久。在嘉当讨论班上，格洛腾迪克第一次见到了许多当时数学界的风云人物，包括克劳德－夏瓦雷(Claude Chevalley)，让－德尔萨(Jean Delsarte)，让－丢多涅(Jean Dieudonne)，罗杰－苟德曼(Roger Godement)，洛朗－施瓦兹(Laurent Schwartz)和安德烈－韦依(Andre Weil)。其时嘉当的学生有让－皮埃尔－塞尔(Jean-Pierre Serre)。参加嘉当讨论班以外，他还去法兰西学院听勒雷开设的一门介绍当时很新潮的局部凸空间理论的课程。
作为几何学家埃里－嘉当的儿子，自己本人又是一位杰出的数学家，并且又是巴黎高师的教授，从多个方面来看亨利－嘉当都是巴黎精英数学家的中心。而且他还是战后少数几位努力创造条件与德国同行们交流的法国数学家之一，尽管他自己很清楚战争带给的惨痛：他的弟弟参加了抵抗德国占领的地下运动，结果被德国人抓获并斩首。嘉当和当时的许多一流数学家--比如爱尔斯曼，勒雷，夏瓦雷，德尔萨，丢多涅和韦依--都有一个共同的背景，他们是"高师人"，即为法国高等教育的最高学府巴黎高等师范学校的毕业生。
当格洛腾迪克加入嘉当讨论班的时候，他还是个外来人：这不仅仅是说他居住在战后法国而又讲德语，而且因为他与其他参加者比较起来显得特别贫乏的教育背景。然而在《收获与播种》里，格洛腾迪克说他并不觉得象是圈子里面的陌生人，并且叙述了他对在那受到的"善意的欢迎"的美好回忆（第19－20页）。他的坦率直言很快就引起大家的注意：在给嘉当100岁生日的颂词中，Jean Cerf回忆说，当时在嘉当讨论班上看到"一个陌生人（即格洛腾迪克），此人从屋子后部随意向嘉当发话，就如同和他平起平坐一样"。格洛腾迪克问问题从不受拘束，然而，他在书上写道，他也发现自己很难明白新的东西，而坐在他旁边的人似乎很快就掌握了，就象"他们从摇篮里就懂一样"（第6页）。这可能是其中一个原因，促使他在嘉当和韦依的建议下，于1949年10月离开巴黎的高雅氛围去了节奏缓慢的南锡。另外，如丢多涅所言，格洛腾迪克那时候对拓扑线性空间比对代数几何更感兴趣，因此他去南锡恰当不过了。
仿佛来自虚空（4）
南锡的学习生涯
（我在这里受到的）欢迎弥漫开来… 从1949年首次来到南锡的时候我就受到这样的欢迎，不管是在Laurent 和Helene Schwartz的家（那儿我就好像是一个家庭成员一样），还是在Dieudonne的或者Godement的家（那里也是我经常出没的地方之一）。在我初次步入数学殿堂就包容在这样挚爱的温暖中，这种温暖虽然我有时易于忘记，对我整个数学家生涯非常重要。
————《收获与播种》，第42页
1940年后期，南锡是法国最强的数学中心之一；事实上，虚构人物尼古拉－布尔巴基据说是“Nancago大学”的教授，就是指在芝加哥大学的韦依和在南锡大学的他的布尔巴基同伴。此时南锡的教员包括德尔萨，Godement，Dieudonne和Schwartz。格洛腾迪克的同学包括Jacques－Louis Lions和Bernard Malgrange，他们和格洛腾迪克一样均是Schwartz的学生；以及Paulo Ribenboim，时年20岁，差不多与格洛腾迪克同时来到南锡的巴西人。
根据现在是（加拿大）安大略省Queens大学名誉教授Ribenboim的话来说，南锡的节奏不象巴黎那么紧张，教授们也有更多时间来指导学生。Ribenboim说他感觉格洛腾迪克来到南锡的原因是因为他基础知识缺乏以致很难跟上Cartan的高强度讨论班。这不是格洛腾迪克出来承认的，“他不是那种会承认自己也会不懂的人！”Ribenboim评论说。然而，格洛腾迪克的超凡才能是显而易见的，Ribenboim记得自己当时将他作为完美化身来景仰。
格洛腾迪克可能会变得非常极端，有时候表现得不太厚道。Ribenboim回忆说：“他不是什么卑鄙的人，只是他对自己和别人都要求很苛刻.”格洛腾迪克只有很少几本书；他不是从读书中去学习新的知识，而宁愿自己去重新建构这些知识。而且他工作得很刻苦。Ribenboim还记得Schwartz告诉他：你看上去是个很友善、均衡发展的年轻人；你应该和格洛腾迪克交个朋友，一起出去玩玩，这样他就不会整天工作了。
其时Dieudonne和Schwartz在南锡开设了关于拓扑线性空间的讨论班。如Dieudonne在[D1]所说，那时候Banach空间及其对偶已经理解得很清楚了，不过局部凸空间的概念当时刚刚引入，而关于他们的对偶的一般理论还没有建立起来。在这个领域工作一段时间后，他和Schwartz遇到了一系列的问题，他们决定将这些问题交给格洛腾迪克。数月之后，他们大吃一惊地得知格洛腾迪克已经将所有的问题都解决了，并在继续研究泛函分析的其他问题。“1953年，应当给予他博士学位的时候，有必要在他写的六篇文章中选取一篇做博士论文，可每一篇都有好的博士论文的水准，”丢多涅写道。最后选定作为论文的是“拓扑张量积和核空间”，这篇文章显示出他的一般性思考的初次征兆，而这将刻划格洛腾迪克的整个数学生涯。核空间的概念，在目前已经得到了广泛应用，就是首先在这篇文章里面提出的。Schwartz在巴黎一次讨论班上宣传了格洛腾迪克的结果, 其讲稿“格洛腾迪克的张量空间”发表于1954年[Schwartz]。此外，格洛腾迪克的论文作为专著1955年在美国数学会的Memoir系列出版；此书[GThesis]在1990年第七次重印。
格洛腾迪克在泛函分析方面的工作“相当出色”，加州大学洛山矶分校的Edwards E. Effors评论说。“他可能是第一个意识到二战后迅猛发展的代数和范畴工具可以用来研究如此高度解析的数学分支泛函分析的人了。”从某些方面来说，格洛腾迪克走在他的时代的前面，Effors注意到至少花了15年时间，格洛腾迪克的工作才结合到主流的Banach空间理论中去，这其中部分原因是大家对采用他的更代数的观点不积极。Effors还说道，近年来由于Banach空间理论的“量子化”，而格洛腾迪克的范畴论的方法特别适用于这种情况，他的工作的影响进一步得到加强。
尽管格洛腾迪克的数学工作已经得到很有前途的开始，他的个人生活还没有安定下来。在南锡他和母亲住在一起，根据Ribenboim的回忆，她由于肺结核偶尔会卧床不起。她是在收容所染上这种疾病的。就在这时候她开始写自传《小女人》的。格洛腾迪克和管理他和他母亲寄住的公寓的一位年老妇人的关系让他有了第一个孩子，一个名叫塞吉的儿子：塞吉主要由母亲抚养。完成他的博士学位后，格洛腾迪克找到永久职位的希望很小：他是无国籍人，而那时在法国非公民很难找到永久工作。想成为法国公民就得去参军，而格洛腾迪克拒绝这样做。从1950年起他通过国家科学研究中心（CNRS）有个职位，不过这个职位更象奖学金，而不是永久性的。有段时间他甚至考虑去学做木匠来赚钱谋生（《收获与播种》，第1246页）。
Laurent Schwartz于1952年访问了巴西，给那里的人说起他这个才华横溢的学生在法国找工作遇到的麻烦。结果格洛腾迪克收到圣保罗大学提供给他的访问教授职位的提议，他在1953年和1954年保持了这个职位。根据当时为圣保罗大学学生、现在是Rutgers大学名誉教授的Jose Barros－Neto的话来说，格洛腾迪克（和大学）做了特别安排，这样他可以回巴黎参加那里秋天举行的讨论班。由于巴西数学界的第二语言是法语，教学和与同事交流对格洛腾迪克来讲是件很容易的事情。通过去圣保罗，格洛腾迪克延续了巴西和法国的科学交流的传统：Schwartz之外，韦依、丢多涅和德尔萨都在1940和1950年代访问过巴西。韦依1945年一月到圣保罗，在那里一直呆到1947年秋天、他转赴芝加哥大学的时候。法国和巴西的数学交流一直延续到现在。里约热内卢的纯粹与应用数学研究所（IMPA）就有一个促成许多法国数学家到IMPA去的法－巴合作协议。
在《收获与播种》一书中，格洛腾迪克将1954年形容为“令人疲倦的一年”（163页）。整整一年时间，他不成功地试图在拓扑线性空间上的逼近问题上获得一些进展，而这个问题要到整整20年后才被一种和格洛腾迪克尝试的办法完全不同的方法解决。这是“我一生唯一一次感觉做数学是如此繁重！”他写道。这次挫折给了他一个教训：不管何时，要有几个数学“铁器在火中”，这样如果一个问题被发现很难解决，就可以在别的问题上下功夫。
现在为圣保罗大学教授的Chaim Honig，当格洛腾迪克在那儿的时候是数学系的助教，他们成了好朋友。Honig说格洛腾迪克过着一种斯巴达式的孤独生活，靠着牛奶和香蕉过日子，将自己完全投入到数学中。Honig有次问格洛腾迪克他为什么选择了数学。格洛腾迪克回答说他有两个爱好，数学和音乐，他选择了数学是因为他觉得这样可能更容易谋生些。他的数学天赋是如此显而易见，Honig说，“我当时相当惊讶他竟然在数学和音乐间犹豫不决。”
格洛腾迪克计划和当时在里约热内卢的Leopoldo Nachbin一起合写一本拓扑线性空间的书，不过这本书从来没有实质化过。然而，格洛腾迪克在圣保罗教授了拓扑线性空间这门课程，并撰写了讲义，这个讲义后来由大学出版了。Barros－Neto是班上的学生，他写了讲义上的一个介绍性章节，讲述一些基本的必需知识。Barros－Neto回忆说当格洛腾迪克在巴西的时候说起过要转换研究领域。他“很雄心勃勃，”Barros－Neto说道，“你可以感觉到这个行动——他应该做些很根本、重要而又基础的东西。”
仿佛来自虚空（5）
新星升起
这个最本质的东西就是每次塞尔会强烈感觉到某个陈述下隐含着的丰富意义，而这个陈述在字面意义上讲，无疑让我既不感到兴奋，也不觉得无味——而且他可以“传输”这种对如此内蕴丰富、实在而又神秘的实质的感知——这种感知在同一时候就是理解这个实质的渴望，以至看透它的本质。
《收获与播种》，第556页
格勒诺贝尔大学的Bernard Malgrange 回忆起当格洛腾迪克写完论文后，他宣称自己不再对拓扑线性空间感兴趣了。“他告诉我，‘这里面不再有东西可做了，这个学科已经死了，’”Malgrange回忆道。当时学生按要求需要准备一份“第二论文”，此文不必包含原创性的工作，其用意在于让学生展示对和自己博士论文研究相隔很远的一门数学领域的理解深度。格洛腾迪克的第二论文是关于层论的，这个工作或许埋下了他对代数几何的兴趣的种子，而这将是他做出最伟大成就的地方。在巴黎完成格洛腾迪克的论文答辩后，Malgrange记得他自己、格洛腾迪克和亨利－嘉当挤在一辆出租车上去Laurent施瓦兹家里吃午饭。他们坐出租是因为Malgrange在滑雪的时候摔断了腿。“在车上，嘉当告诉格洛腾迪克他叙述层论时犯的一些错误，”Malgrange回忆说。
离开巴西后，格洛腾迪克1955年在堪萨斯大学度过，可能是受到N. Aronzajn的邀请[Corr]。在那里格洛腾迪克开始投入到同调代数研究中去。正是在堪萨斯他写了“关于同调代数的若干问题”这篇文章，此文在专家圈子里面被非正式地称为“Tohoku文章”，由于此文发表在The Tohoku Mathematical Journal(《东北数学期刊》)上。此文是同调代数的经典，发展了嘉当和Eilenberg关于模的工作。也是在堪萨斯的时候，格洛腾迪克写了“带结构层的纤维空间的一般理论’一文，此文作为国家科学基金(National Science Foundation, NSF)的一个报告发表。这个报告发展了他关于非交换上同调的初步想法，此领域在后来他会在代数几何的架构下再次触及。
就是在这时候，格洛腾迪克开始和法兰西学院的让－皮埃尔－塞尔通信。他起初和塞尔在巴黎相识，而后来在南锡时又见过面。他们信件的精选在2001年出版了法文原版，在2003年出版了法英对照版[Corr]。这是一段长期而又硕果累累的交流的开始。这些信件显示了两个非常不同的数学家的深厚而又充满活力的数学联系。格洛腾迪克表现出天马行空般的想象力，而它又常常被塞尔的深刻理解和渊博知识带回到地面。有时候在信中格洛腾迪克会表现出很令人惊讶的无知：比如说，有一次他询问塞尔黎曼zeta函数是否有无穷多零点（[Corr],第204页）。“他的经典代数几何知识实质上等于零，”塞尔回忆说，“我自己的经典代数几何知识比他稍微好点，但好得不多，但是我试着去帮助他。可是…有这么多未解决的问题，所以这不是很重要。”格洛腾迪克不是那种了解最新文献的人，很大程度上他依靠塞尔来了解目前数学界正在干些什么。在《收获与播种》里，格洛腾迪克写道，他学习到的大部分几何知识，除去他自学的外，全学自于塞尔（第555－556页）。不过塞尔不仅仅是教给格洛腾迪克知识；他能够将要点融会贯通，然后用一种格洛腾迪克发现非常具有说服力的方法叙述出来。格洛腾迪克将塞尔叫着“引爆器”，一个提供火花，将导火索点燃，促使观点大爆炸的人。
确实，格洛腾迪克将他工作的许多中心主题都归因于塞尔。比如说，就是塞尔在1955年将韦依猜想用上同调的语言介绍给格洛腾迪克——这种语言在韦依最初提出猜想的时候是没有明显给出的，而它却正是可以吸引格洛腾迪克的地方（《收获与播种》，840页）。通过对韦依猜想做“凯莱”类比的想法，塞尔也促使了格洛腾迪克的所谓“标准猜想”的提出，此猜想更加一般化，而韦依猜想只是其中一个推论（《收获与播种》，第210页）。
在堪萨斯呆了一年后，格洛腾迪克在1956年回到法国的时候，在CNRS谋得了一个位置，大部分时间里他呆在巴黎。他和塞尔继续通信，并且经常通电话讨论问题。就在此时格洛腾迪克开始更深入地研究拓扑和代数几何。他脑子里“充溢着想法，”阿曼德－波莱尔回忆说，“我很确定某些一流的工作必将出自于他。不过最后（从他那里）出来的比我想象的甚至还要高出很多。这就是他的Riemann－Roch定理，一个相当美妙的定理。它真是数学上的一个杰作。”
经典形式的Riemann－Roch定理在19世纪中叶得到证明。它讨论的问题是：在一个紧致黎曼曲面上，由那些极点在给定的有限多个点上，且具有最多给定次数的阶的亚纯函数构成的空间的维数是多少？问题的答案就是Riemann－Roch公式，它将维数用曲面的不变量来表达——从而提供了曲面的解析性质和拓扑性质的丰富联系。弗里德里希－赫兹布鲁克(Friedrich Hirzebruch)在1953年做出了一个巨大的进展，其时他将Riemann－Roch定理推广到不仅适用于紧致曲面，而且适用于复数域上的射影非奇异簇的情况。整个数学界都在欢呼这项伟业，它可能是这个问题的盖棺之语了。
“此时格洛腾迪克走了出来，说道：‘不，黎曼－洛赫定理不是一个关于簇的定理，而是一个关于簇间态射的定理’，”普林斯顿大学的尼克莱斯－卡兹说，“这是一个根本性的新观点…整个定理的陈述完全改变了。”范畴论的基本哲学，也就是大家应该更加注意的是对象间的箭头（态射），而不是对象自身，才刚刚开始在数学上取得一点影响。“格洛腾迪克所做的事情就是将这种哲学应用到数学上很困难的一个论题上去，”波莱尔说，“这真的很符合范畴和函子的精神，不过人们从没有想过在如此困难的论题上使用它… 如果人们已经知道这个陈述，并且明白它在说什么，可能别的某个人可以证明这个陈述。不过单单这个陈述本身就已经领先别的任何人10年时间。”
这个定理，其后也被Gerard Washnitzer[Washnitzer]在1959年证明，不仅适用于复代数簇——基域特征零的情况——而且也适用于任何本征光滑代数簇而不必在乎基域是什么。赫兹布鲁克－黎曼－洛赫定理即作为特殊情况推出。1963年黎曼－洛赫定理一个影响深远的推广出现了，它就是Michael Atiyah和Isadore Singer证明的Atiyah－Singer指标定理。在证明的过程中，格洛腾迪克引入了现在叫作格洛腾迪克群的概念，这些群本质上提供了一类新型拓扑不变量。格洛腾迪克自己将它们叫做K－群，他们提供了由Atiyah和Hirzebruch所发展的拓扑K理论的起点。拓扑K理论接着又提供了代数K理论的源动力，这两个领域从此均是研究很活跃的领域。
Arbeitstagung，字面意思即是“工作会议”，是由赫兹布鲁克在波恩大学所发起的，其作为数学前沿研究的论坛已经有四十多年历史了。正是在1957年7月首次Arbeitstagung上格洛腾迪克讲述了他在黎曼－洛赫问题上的工作。不过令人好奇的是，这个结果从没有在他名字下发表；它出现在波莱尔和塞尔的一篇文章[BS]上（这个证明作为一个报告，后来也出现在SGA6中）。正当他在1957年秋访问IAS（高等研究院）的时候，塞尔收到格洛腾迪克的一封信，里面包含了格洛腾迪克证明的概要（[Corr]中日期为1957年11月1日的信）。他和波莱尔组织了一个讨论班来试着理解这个定理。因为格洛腾迪克正在忙很多别的事情，他建议他的同事们将讨论班记录下来发表。不过波莱尔推测可能有别的原因让格洛腾迪克对将证明写下来不感兴趣。“格洛腾迪克主要的哲学思想是数学应该被简化为一系列很小而又很自然的步骤，”波莱尔说，“只要你还不能这么做，就说明你还没有理解里面真正的含义…他的黎曼－洛赫证明使用了一个小窍门，une atuce。因此他不喜欢这个证明，所以也就不想发表它。正好他有别的很多事情要做，他对将这个窍门写下来没有兴趣。”
这并不是格洛腾迪克最后一次革命化一个学科研究问题的观点。“这样的事情是一次又一次不停地发生，他会去考虑有些别人已经花了很久时间、在某些情况下甚至是100年的时间研究过的问题… 最后他完全转变了人们当初认定的这个学科告诉我们的东西。”卡兹评论道。格洛腾迪克不仅会去解决很困难的问题，他还会去继续研究引起这些问题的问题。
仿佛来自虚空（6）
新世界大门开启
（我最后终于）意识到这种“我们，伟大而高贵的精神”思维方式，在一种特别极端和恶意的形式下，从我母亲的孩提时代开始，就让她情绪易于激动，并支配着她和别人的关系，让她总是居高临下，带着常常是倨傲甚至于轻蔑的怜悯来看待别人。
《收获与播种》，第30页
根据Honig的说法，格洛腾迪克的母亲在他呆在巴西的时候，至少有部分时间也在那里，尽管Honig说自己从没有见过她。我们不清楚她是否跟随儿子去了堪萨斯。当1956年格洛腾迪克回到法国的时候，他们可能就没有住在一起了。在1957年11月于巴黎写给塞尔的信中，格洛腾迪克询问塞尔他是否可以租下塞尔正要搬出的一间巴黎公寓。“我想给我母亲租住这个公寓，她在Bois-Colombes过得不怎么好，而且觉得特别孤独，”格洛腾迪克这样解释[Corr]。事实上，他母亲在这年底就去世了。
格洛腾迪克的朋友们和同事们都说当他谈及父母双亲的时候总是充满景仰，几乎到了吹捧的地步。在《收获与缝补》一书中，格洛腾迪克也表达了对他们的深厚的孺慕之情。多年里他在办公室里挂了张很醒目的他父亲的肖像，此画是Le Vernet集中营里的难友描绘的。据Pierre Cartier的描述，这幅肖像画描绘了一个剃着光头、双目“炯炯有神”的男人[Cartier1]；很多年里格洛腾迪克自己也剃光头。根据Ribenboin的话，汉卡－格洛腾迪克对她的杰出儿子感到非常骄傲，反过来他也有一种对母亲特别深厚的依赖。
她过世后，格洛腾迪克经历了一段时间来寻找自我，期间他停止了所有的数学活动，还想过去成为一位作家。数月后，他决定重返数学，去完成和一些他已经开始发展的想法相关联的工作。这一年是1958年，根据格洛腾迪克的话，这一年“可能是我数学生涯最多产的一年。”（《收获与播种》，第24页）这个时候他开始和一位叫Mireille的妇女同居，他将在数年后与她结婚，并育有三个孩子：乔安娜, 马修和亚历山大。Mireille和格洛腾迪克的母亲曾经过往甚密，并且据熟悉他俩的人说，她比他大了不少。
得克萨斯大学奥斯汀分校的约翰－特德（John Tate）和他当时的妻子凯伦－特德(Karen Tate)1957－1958学年在巴黎度过，在那儿他们首次见到格洛腾迪克。格洛腾迪克根本就没有表现过那种他归因于母亲的倨傲。“他很友好，同时相当天真和孩子气，”John Tate回忆道，“很多数学家都相当孩子气，有时不通世务，不过格洛腾迪克犹有甚之。他看上去就那么无辜——不工于心计，不伪装自己，也不惺惺作态。他想问题的时候相当清晰，解释问题的时候非常有耐心，没有自觉比别人高明的意思。他没有被任何文明、权力或者高人一等的作风所污染。”Karin Tate回忆说格洛腾迪克乐于享受快乐，他很有魅力，并喜欢开怀大笑。但他也可以变得很极端，用非黑即白的眼光来看待问题，容不得半点灰色地带。另外他很诚实:“你和他在一起的时候总知道他要说的是什么，”她说，“他不假装任何事情。他总是很直接。”她和她的弟弟，麻省理工学院的迈克尔－阿廷（Michael Artin）都觉察到格洛腾迪克的个性和他们的父亲埃米尔－阿廷（Emil Artin）很相似。
格洛腾迪克有着“令人难以置信的理想主义想法”，Karin Tate回忆说。比如说，他不允许在他屋子里有地毯，因为他坚信地毯只是装饰用的奢侈品罢了。她还记得他穿着轮胎做的凉鞋。“他认为这妙极了，”她说，“这些都是他所尊敬的事务的象征——人需要量体裁衣，量力而行。”在他的理想主义原则下，有时候他可能变得特别不合世宜。在格洛腾迪克和Mireille1958年首次访问哈佛之前，他给了Mireille一本他喜欢的小说让她来提高她相当贫乏的英语水平。这本小说就是Moby Dick。
新几何的诞生
按照三十年后的后见之明，现在我可以说就是在1958年，伴随着两件主要工具，概型（scheme，它代表旧概念“代数簇”的一个变形）和拓扑斯（toposes，它代表空间概念的变体，尽管更加复杂）的苏醒，新几何的观点真正诞生了。
《收获与播种》，第23页
1958年8月，格洛腾迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个大会报告[Edin]。这个报告用一种非凡的先见之明，简要描述了许多他将在未来12年里工作的主题。很清楚这个时候他的目标就是要证明Andre Weil的著名猜想，其揭示了代数簇构成的离散世界和拓扑形成的连续世界的丰富联系。
在这个时候，代数几何的发展非常迅猛，很多未知问题并不需要很多背景知识。起初的时候这个学科主要是研究复数域上的簇。在20世纪初叶，这个领域是意大利数学家，诸如Guido Casternuovo，Federigo Enriques和Francesco Severi等的专长。尽管他们发展了很多的独创思想，但他们的结果不都是通过严格证明得来的。在1930和1940年代，其他一些数学家，包括范德瓦尔登、安德烈－韦依和奥斯卡－察里斯基，打算研究任意数域上的簇，特别是特征p域上的簇，其在数论上很重要。但是，由于意大利代数几何学派严谨性的匮乏，有必要在此领域建筑新的基础。这就是韦依在他1946年出版的《代数几何基础》中所做的事情(Foundations of Algebraic Geometry, [Weil1])。
韦依的猜想出现在他1949年的文章[Weil2]中。由数论中某些问题的启发，韦依研究了一类其一些特殊情况是由Emil Artin引进的zeta函数；它被叫做zeta函数则是因为它是通过和黎曼zeta函数作类比定义得来的。给定定义于特征p的有限域上的一个代数簇V，则可以计算V上在此域上有理点的个数，以及在其每个有限扩域上有理点的个数。将这些数放入一个生产函数中，就得到V的zeta函数。韦依证明了在曲线和Abel簇两种情况下，zeta函数满足三条性质：它是一个有理函数；它满足函数方程；它的零点和极点有某种特定的形式。这种（特定的）形式，经过换元后，恰好和黎曼假设相对应。韦依更进一步观察到，如果V是由某个特征零簇W模p得到的，那么当V的zeta函数表示为有理函数时，W的Betti数就可以从V的zeta函数上读出。韦依猜想就是问，如果在射影非奇异代数簇上定义这样的zeta函数，是否同样的性质还是正确的。特别地，象Betti数这样的拓扑量是否会在zeta函数里面出现？这种猜想中的代数几何和拓扑的联系，暗示当时的一些新工具，比如说为研究拓扑空间而发展出来的上同调理论，可能适用于代数簇。由于和经典黎曼假设的类似，韦依猜想的第三条有时也叫作“同余黎曼假设”；这个猜想后来被证实是三个中最难证明的。
“韦依猜想一经问世，很显然它们会由于某种原因而将扮演一个中心角色，”Katz说道,“这不仅因为它们就是作为‘黑盒子’式的论断也是令人惊异的，而且因为看上去很清楚要解决它们将需要发展很多不可思议的新工具，这些工具它们自身将由于某种原因具有不可思议的价值——这些后来都被证明是完全正确的。”高等研究院的皮埃尔－德林（Pierre Deligne）说（韦依猜想）吸引格洛腾迪克的地方正是代数几何和拓扑的猜测联系。
他喜欢这种“将韦依的这个梦想变成强大的机器”的想法，Deligne评论道。
格洛腾迪克不是由于韦依猜想很有名、或者由于别人认为它们很难而对韦依猜想感兴趣的。事实上，他并不是靠对困难问题的挑战来推动自己。他感兴趣的问题，是那些看上去会指向更大而又隐藏着的结构。“他目标在于发现和创造问题的自然栖息之家，”Deligne注意到，“这个部分是他感兴趣的，尤甚于解决问题。”这种方式和同时代另外一位伟大数学家约翰－纳什（John Nash）的方式形成鲜明对照。在他的数学黄金时代，Nash喜欢找那些被他同事们认为是最重要、最有挑战性的问题来做。“Nash象一个奥运会的运动员，”密歇根大学的Hyman Bass评论道。“他对众多的个人挑战感兴趣。”如果Nash不算是一个善于解决问题的理想范例，格洛腾迪克绝对算是建构理论的完美范例。Bass说，格洛腾迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点。”
1958年秋，格洛腾迪克开始了他到哈佛大学数学系的多次访问的第一次。Tate其时正是那里的教授，而系主任是奥斯卡－察里斯基。那时候格洛腾迪克已经用新发展的上同调的方法，重新证明了连通性定理，Zariski最重要的成果之一，于1940年代首次被其证明。根据当时是Zariski学生，现在布朗大学的大卫－曼福德（David Mumford）的话，Zariski自己从没有学会这些新方法，但是他明白它们的能力，希望他的学生们受到新方法的熏陶，因此他邀请格洛腾迪克来访问哈佛。
Mumford注意到察里斯基和格洛腾迪克他们相处得很好，尽管作为数学家他们是完全不同的。据说察里斯基如果被一个问题难住的时候，就会跑到黑板前，画一条自相交曲线，这样可以帮助他将各种想法条理化。“谣传他会将这画在黑板的一个角落里，然后他会擦掉它，继续做代数运算。”Mumford解释说，“他必须通过创造一个几何图像、重新建构从几何到代数的联系来使自己思维清晰。”根据曼福德的话，这种事格洛腾迪克是绝对不会做的；他似乎从不从例子开始研究，除那些特别简单、几乎是平凡的例子外。除去交换图表外，他也几乎不画图。
当格洛腾迪克首次应邀到哈佛的时候，他和察里斯基在访问前通过几次信，曼福德回忆道。这时离众议院非美活动委员会的时代不久，得到签证的一个要求是访问者宣誓自己不会从事推翻美国政府的活动。格洛腾迪克告诉察里斯基他拒绝做这样的宣誓。当被告知他可能会因此进监狱时，格洛腾迪克说进监狱可以接受，只要学生们可以来探访他而且他有足够多的书可用。
在格洛腾迪克哈佛的讲座上，曼福德发现到抽象化的跃进相当惊险。有一次他询问格洛腾迪克某个引理如何证明，结果得到一个高度抽象的论证作为回复。曼福德开始时不相信如此抽象的论证能够证明如此具体的引理。“于是我走开了，将它想了好几天，结果我意识到它是完全正确的。”曼福德回忆道,“他比我见到的任何人都更具有这种能力，去完成一个绝对令人吃惊的飞跃到某个在度上更抽象的东西上去…他一直都在寻找某种方法来叙述一个问题，看上去很明显地将所有的东西都从问题里抛开，这样你会认为里面什么都没有了。然而还有些东西留了下来，而他能够在这看上去的真空里发现真正的结构。”
仿佛来自虚空（7）
英雄岁月
在IHES（高等科学研究所）的英雄岁月里，Dieudonne和我是所里仅有的成员，也是仅有的可以给它带来信誉和科学世界听众的人… 我觉得自己和Dieudonne一起，有点象是我任职的这个研究所的“科学”共同创始人，而且我期望在那里结束我的岁月！我最终强烈地认同IHES…
《收获与播种》，第169页
1958年6月，在巴黎索邦举行的发起人会议上，高等科学研究所（Institut des Hautes Scientifiques, IHES）正式成立。IHES的创始人Leon Motchane，一位具有物理博士学位的商人，设想在法国成立一个和普林斯顿的高等研究院类似的独立的研究型学院。IHES的最初计划是集中做三个领域的基础研究：数学，理论物理和人类科学方法论。尽管第三个领域从来没有在那立足过，在10年时间里，IHES已经建设成为世界上最顶尖的数学和理论物理中心之一，拥有一群为数不多但素质一流的成员和一个很活跃的访问学者计划。根据科学史家David Aubin的博士论文[Aubin]，就是在1958年爱丁堡数学家大会或者可能更前的时候，Motchane说服Dieudonne和格洛腾迪克接受新设立的IHES的教授职位。Cartier在[Cartier2]中说Motchane起初希望聘用Dieudonne，而Dieudonne则将格洛腾迪克的聘请作为他接受聘请的一个条件。因为IHES从一开始就是独立于国家的，聘请格洛腾迪克不是一个问题，尽管他是无国籍人。两位教授在1959年3月正式上任，格洛腾迪克在同年5月开始他的代数几何讨论班。Rene Thom，1958年大会菲尔兹奖章获得者，在1963年10月加入，而IHES的理论物理部随着1962年Louis Michel和1964年David Ruelle的任命开始进行活动。就这样到1960年代中期，Motchane就已经为他的新研究所招募了一群杰出的研究人员。
到1962年的时候，IHES还没有永久的活动场所。办公场所是从Thiers基金会租用的，讨论班也在那里或巴黎的大学里举行。Aubin报道说一位叫Arthur Wightman的IHES早期访问学者就被希望在他的旅馆房间里工作。据说，当一位访问学者告之图书馆资料不足的时候，格洛腾迪克回答说：“我们不读书的，我们是写书的！”的确在最初几年里，研究所的很多活动是围绕“Publications Mathematiques de l’IHES”进行的，它的起初几卷包括奠基性著作Elements de Geometrie Algebrique，其以起首字面缩写EGA而闻名于世。事实上EGA的撰写在Dieudonne和格洛腾迪克正式于IHES上任前半年就已经开始了；[Corr]里提及最初写作的日期是1958年的秋天。
EGA的著述者通常认为是格洛腾迪克，“与Jean Dieudonne的合作”。格洛腾迪克将笔记和草稿写好，这些然后由Dieudonne充实和完善。根据Armand Borel的解释，格洛腾迪克是把握EGA全局的人，而Dieudonne只是对此有逐行的理解。“Dieudonne将它写得相当繁琐，”Borel评论说。同时，“Dieudonne当然又有令人难以置信的高效。没有别的人可以将它写好而不严重影响自己的工作。”对于当时那些想进入这个领域的人来说，从EGA中学习是一件令人望而生畏的挑战。目前它很少作为这个领域的入门书，因为有其他许多更容易入门的教材可供选择。不过那些教材并没有做EGA打算做的事，也就是完全而系统地解释清楚研究概型所需要的一些工具。现在在波恩的马克斯－普朗克数学研究所的Gerd Faltings，当他在普林斯顿大学的时候，就鼓励自己的博士研究生去学EGA。对很多数学家而言，EGA仍然是一本有用而全面的参考书。IHES的现任所长Jean－Pierre Bourguignon说每年研究所仍然要卖掉超过100本的EGA。
格洛腾迪克计划中EGA要包括的东西十分多。在1959年8月给塞尔的信中，他给了个简要的大纲，其中包括基本群，范畴论，留数，对偶，相交数，Weil上同调，加上“如果上帝愿意，一点同伦论”。“除非有不可预知的困难或者我掉入泥沼里去了，这个multiplodocus应该在三年内或最多四年内完成，”格洛腾迪克很乐观地说，此处他应用了他和塞尔的玩笑用语multiplodocus，其意是指一篇很长的文章。“我们接下去就可以开始做代数几何了！”格洛腾迪克欢呼道。后来的情况表明，EGA在经过近乎指数式增长后失去了动力：第一章和第二章每章一卷，第三章两卷，而最后一章第四章则达到了四卷。它们一共有1800多页。尽管EGA没有达到格洛腾迪克计划的要求，它仍然是一项里程碑式的著作。
EGA这个标题仿效Nicolas Bourbaki的《数学原理》系列的标题不是偶然的，正如后者仿效欧几里得的《几何原本》也不偶然一样。格洛腾迪克从1950年代后期开始，数年内曾经是布尔巴基学派的成员，而且他和学派内很多成员关系密切。布尔巴基是一群数学家的笔名，其大多数是法国人，他们在一起合作撰写数学方面一系列基础性的著作。Dieudonne和Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Andre Weil一起，是布尔巴基学派的创始成员。一般情况下学派有10名成员，其组成随着岁月而演化。布尔巴基最早的书出版于1939年，而它的影响在1950年代和1960年代达到了顶峰。这些书籍的目的是对数学的中心领域提供公理化的处理，使其一般性程度足以对最大数目的数学家有用处。这些著作都是经过成员间激烈甚至火爆的辩论的严格考验才诞生的，而这些成员中的许多都有很强的人格和非常个性化的观点。曾是布尔巴基成员25年的波莱尔写道这个合作可能是“数学史上的独特事件”[Borel]。布尔巴基汇聚了当时许多的顶尖数学家的努力，他们无私的匿名奉献自己的大量时间和精力来撰写教材，使得这个领域的一大部分容易让大家理解。这些教材有很大的影响，到1970和1980年代，有人埋怨布尔巴基的影响太大了。还有人也批评这些书的形式过于抽象和一般化。
布尔巴基和格洛腾迪克的工作有一些相似之处，此表现在抽象化和一般化的程度上，也表现在其目的都是基本、细致而有系统。他们间的主要区别是布尔巴基包括了数学研究的一系列领域，而格洛腾迪克主要关注在代数几何上发展新的思想，以韦依猜想作为其主要的目标。格洛腾迪克的工作差不多集中在他自己的内在观点上，而布尔巴基则是铸造他的成员们的不同观点的结合的合作努力。波莱尔在[Borel]中描述了1957年3月布尔巴基的聚会，他称之为“顽固的函子大会”，因为格洛腾迪克提议一篇关于范畴论的Bourbaki草稿应该从一个更范畴论的观点来重写。布尔巴基没有采用这个想法，认为这将导致无穷无尽的基础建设的循环往复。格洛腾迪克“不能够真正和布尔巴基合作，因为他有他自己的庞大机器，而布尔巴基对他而言，还不够一般化，”塞尔回忆说。另外，塞尔评论道：“我认为他不是很喜欢布尔巴基这样的体系，在此我们可以真正详细讨论草稿并且批评它们…这不是他做数学的方式。他想自己单干。”格洛腾迪克在1960年离开布尔巴基，尽管他继续和其中很多成员关系密切。
有些故事传说格洛腾迪克离开布尔巴基是因为他和韦依的冲突，实际上他们在布尔巴基时间上仅仅有很短的重合：根据惯例，成员必须在50岁的时候退休，所以韦依在1956年离开了学派。然而，格洛腾迪克和韦依作为数学家很不一样倒的确是事实。根据Deligne的说法：“韦依不知为何觉得格洛腾迪克对意大利几何学家们的工作和对经典文献阐明的结果太无知了，而且韦依不喜欢这种建造巨大机器的工作方式…他们的风格相当不一样。
除去EGA以外，格洛腾迪克代数几何全集的另外一个主要部分是Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie，简称SGA，其中包括他的IHES讨论班的演讲的讲义。它们最初由IHES分发。SGA2由North Holland和Masson合作出版的，而其他几卷则是由Springer-Verlag出版。SGA1整理自1960－1961年讨论班，而这个系列最后的SGA7则来自1967－1969年的讨论班。与目的是为了奠基的EGA不一样，SGA描述的是出现在格洛腾迪克讨论班上的正在进行的研究。他也在巴黎布尔巴基讨论班上介绍了很多结果，它们被合集为FGA，即Fondements de la Geometrie Algebrique,其出版于1962年。EGA，SGA和FGA加起来大约有7500页。
仿佛来自虚空（8）
魔术扇子
如果说数学里有什么东西让我比对别的东西更着迷的话（毫无疑问，总有些让我着迷的），它既不是“数”也不是“大小”，而是型。在一千零一张通过其型来展示给我的面孔中，让我比其他更着迷的而且会继续让我着迷下去的，就是那隐藏在数学对象下的结构。
《收获与播种》，第27页
在《收获与播种》第一卷里，格洛腾迪克对他的工作作了一个解释性的概括，意在让非数学家能够理解（第25－48页）。在那儿他写道，从最根本上来讲，他的工作是寻找两个世界的统一：“算术世界，其中（所谓的）‘空间’没有连续性的概念，和连续物体的世界，其中的‘空间’在恰当的条件下，可以用分析学家的方法来理解”。韦依猜想如此让人渴望正是因为它们提供了此种统一的线索。胜于直接尝试解决韦依猜想，格洛腾迪克大大地推广了它们的整个内涵。这样做可以让他感知更大的结构，这些猜想所凭依于此结构，却只能给它提供惊鸿一瞥。在《收获与播种》这一节里，格洛腾迪克解释了他工作中一些主要思想，包括概型、层和拓扑斯。
基本上说，概型是代数簇概念的一个推广。给定一组素特征有限域，一个概型就可以产生一组代数簇，而每一个都有它自己与众不同的几何结构。“这些具有不同特征的不同代数簇构成的组可以想象为一个‘由代数簇组成的无限扇面的扇子’（每个特征构成一个扇面），”格洛腾迪克写道.“‘概型’就是这样的魔术扇子，就孺扇子连接很多不同的‘分支’一样，它连接着所有可能特征的‘化身’或‘转世’。”到概型的推广则可以让大家在一个统一方法下，研究一个代数簇所有的不同“化身”。在格洛腾迪克之前，“我认为大家都不真正相信能够这样做，”迈克－阿廷评论说，“这太激进了。没有人有勇气哪怕去想象这个方法可能行，甚至可能在完全一般的情况下都行。这个想法真的太出色了。”
从19世纪意大利数学家Enrico Betti的远见开始，同调和它的对偶上同调那时候已经发展成为研究拓扑空间的工具。基本上说，上同调理论提供一些不变量，这些不变量可以认为是衡量空间的这个或那个方面的‘准尺’。由韦依猜想隐含着的洞察力所激发的巨大期望就是拓扑空间的上同调方法可以适用于簇与概型。这个期望在很大程度上由格洛腾迪克及其合作者的工作实现了。“就象夜以继日一样将这些上同调技巧带到代数几何中”，曼福德注意到。“它完全颠覆了这个领域。这就象傅立叶分析之前和之后的分析学。你一旦知道傅立叶分析的技巧，突然间你看一个函数的时候就有了完全深厚的洞察力。这和上同调很类似。”
层的概念是由让－勒雷所构想而后由亨利－嘉当和让-皮埃尔－塞尔进一步发展的。在他的奠基性文章FAC（“Faisceaux algebriques coherents”,“代数凝聚层”，[FAC]）中，塞尔论证了如何将层应用到代数几何中去。格洛腾迪克在《收获与播种》中描述了这个概念如何改变了数学的全貌：当层的想法提出来后，就好象原来的五好标准上同调“准尺”突然间繁殖成为一组无穷多个新“准尺”，它们拥有各种各样的大小和形状，每一个都完美地适合它自己独特的衡量任务。更进一步说，一个空间所有层构成的范畴包含了如此多的信息，本质上人们可以“忘记”这个空间本身。所有这些的信息都包括在层里面——格洛腾迪克称此为“沉默而可靠的向导”，引领他走向发现之路。
拓扑斯的概念，如格洛腾迪克所写，是“空间概念的变体”。层的概念提供了一种办法，将空间所依附的拓扑设置，转化为层范畴所依附的范畴设置。拓扑斯则可以描述为这样一个范畴，它尽管无需起因于普通空间，然而却具有所有层范畴的“好”的性质。拓扑斯的概念，格洛腾迪克写道，突出了这样的事实：“对于一个拓扑空间而言真正重要的根本不是它的‘点’或者点构成的子集和它们的亲近关系等等，而是空间上的层和层构成的范畴”。
为了提出拓扑斯的概念，格洛腾迪克“很深入地思考了空间的概念”，Deligne评价道。“他为理解韦依猜想所创立的理论首先是创立拓扑斯的概念，将空间概念推广，然后定义适用于这个问题的拓扑斯，”他解释说。格洛腾迪克也证实了“你可以真正在其上面工作，我们关于普通空间的直觉在拓扑斯上仍然适用…这是一个很深刻的想法。”
在《收获与播种》中格洛腾迪克评论道，从技术观点而言，他在数学上的大多工作集中在发展所缺乏的上同调理论。平展上同调（Etale cohomology）就是这样一种理论，由格洛腾迪克、迈克－阿廷以及其他一些人所发展，其明确意图是应用于韦依猜想，而它确实是最终证明的主要因素之一。但是格洛腾迪克走得更远，发展了motive的概念，他将此描述为“终极上同调不变量”，所有其他的上同调理论都是它的实现或者化身。Motive的完整理论至今还没有发展起来，不过由它产生了大量好的数学。比如，在1970年代，高等研究院的Deligne和Robert Langlands猜想了motives和自守表示间的精确关系。这个猜想，现在是所谓Langlands纲领的一部分，首次以印刷形式出现在[Langlands]一文中。多伦多大学的James Arthur认为彻底证明这个猜想将是数十年后的事情。但他指出，Andrew Wiles的Fermat大定理的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维motives的特殊情况。另外一个例子是高等研究院的Vladimir Voevodsky在motivic上同调的工作，由此他获得2002年菲尔兹奖章。这个工作发展了格洛腾迪克关于motive的一些原始想法。
在此关于他数学工作的简短回顾中，格洛腾迪克写道，构成它的精华和力量的，不是大的定理，而是“想法，甚至梦想”（第51页）。
仿佛来自虚空（9）
格洛腾迪克学派
直到1970年第一次“苏醒”的时候，我和我的学生们的关系，就如我和自己工作的关系一样，是我感到满意和快乐－这些是我生活的和谐感知的切实而无可指责的基础之一－的一个源泉，至今仍有它的意义…
《收获与播种》，第63页
在1961年秋访问哈佛时，格洛腾迪克致信给塞尔：“哈佛的数学气氛真是棒极了，和巴黎相比是一股真正的清新空气，而巴黎的情况则是一年年里越来越糟糕。这里有一大群学生开始熟悉概型的语言，他们别无所求，只想做些有趣的问题，我们显然是不缺有趣的问题的”[Corr]。迈克－阿廷，其于1960年在察里斯基指导下完成论文，此时正是哈佛的Benjamin Pierce讲师。完成论文之后，阿廷马上开始学习新的概型语言，他也对平展上同调的概念感兴趣。当格洛腾迪克1961年来哈佛的时候，“我询问他平展上同调的定义，”阿廷笑着回忆说。这个定义当时还没有明确给出来。阿廷说道：“实际上整个秋天我们都在辩论这个定义。”
1962年搬到麻省理工学院后，阿廷开了个关于平展上同调的讨论班。接下去两年大部分时间他在IHES度过，和格洛腾迪克一起工作。平展上同调的定义完成后，仍然还有许多工作要做来驯服这个理论，让它变成一个可以真正使用的工具。“这个定义看上去很美，不过它不保证什么东西是有限的，也不保证可计算，甚至不保证任何东西，”曼福德评论道。这些就是阿廷和格洛腾迪克要投入的工作；其中一个结果就是阿廷可表定理。与让-路易－沃迪耶尔（Jean－Louis Verdier）一起，他们主持了1963－1964年的讨论班，其主题即平展上同调。这个讨论班写成为SGA4的三卷书，一共差不多1600页。
可能有人不同意格洛腾迪克对1960年代早期巴黎数学氛围“糟糕”的评价，但毫无疑问，当他在1961年回到IHES，重新开始他的讨论班时，巴黎的数学氛围得到了相当大的加强。那里的气氛“相当棒”，阿廷回忆说。这个讨论班参加者人数众多，包括巴黎数学界的头面人物以及世界各地来访的数学家。一群出色而好学的学生围绕在格洛腾迪克周围，在他的指导下写论文（由于IHES不授予学位，名义上说他们是巴黎市内外一些大学的学生）。
1962年，IHES搬到它的永久之家，位于巴黎郊区Bures-sur-Yvette一个叫Bois-Marie，宁静而树木丛生的公园里。那个举行讨论班的舞台式建筑，及其大绘图窗户和所赋予的开放而通透的感觉，给这里提供了一种不凡而生动的背景。格洛腾迪克是所有活动的激情四射的中心。“这些讨论班是非常交互式的，”Hyman Bass回忆说，他于1960年代访问过IHES，“不过不管格洛腾迪克是不是发言人，他都占着统治地位。”他特别严格而且可能对人比较苛求。“他不是不善心，但他也不溺爱学生。”Bass说道。格洛腾迪克发展了一套与学生工作的固定模式。一个典型例子是巴黎南大学的Luc Illusie（老耶律），他于1964年成为格洛腾迪克的学生。老耶律曾参加了巴黎的亨利－嘉当和洛朗－施瓦兹讨论班，正是嘉当建议老耶律或许可以跟随格洛腾迪克做论文。老耶律其时还只学习过拓扑，很害怕去见这位代数几何之“神”。后来表明，见面的时候格洛腾迪克相当友善，他让老耶律解释自己已经做过的事情。老耶律说了一小段时间后，格洛腾迪克走到黑板前，开始讨论起层、有限性条件、伪凝聚层和其他类似的东西。“黑板上的数学就象海一样，象那奔流的溪流一样，”老耶律回忆道。最后，格洛腾迪克说下一年他打算将讨论班主题定为L-函数和l-adic上同调，老耶律可以帮助记录笔记。当老耶律抗议说他根本不懂代数几何时，格洛腾迪克说没关系：“你很快会学会的。”
老耶律的确学会了。“他讲课非常清楚，而且他花大力气去回顾那些必需的知识，包括所有的预备知识，”老耶律评价道。格洛腾迪克是位优秀的老师，非常有耐心而且擅于清楚解释问题。“他会花时间去解释非常简单的例子，来证明这个机器的确可以运行，”老耶律说。格洛腾迪克会讨论一些形式化的性质，那些常常被人归结到“平凡情况”因而太明显而不需要讨论的性质。通常“你不会去详述它，你不会在它上面花时间，”老耶律说，但这些东西对于教学非常有用。“有时有点冗长，但是它对理解问题很有帮助。”格洛腾迪克给老耶律的任务是记录讨论班一些报告的笔记——准确说，是SGA5的报告I,II和III。笔记完成后，“当我将它们交给他时全身都在发抖，”老耶律回忆道。几个星期后格洛腾迪克告诉老耶律到他家去讨论笔记；他常常与同事和学生在家工作。格洛腾迪克将笔记拿出来放在桌子上后，老耶律看到笔记上涂满了铅笔写的评语。两个人会坐在那里好几个小时来让格洛腾迪克解释每一句评语。“他可能评论一个逗号、一个句号的用法，可能评论一个声调的用法，也可能深刻评论关于一个命题的实质并提出另一种组织方法——各种各样的评论都有，”老耶律说道，“但是他的评语都说到点子上。”这样逐行对笔记做评论是格洛腾迪克指导学生很典型的方法。老耶律回忆起有几个学生因为不能忍受这样近距离的批评，最终在别人指导下写了论文。有个学生一次见过格洛腾迪克后差点流眼泪了。老耶律说：“我记得有些人很不喜欢这样的方式。你必须照这样做…但这些批评不是吹毛求疵。”
Nicholas Katz在他以博士后身份于1968年访问IHES时也被给了个任务。格洛腾迪克建议Katz可以在讨论班上做个关于Lefschetz pencils的报告。“我曾听说过Lefschetz pencils，但除去听说过它们之外我对它们几乎一无所知，”Katz回忆说。“但到年底的时候我已经在讨论班上做过几次报告了，现在这些作为SGA7的一部分留传了下来。我从这里学到了相当多的东西，这对我的未来起了很多影响。”Katz说格洛腾迪克一周内可能会去IHES一次去和访问学者谈话。“绝对令人惊讶的是他不知怎么可以让他们对某些事情感兴趣，给他们一些事情做，”Katz解释说，“而且，在我看来，他有那种令人惊讶的洞察力知道对某个人而言什么问题是个好问题，可以让他去考虑。在数学上，他有种很难言传的非凡魅力，以至于大家觉得几乎是一项荣幸被请求在格洛腾迪克对未来的远见卓识架构里做些事情。
哈佛大学的Barry Mazur至今仍然记得在1960年代早期在IHES和格洛腾迪克最初一次谈话中，格洛腾迪克给他提出的问题，那个问题起初是Gerard Washnitzer问格洛腾迪克的。
问题是这样的：定义在一个域上的代数簇能否由此域到复数域的两个不同嵌入而得到不同的拓扑微分流形？塞尔早前曾给了些例子说明两个拓扑流形可能不一样，受这个问题的激发，Mazur后来和阿廷在同伦论上做了些工作。但在格洛腾迪克说起这个问题的时候，Mazur还是个全心全意的微分拓扑学家，而这样的问题本来他是不会碰到的。“对于格洛腾迪克，这是个很自然的问题，”Mazur说道，“但对我而言，这恰好是让我开始从代数方面思考的动力。”格洛腾迪克有种真正的天赋来“给人们搭配未解决问题。他会估量你的能力而提出一个问题给你，而它正是将为你照亮世界的东西。这是种相当奇妙而罕见的感知模式。”
在和IHES的同事及学生工作外，格洛腾迪克和巴黎外一大群数学家保持着通信联系，其中有些正在别的地方在部分他的纲领上进行工作。例如，加州大学伯克莱分校的Robin Hartshorne1961年的时候正在哈佛上学，从格洛腾迪克在那所做的讲座里，他得到关于论文主题的想法，即研究希尔伯特概型。论文完成后Hartshorne给已经回到巴黎的格洛腾迪克寄了一份。在日期署为1962年9月27日的回信中，格洛腾迪克对论文做了些简短的正面评价。“接下去3到4页全是他对我可能可以发展的更深定理的想法和其他些关于这个学科大家应该知道的东西，”Hartshorne说。他注意到信中建议的有些事情是“不可完成的困难”，而其他一些则显示了非凡的远见。倾泄这些想法后，格洛腾迪克又回来谈及论文，给了3页详细的评语。
在他1958年爱丁堡数学家大会的报告中，格洛腾迪克已经概述了他关于对偶理论的想法，但由于他在IHES讨论班中正忙着别的一些主题，没有时间来讨论它。于是Hartshorne提出自己在哈佛开一个关于对偶的讨论班并将笔记记录下来。1963年夏天，格洛腾迪克给了Hartshorne大约250页的教案（prenote），这将成为Hartshorne这年秋天开始的讨论班的基础。听众提出的问题帮助Hartshorne发展和提炼了对偶理论，他并开始将它系统记录下来。他会将每一章都寄给格洛腾迪克来接受批评，“它回来的时候整个都布满了红墨水，”Hartshorne回忆道，“于是我将他说的都改正了并即给他寄新的版本。它被寄回时上面的红墨水更多。”意识到这可能是个无穷尽的过程后，Hartshorne有天决定将手稿拿去出版；此书1966年出现在Springer的Lecture Notes系列里[Hartshorne]。
格洛腾迪克“有如此多的想法以至基本上他一个人让那时候世界上所有在代数几何上认真工作的人都很忙碌，”Hartshorne注意到。他是如何让这个事业一直运行下来的呢？“我认为这没有什么简单答案，”迈克－阿廷回答说。不过显然格洛腾迪克的充沛精力和知识宽度是一些原因。“他非常的精力充沛，而且他涵盖很多领域，”阿廷说。“他能够完全控制这个领域达12年之久真是太不寻常了，这可不是个懒人集中营。”
在他IHES的岁月里，格洛腾迪克对数学的奉献是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及对自身观点的顽强坚持，产生了思维的巨浪，将很多人冲入它的奔涌激流中。他没有在自己所设的令人畏惧的计划面前退缩，反而勇往直前地投入进去，冲向大大小小的目标。“他的数学议程比起一个人能做的要多出很多，”Bass评价道。他将其中很多工作发包给他的学生们和合作者们来做，而自己也做了很大一部分的工作。给予他动力的，如他在《收获与播种》里所解释，就只是理解事情的渴望，而确实，那些知道他的人证明他不是由于什么形式的竞赛来推动自己的。“在那时，从没有过这样要在别人之前证明某个东西的想法，”塞尔解释道。而且在任何时候，“他不会和别的任何人竞赛，一个原因是他希望按他自己的方式来做事情，而几乎没有别的人愿意也这样做。完成它需要太多工作了。”
格洛腾迪克学派的统治地位有些有害的效果。甚至格洛腾迪克IHES的杰出同事，Rene Thom也感到有压力。在[Fields]中，Thom写道与其他同事的关系比较起来，他与格洛腾迪克的关系“不那么愉快”。“他的技术优势太有决定性了，”Thom写道。“他的讨论班吸引了整个巴黎数学界，而我则没有什么新的东西可供给大家。这促使我离开了严肃数学世界而去处理更一般的概念，比如组织形态的发生，这个学科让我更感兴趣，引导我走向一个很一般形式的‘哲学’生物学。”
在他1988年的教材《本科生代数几何》最后的历史性评论中，Miles Reid写道：“对格洛腾迪克的个人崇拜有些严重的副作用：许多曾经花了一生很大一部分时间去掌握韦依的代数几何基础的人觉得受到了拒绝和羞辱…整整一代学生（主要是法国人）被洗脑而愚蠢地认为如果一个问题不能放置于高效能的抽象框架里就不值得去研究。”如此“洗脑”可能是时代时尚无法避免的副产品，尽管格洛腾迪克自己从来不是为抽象化而追求抽象化的。
Reid也注意到，除去少数可以“跟上步伐并生存下来”的格洛腾迪克的学生，从他的思想里得益最多的是那些在一段距离外受影响的人，特别是美国，日本和俄国的数学家。Pierre Cartier在俄国数学家，如Vladimir Drinfeld，Maxim Kontsevich，Yuri Manin和Vladimir Voevodsky的工作中看到了格洛腾迪克思想的传承。Cartier说：“他们抓住了格洛腾迪克的真正精神，但他们能够将它和其他东西结合起来。”
