- 周五 7月 26, 2024 12:40 pm
#8210
数学大统一理论里程碑进展：几何朗兰兹猜想的证明
by 机器之心
----- 历经三十年的努力，数学家已经成功证明了一个名为「朗兰兹纲领（Langlands program）」的宏大数学愿景的主要部分。
一个由 9 位数学家组成的团队成功证明了几何朗兰兹猜想（Geometric Langlands Conjecture），这是现代数学领域涉及范围最广的范式之一。
马克斯・普朗克数学研究所的著名数学家 Peter Scholze（菲尔兹获奖者，他并未参与此证明）说：这项证明是三十年辛苦研究所到达的顶点。「看到它得到解决真是太好了。」
朗兰兹纲领是由罗伯特・朗兰兹（ Robert Langlands，普林斯顿的沃尔夫获奖人）在 1960 年代提出的。其是对傅里叶分析的广泛泛化，而傅里叶分析是一个影响深远的框架，可将复杂的波表示成多个平滑震荡的正弦波。朗兰兹纲领在三个不同的数学领域都有重要地位：数论、几何和所谓的函数域（function field）。这三个领域通过一个类比网络连接在了一起，而这个网络也被称为数学的「罗塞塔石碑（Rosetta stone）」。
现在，一系列论文证明了这个罗塞塔石碑的几何栏位的朗兰兹猜想：https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/
德克萨斯州大学奥斯汀分校的 David Ben-Zvi 说：「其它领域还没有得到过如此全面和有力的证明。」
朗兰兹纲领的几何版本的主要先驱之一 Alexander Beilinson （芝加哥大学，沃尔夫奖获奖人）说：「这是美丽的数学，最美的那一类。」
该证明包含 5 篇论文，加起来超过 800 页。它们来自 Dennis Gaitsgory（马克斯・普朗克研究所）和 Sam Raskin（耶鲁大学）领导的一个团队。
Gaitsgory 过去 30 年来一直致力于证明几何朗兰兹猜想。这几十年来，他及其合作者获得了大量研究成果，并在这些基础上完成了这项证明。格勒诺布尔 - 阿尔卑斯大学的 Vincent Lafforgue （菲尔兹获奖人）将这些进步比作是「不断升高的海」；他说这就像是 20 世纪杰出数学家亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的研究精神 —— 通过创造一个不断升高的思想之海来解决困难问题。
要验证他们的新证明成果还需要些时日，但很多数学家都表示相信其核心思想是正确的。Lafforgue 说：「该理论的内部一致性很好，所以很难相信它错了。」
在证明之前的几年里，该研究团队创建了不止一条通往问题核心的路径。「他们得到的理解是如此的丰富和广泛，以至于他们从所有方向包围了这个问题。」他说，「它已无路可逃。」
大统一理论
1967 年，时年 30 岁的普林斯顿大学教授罗伯特・朗兰兹在他手写给安德烈・韦伊（André Weil，这个罗塞塔石碑的创立者，两者都是普林斯顿的沃尔夫获奖人）的一份 17 页信件中阐述了他的愿景。朗兰兹写到，在这个罗塞塔石碑的数论和函数域栏位上，有可能创造出一种广义版的傅里叶分析，并且其将具有惊人的范围和力量。
在经典的傅里叶分析中，对于两种不同的思考波图（比如声波）的方式，会使用一种名为傅立叶变换的过程来创造的它们之间的对应关系。在这对应关系的一侧是这些波本身。（我们称之为波侧 /wave side）。这包括简单的正弦波（在声学中就是纯音）以及由多个正弦波组成的复杂波。在这对应关系的另一侧是余弦波的频谱 —— 声学中的音高。（数学家称之为谱侧 /spectral side）。
傅立叶变换就是在这两侧之间来回。在一个方向上，其可将波分解成一组频率；在另一个方向上，则可根据其组成频率重建出波。这种双向变换的能力造就了数不清的应用 —— 没有它，我们就不会拥有现代电信、信号处理、磁共振成像或现代生活的许多其它必需品。
朗兰兹提出，罗塞塔石碑的数论和函数域栏位也有类似的变换，只是这里的波和频率都更加复杂。
在下面的视频中，罗格斯大学的数学家 Alex Kontorovich 将带我们穿过这片数学大陆，了解朗兰兹纲领核心的令人惊叹的对称性。
在这些栏位中的每一个，都有一个由一组特殊函数组成的波侧，这些特殊函数类似于重复的波。这些特殊函数中最纯粹的被称为特征函数（eigenfunction），其作用就类似于正弦波。每个特征函数都有一个特征频率。不过，虽然正弦波的频率是一个数值，但特征函数的频率则是一个无限的数值列表。
还有谱侧。这由数论中的对象组成；朗兰兹认为这些对象标记了特征函数的频谱。他提出，存在一种类似于傅立叶变换的处理机制可将这里的波侧与谱侧连接起来。「这件事有点神奇。」Ben-Zvi 说，「这不是我们没有任何理由时就能事先预计的东西。」
波与其频率标签来自大不相同的数据领域，因此如果能证明它们之间的对应关系，必定能带来丰厚的回报。举个例子，在 1990 年代时，一个相对较小的函数集的数论朗兰兹对应的证明就让 Andrew Wiles 和 Richard Taylor 证明了费马大定理 —— 这个问题曾是数学领域最著名的待证明问题之一，数学界已经为此努力了三个世纪。
加州大学伯克利分校的 Edward Frenkel 表示：朗兰兹纲领被视为「数学的大统一理论」。然而，即便数学家已经努力证明了朗兰兹愿景中越来越大的部分，但他们也很清楚这个愿景并不完备。在这块罗塞塔石碑的几何学栏位，波与频率标签的关系似乎无法体现出来。
一粒沙
正是从朗兰兹的研究工作开始，数学家对几何朗兰兹对应（geometric Langlands correspondence）的谱侧的样子有了一个想法。韦伊设定的罗塞塔石碑的第三个栏位（几何）涉及紧黎曼曲面（compact Riemann surface），包括球面、甜甜圈形曲面以及多孔甜甜圈形曲面。一个给定的黎曼曲面都有一个对应的对象，称为基本群（fundamental group），其跟踪的是环绕曲面的环线的不同形式。
数学家猜想，几何朗兰兹对应的谱侧应当由基本群的特定蒸馏形式构成，这些特定的蒸馏形式也被称为基本群的表征（representation）。
如果要在罗塞塔石碑的几何栏位体现出朗兰兹对应，那么黎曼曲面基本群的每个表征都应该是一个频率标签 —— 但是什么的频率标签呢？
对于频率似乎标记了基本群表征的特征函数，数学家找不到任何集合。然后到了 1980 年代，如今就职于芝加哥大学的 Vladimir Drinfeld （芝加哥大学，菲尔兹和沃尔夫获奖人）意识到：通过将特征函数替换成名为特征层（eigensheaf）的更复杂对象，有可能创建起几何朗兰兹对应 —— 不过那时候，他只知道少数特征叠层的构建方式。
层（sheaf）比函数深奥很多，因此数论学家那时候不知道该如何理解这个朗兰兹对应的几何表亲。但几何朗兰兹纲领（尽管其波侧玄奥难懂）相较于数论版本的朗兰兹纲领有着一个大优势。在几何朗兰兹中，特征层的频率由黎曼曲面上的点控制，球体或甜甜圈上的每个点在近距离看起来非常相似。但在数论朗兰兹中，频率由素数控制，并且每个素数都有其特有的性质。伦敦帝国学院的数论学家 Ana Caraiani 说：数学家不知道「如何以一种很好的方式从一个素数到另一个素数。」
黎曼曲面在物理学领域具有重要作用，尤其是在共形场论中，其控制着亚原子粒子在某些力场中行为。在 1990 年代早期，Beilinson 和 Drinfeld 展示了可以如何使用共形场论来构建某些特别好的特征层。
与共形场论这种连接关系让 Beilinson 和 Drinfeld 开始思考如何为层（sheaf）构建一种傅里叶分析。Ben-Zvi 说：「这就像是引发结晶的一粒沙子。」
Beilinson 和 Drinfeld 提出了一个丰富的愿景，阐述了几何朗兰兹对应理应的工作方式。这不仅是基本群的每个表征都应该标记一个特征层的频率。他们认为，这种对应关系也应当尊重两侧的重要关系，Beilinson 和 Drinfeld 称这种展望是「最好的希望」。
1990 年代中期，Beilinson 在特拉维夫大学通过一系列讲座介绍了这一发展中的研究图景。Gaitsgory 那时在此读研究生，努力吸收其中每句话。他回忆说：「我就像一只刚孵化的小鸭子，获得了一种印随行为。」
此后的 30 年里，几何朗兰兹猜想一直是 Gaitsgory 数学生涯的主要驱动力。他说：「这些年都在不停地工作，离目标越来越近，开发不同的工具。」
上升之海
Beilinson 和 Drinfeld 只是松散地陈述了他们的猜想，事实证明他们有点过于简化「最好的希望」中的关系理应的工作方式了。2012 年时，Gaitsgory 与威斯康星大学麦迪逊分校的 Dima Arinkin 搞清楚了如何将这「最好的希望」变成一个精确的猜想。
之后一年，Gaitsgory 写了一份大纲，阐述了证明几何朗兰兹猜想的可能方式。该大纲依赖大量中间陈述，其中很多当时都尚未得到证明。Gaitsgory 及其合作者开始着手证明它们。
接下来的几年时间里，Gaitsgory 和多伦多大学的 Nick Rozenblyum 写了两本关于层的书，加起来接近 1000 页。在这套两卷本中，几何朗兰兹纲领只被提及了一次。Gaitsgory 说：「但其目的是奠定基础，后来我们也大量使用到了这些基础。」
2020 年，Gaitsgory 突然发现他没什么日程安排了。他说：「我花了三个月时间躺在床上，只是思考。」这些思考最终促成了一篇论文（有 6 位作者）。虽然这篇论文专注于朗兰兹纲领的函数域栏位，但其中也包含「一粒种子」—— 这粒种子后来变成了证明几何朗兰兹猜想的关键组件：一种用于理解特征层如何促进所谓的「白噪声」的方法。
在经典的信号处理领域，可由正弦波构建声波，其频率对应于声音中的音高。仅仅知道声音包含哪些音高是不够的 —— 还需要知道每个音高的响度有多大。这些信息让你可将声音写成正弦波的组合形式：只需从幅度为 1 的正弦波开始，然后让正弦波乘以适当的响度因子，再将这些正弦波加在一起。所有不同的幅度为 1 的正弦波之和就是我们常说的「白噪声」。
在几何朗兰兹纲领的世界里，特征层的作用就类似于正弦波。Gaitsgory 及其合作者识别出了一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，其作用似乎就类似于白噪声。但这些研究者并不清楚能否将每个特征层都表示在庞加莱层中，更不用说它们是否都具有相同的幅度了。
2022 年春，Raskin 与他的研究生 Joakim Færgeman 展示了如何使用那篇六作者论文中的思想来证明每个特征层都确实可表示在庞加莱层中。Gaitsgory 在谈到对几何朗兰兹猜想的证明时说：「在 Sam 的和 Joakim 的论文之后，我很确信我们能在短时间内做到。」
研究者需要证明，所有特征层对庞加莱层都有同等的贡献，并且基本群表征标记了这些特征层的频率。他们认识到，最难的部分是处理这种基本群的表征：不可约表征。
这些不可约表征的解决方案出现之时，Raskin 的个人生活正一片混乱。在他与 Færgeman 在网上发布了他们的论文几周后的某天，Raskin 不得不匆忙地将他怀孕的妻子送往医院，然后再回家送儿子第一次去幼儿园。Raskin 的妻子在医院住了六周，直到他们的第二个孩子降生。在这段时间里，Raskin 的生活一直在轮轴转 —— 为了保证儿子的正常生活，他无休止地在家、儿子的学校和医院之间来回奔忙。他说：「我那时的全部生活就是车和照顾人。」
他在驾驶途中与 Gaitsgory 打电话探讨数学。在那几周的第一周快结束时，Raskin 意识到他可以将这个不可约表征问题简化成证明三个当时已经触手可及的事实。「对我来说，那段时间很神奇。」他说，他的个人生活「充满了对未来的焦虑和恐惧。对我来说，数学是一种需要根植（grounding）和冥想的东西，可以让我摆脱那种焦虑。」
到 2023 年初，Gaitsgory 和 Raskin 以及 Arinkin、Rozenblyum、Færgeman 和其他四名研究人员一起，对 Beilinson 和 Drinfeld 的「最好的希望」进行了完整的证明，并由 Gaitsgory 和 Arinkin 进行了修订。（其他研究者为伦敦大学学院的 Dario Beraldo、清华大学的 Lin Chen（陈麟）、芝加哥大学的 Justin Campbell 和 Kevin Lin。）该团队又用了一年时间将该证明写下来。他们在今年二月份在网上发布了该证明。尽管这些论文遵循 Gaitsgory 在 2013 年制定的大纲，但其中简化了 Gaitsgory 的方法并在很多方面做出了改进。Lafforgue 说：「对于这个无与伦比的成就，很多聪明人为此贡献了很多新想法。」
「他们不仅仅是证明了它，」Ben-Zvi 说，「他们围绕它开发了整个世界。」
更远的海岸
对 Gaitsgory 来说，这个数十年梦想的实现远非故事的结束。还有许多进一步的难题有待数学家解决 —— 更深入地探索其与量子物理学的联系、将该结果扩展到带穿孔的黎曼曲面、搞清楚其对罗塞塔石碑的其它栏位的影响。Gaitsgory 在一封电子邮件中写到：「这感觉（至少对我来说）更像是凿下了一块大石头，但我们离核心依然还很远。」
研究其它两个栏位的研究者现在急切地想要将这个证明转译过去。Ben-Zvi 说：「其中一个主要碎片得到解决这一事实应该会对朗兰兹对应的整体研究产生重大影响。」
但并非所有东西都能带过去 —— 举个例子，在数论和函数域设置中，并没有与共形场论思想相对应的东西，而共形场论能让研究者在几何设置中构建起特殊的特征层。在将该证明中的很多东西用于其它栏位之前，还需要一些费力的调整。伯克利的 Tony Feng 说：我们还不清楚是否能「将这些思想转移到一个原本没想过能使用它们的不同环境中。」
但很多研究者都乐观地相信这个上升的思想之海最终会漫延到其它领域。Ben-Zvi 说：「它将渗透穿过学科之间的所有障碍。」
过去十年中，研究者已经开始发现几何栏位与另外两个栏位之间的联系。「如果（几何朗兰兹猜想）在 10 年前就被成功证明，那么结果会大不相同。」Feng 说，「人们就不会认识到它的影响可能会拓展到（几何朗兰兹）社区之外。」
在将几何朗兰兹证明转译到函数域栏位方面，Gaitsgory、Raskin 及其合作者已经取得了一些进展。（Raskin 暗示说，Gaitsgory 和 Raskin 在后者的长期驾驶途中得到的一些发现「还有待揭示」。）如果转译成功，则可能得到一个比数学家之前知道或甚至猜测的还要远远更加精准的函数域朗兰兹版本。
而从几何栏位到数论栏位的大多数转译都会经过函数域。但在 2021 年，巴黎 Jussieu 数学研究所的 Laurent Fargues 和 Scholze 设计了一个所谓的虫洞（wormhole），可将几何栏位的思想直接带到数论朗兰兹纲领的某一部分。
Scholze 说：「我肯定是一个想要转译这些几何朗兰兹证明的人。」考虑到这片上升之海包含上千页文本，这绝非易事。「我目前落后几篇论文，」Scholze 说，「正在努力研读他们在 2010 年左右的成果。」
现在，几何朗兰兹研究者终于将他们的长篇论证述诸论文，Caraiani 希望他们能有更多时间与数论方向的研究者讨论。她说：「人们有着非常不同的思考问题的方式。如果他们能够放慢脚步，彼此交谈，了解对方的观点，那总会有好处的。」她预测说这项新成果的思路必定会传播到数论领域，这只是个时间问题。
正如 Ben-Zvi 说得那样：「这些结果是如此的稳健，以至于你一旦开始，就很难再停下来。」
by 机器之心
----- 历经三十年的努力，数学家已经成功证明了一个名为「朗兰兹纲领（Langlands program）」的宏大数学愿景的主要部分。
一个由 9 位数学家组成的团队成功证明了几何朗兰兹猜想（Geometric Langlands Conjecture），这是现代数学领域涉及范围最广的范式之一。
马克斯・普朗克数学研究所的著名数学家 Peter Scholze（菲尔兹获奖者，他并未参与此证明）说：这项证明是三十年辛苦研究所到达的顶点。「看到它得到解决真是太好了。」
朗兰兹纲领是由罗伯特・朗兰兹（ Robert Langlands，普林斯顿的沃尔夫获奖人）在 1960 年代提出的。其是对傅里叶分析的广泛泛化，而傅里叶分析是一个影响深远的框架，可将复杂的波表示成多个平滑震荡的正弦波。朗兰兹纲领在三个不同的数学领域都有重要地位：数论、几何和所谓的函数域（function field）。这三个领域通过一个类比网络连接在了一起，而这个网络也被称为数学的「罗塞塔石碑（Rosetta stone）」。
现在，一系列论文证明了这个罗塞塔石碑的几何栏位的朗兰兹猜想：https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/
德克萨斯州大学奥斯汀分校的 David Ben-Zvi 说：「其它领域还没有得到过如此全面和有力的证明。」
朗兰兹纲领的几何版本的主要先驱之一 Alexander Beilinson （芝加哥大学，沃尔夫奖获奖人）说：「这是美丽的数学，最美的那一类。」
该证明包含 5 篇论文，加起来超过 800 页。它们来自 Dennis Gaitsgory（马克斯・普朗克研究所）和 Sam Raskin（耶鲁大学）领导的一个团队。
Gaitsgory 过去 30 年来一直致力于证明几何朗兰兹猜想。这几十年来，他及其合作者获得了大量研究成果，并在这些基础上完成了这项证明。格勒诺布尔 - 阿尔卑斯大学的 Vincent Lafforgue （菲尔兹获奖人）将这些进步比作是「不断升高的海」；他说这就像是 20 世纪杰出数学家亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的研究精神 —— 通过创造一个不断升高的思想之海来解决困难问题。
要验证他们的新证明成果还需要些时日，但很多数学家都表示相信其核心思想是正确的。Lafforgue 说：「该理论的内部一致性很好，所以很难相信它错了。」
在证明之前的几年里，该研究团队创建了不止一条通往问题核心的路径。「他们得到的理解是如此的丰富和广泛，以至于他们从所有方向包围了这个问题。」他说，「它已无路可逃。」
大统一理论
1967 年，时年 30 岁的普林斯顿大学教授罗伯特・朗兰兹在他手写给安德烈・韦伊（André Weil，这个罗塞塔石碑的创立者，两者都是普林斯顿的沃尔夫获奖人）的一份 17 页信件中阐述了他的愿景。朗兰兹写到，在这个罗塞塔石碑的数论和函数域栏位上，有可能创造出一种广义版的傅里叶分析，并且其将具有惊人的范围和力量。
在经典的傅里叶分析中，对于两种不同的思考波图（比如声波）的方式，会使用一种名为傅立叶变换的过程来创造的它们之间的对应关系。在这对应关系的一侧是这些波本身。（我们称之为波侧 /wave side）。这包括简单的正弦波（在声学中就是纯音）以及由多个正弦波组成的复杂波。在这对应关系的另一侧是余弦波的频谱 —— 声学中的音高。（数学家称之为谱侧 /spectral side）。
傅立叶变换就是在这两侧之间来回。在一个方向上，其可将波分解成一组频率；在另一个方向上，则可根据其组成频率重建出波。这种双向变换的能力造就了数不清的应用 —— 没有它，我们就不会拥有现代电信、信号处理、磁共振成像或现代生活的许多其它必需品。
朗兰兹提出，罗塞塔石碑的数论和函数域栏位也有类似的变换，只是这里的波和频率都更加复杂。
在下面的视频中，罗格斯大学的数学家 Alex Kontorovich 将带我们穿过这片数学大陆，了解朗兰兹纲领核心的令人惊叹的对称性。
在这些栏位中的每一个，都有一个由一组特殊函数组成的波侧，这些特殊函数类似于重复的波。这些特殊函数中最纯粹的被称为特征函数（eigenfunction），其作用就类似于正弦波。每个特征函数都有一个特征频率。不过，虽然正弦波的频率是一个数值，但特征函数的频率则是一个无限的数值列表。
还有谱侧。这由数论中的对象组成；朗兰兹认为这些对象标记了特征函数的频谱。他提出，存在一种类似于傅立叶变换的处理机制可将这里的波侧与谱侧连接起来。「这件事有点神奇。」Ben-Zvi 说，「这不是我们没有任何理由时就能事先预计的东西。」
波与其频率标签来自大不相同的数据领域，因此如果能证明它们之间的对应关系，必定能带来丰厚的回报。举个例子，在 1990 年代时，一个相对较小的函数集的数论朗兰兹对应的证明就让 Andrew Wiles 和 Richard Taylor 证明了费马大定理 —— 这个问题曾是数学领域最著名的待证明问题之一，数学界已经为此努力了三个世纪。
加州大学伯克利分校的 Edward Frenkel 表示：朗兰兹纲领被视为「数学的大统一理论」。然而，即便数学家已经努力证明了朗兰兹愿景中越来越大的部分，但他们也很清楚这个愿景并不完备。在这块罗塞塔石碑的几何学栏位，波与频率标签的关系似乎无法体现出来。
一粒沙
正是从朗兰兹的研究工作开始，数学家对几何朗兰兹对应（geometric Langlands correspondence）的谱侧的样子有了一个想法。韦伊设定的罗塞塔石碑的第三个栏位（几何）涉及紧黎曼曲面（compact Riemann surface），包括球面、甜甜圈形曲面以及多孔甜甜圈形曲面。一个给定的黎曼曲面都有一个对应的对象，称为基本群（fundamental group），其跟踪的是环绕曲面的环线的不同形式。
数学家猜想，几何朗兰兹对应的谱侧应当由基本群的特定蒸馏形式构成，这些特定的蒸馏形式也被称为基本群的表征（representation）。
如果要在罗塞塔石碑的几何栏位体现出朗兰兹对应，那么黎曼曲面基本群的每个表征都应该是一个频率标签 —— 但是什么的频率标签呢？
对于频率似乎标记了基本群表征的特征函数，数学家找不到任何集合。然后到了 1980 年代，如今就职于芝加哥大学的 Vladimir Drinfeld （芝加哥大学，菲尔兹和沃尔夫获奖人）意识到：通过将特征函数替换成名为特征层（eigensheaf）的更复杂对象，有可能创建起几何朗兰兹对应 —— 不过那时候，他只知道少数特征叠层的构建方式。
层（sheaf）比函数深奥很多，因此数论学家那时候不知道该如何理解这个朗兰兹对应的几何表亲。但几何朗兰兹纲领（尽管其波侧玄奥难懂）相较于数论版本的朗兰兹纲领有着一个大优势。在几何朗兰兹中，特征层的频率由黎曼曲面上的点控制，球体或甜甜圈上的每个点在近距离看起来非常相似。但在数论朗兰兹中，频率由素数控制，并且每个素数都有其特有的性质。伦敦帝国学院的数论学家 Ana Caraiani 说：数学家不知道「如何以一种很好的方式从一个素数到另一个素数。」
黎曼曲面在物理学领域具有重要作用，尤其是在共形场论中，其控制着亚原子粒子在某些力场中行为。在 1990 年代早期，Beilinson 和 Drinfeld 展示了可以如何使用共形场论来构建某些特别好的特征层。
与共形场论这种连接关系让 Beilinson 和 Drinfeld 开始思考如何为层（sheaf）构建一种傅里叶分析。Ben-Zvi 说：「这就像是引发结晶的一粒沙子。」
Beilinson 和 Drinfeld 提出了一个丰富的愿景，阐述了几何朗兰兹对应理应的工作方式。这不仅是基本群的每个表征都应该标记一个特征层的频率。他们认为，这种对应关系也应当尊重两侧的重要关系，Beilinson 和 Drinfeld 称这种展望是「最好的希望」。
1990 年代中期，Beilinson 在特拉维夫大学通过一系列讲座介绍了这一发展中的研究图景。Gaitsgory 那时在此读研究生，努力吸收其中每句话。他回忆说：「我就像一只刚孵化的小鸭子，获得了一种印随行为。」
此后的 30 年里，几何朗兰兹猜想一直是 Gaitsgory 数学生涯的主要驱动力。他说：「这些年都在不停地工作，离目标越来越近，开发不同的工具。」
上升之海
Beilinson 和 Drinfeld 只是松散地陈述了他们的猜想，事实证明他们有点过于简化「最好的希望」中的关系理应的工作方式了。2012 年时，Gaitsgory 与威斯康星大学麦迪逊分校的 Dima Arinkin 搞清楚了如何将这「最好的希望」变成一个精确的猜想。
之后一年，Gaitsgory 写了一份大纲，阐述了证明几何朗兰兹猜想的可能方式。该大纲依赖大量中间陈述，其中很多当时都尚未得到证明。Gaitsgory 及其合作者开始着手证明它们。
接下来的几年时间里，Gaitsgory 和多伦多大学的 Nick Rozenblyum 写了两本关于层的书，加起来接近 1000 页。在这套两卷本中，几何朗兰兹纲领只被提及了一次。Gaitsgory 说：「但其目的是奠定基础，后来我们也大量使用到了这些基础。」
2020 年，Gaitsgory 突然发现他没什么日程安排了。他说：「我花了三个月时间躺在床上，只是思考。」这些思考最终促成了一篇论文（有 6 位作者）。虽然这篇论文专注于朗兰兹纲领的函数域栏位，但其中也包含「一粒种子」—— 这粒种子后来变成了证明几何朗兰兹猜想的关键组件：一种用于理解特征层如何促进所谓的「白噪声」的方法。
在经典的信号处理领域，可由正弦波构建声波，其频率对应于声音中的音高。仅仅知道声音包含哪些音高是不够的 —— 还需要知道每个音高的响度有多大。这些信息让你可将声音写成正弦波的组合形式：只需从幅度为 1 的正弦波开始，然后让正弦波乘以适当的响度因子，再将这些正弦波加在一起。所有不同的幅度为 1 的正弦波之和就是我们常说的「白噪声」。
在几何朗兰兹纲领的世界里，特征层的作用就类似于正弦波。Gaitsgory 及其合作者识别出了一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，其作用似乎就类似于白噪声。但这些研究者并不清楚能否将每个特征层都表示在庞加莱层中，更不用说它们是否都具有相同的幅度了。
2022 年春，Raskin 与他的研究生 Joakim Færgeman 展示了如何使用那篇六作者论文中的思想来证明每个特征层都确实可表示在庞加莱层中。Gaitsgory 在谈到对几何朗兰兹猜想的证明时说：「在 Sam 的和 Joakim 的论文之后，我很确信我们能在短时间内做到。」
研究者需要证明，所有特征层对庞加莱层都有同等的贡献，并且基本群表征标记了这些特征层的频率。他们认识到，最难的部分是处理这种基本群的表征：不可约表征。
这些不可约表征的解决方案出现之时，Raskin 的个人生活正一片混乱。在他与 Færgeman 在网上发布了他们的论文几周后的某天，Raskin 不得不匆忙地将他怀孕的妻子送往医院，然后再回家送儿子第一次去幼儿园。Raskin 的妻子在医院住了六周，直到他们的第二个孩子降生。在这段时间里，Raskin 的生活一直在轮轴转 —— 为了保证儿子的正常生活，他无休止地在家、儿子的学校和医院之间来回奔忙。他说：「我那时的全部生活就是车和照顾人。」
他在驾驶途中与 Gaitsgory 打电话探讨数学。在那几周的第一周快结束时，Raskin 意识到他可以将这个不可约表征问题简化成证明三个当时已经触手可及的事实。「对我来说，那段时间很神奇。」他说，他的个人生活「充满了对未来的焦虑和恐惧。对我来说，数学是一种需要根植（grounding）和冥想的东西，可以让我摆脱那种焦虑。」
到 2023 年初，Gaitsgory 和 Raskin 以及 Arinkin、Rozenblyum、Færgeman 和其他四名研究人员一起，对 Beilinson 和 Drinfeld 的「最好的希望」进行了完整的证明，并由 Gaitsgory 和 Arinkin 进行了修订。（其他研究者为伦敦大学学院的 Dario Beraldo、清华大学的 Lin Chen（陈麟）、芝加哥大学的 Justin Campbell 和 Kevin Lin。）该团队又用了一年时间将该证明写下来。他们在今年二月份在网上发布了该证明。尽管这些论文遵循 Gaitsgory 在 2013 年制定的大纲，但其中简化了 Gaitsgory 的方法并在很多方面做出了改进。Lafforgue 说：「对于这个无与伦比的成就，很多聪明人为此贡献了很多新想法。」
「他们不仅仅是证明了它，」Ben-Zvi 说，「他们围绕它开发了整个世界。」
更远的海岸
对 Gaitsgory 来说，这个数十年梦想的实现远非故事的结束。还有许多进一步的难题有待数学家解决 —— 更深入地探索其与量子物理学的联系、将该结果扩展到带穿孔的黎曼曲面、搞清楚其对罗塞塔石碑的其它栏位的影响。Gaitsgory 在一封电子邮件中写到：「这感觉（至少对我来说）更像是凿下了一块大石头，但我们离核心依然还很远。」
研究其它两个栏位的研究者现在急切地想要将这个证明转译过去。Ben-Zvi 说：「其中一个主要碎片得到解决这一事实应该会对朗兰兹对应的整体研究产生重大影响。」
但并非所有东西都能带过去 —— 举个例子，在数论和函数域设置中，并没有与共形场论思想相对应的东西，而共形场论能让研究者在几何设置中构建起特殊的特征层。在将该证明中的很多东西用于其它栏位之前，还需要一些费力的调整。伯克利的 Tony Feng 说：我们还不清楚是否能「将这些思想转移到一个原本没想过能使用它们的不同环境中。」
但很多研究者都乐观地相信这个上升的思想之海最终会漫延到其它领域。Ben-Zvi 说：「它将渗透穿过学科之间的所有障碍。」
过去十年中，研究者已经开始发现几何栏位与另外两个栏位之间的联系。「如果（几何朗兰兹猜想）在 10 年前就被成功证明，那么结果会大不相同。」Feng 说，「人们就不会认识到它的影响可能会拓展到（几何朗兰兹）社区之外。」
在将几何朗兰兹证明转译到函数域栏位方面，Gaitsgory、Raskin 及其合作者已经取得了一些进展。（Raskin 暗示说，Gaitsgory 和 Raskin 在后者的长期驾驶途中得到的一些发现「还有待揭示」。）如果转译成功，则可能得到一个比数学家之前知道或甚至猜测的还要远远更加精准的函数域朗兰兹版本。
而从几何栏位到数论栏位的大多数转译都会经过函数域。但在 2021 年，巴黎 Jussieu 数学研究所的 Laurent Fargues 和 Scholze 设计了一个所谓的虫洞（wormhole），可将几何栏位的思想直接带到数论朗兰兹纲领的某一部分。
Scholze 说：「我肯定是一个想要转译这些几何朗兰兹证明的人。」考虑到这片上升之海包含上千页文本，这绝非易事。「我目前落后几篇论文，」Scholze 说，「正在努力研读他们在 2010 年左右的成果。」
现在，几何朗兰兹研究者终于将他们的长篇论证述诸论文，Caraiani 希望他们能有更多时间与数论方向的研究者讨论。她说：「人们有着非常不同的思考问题的方式。如果他们能够放慢脚步，彼此交谈，了解对方的观点，那总会有好处的。」她预测说这项新成果的思路必定会传播到数论领域，这只是个时间问题。
正如 Ben-Zvi 说得那样：「这些结果是如此的稳健，以至于你一旦开始，就很难再停下来。」
