- 周日 4月 21, 2024 10:50 am
#5439
对“爱因斯坦看了钱的论文解决了困扰多年的一个问题”的一点个人看法
读了Mr.X写的《我现在觉得钱伟长那篇文章很可能确实对老爱有大帮助》。有些看法愿与诸位交流并盼指教。我没看钱氏和爱氏的原始论文。下述只是合理猜测，但不能断定历史真相究竟是怎样的。
空间在一点附近的几何由四阶的张量黎曼曲率张量Rm完全决定。而Rm则可以分解成三个部分之直交和：（有关名词解释在最后。）
Rm=U+V+W
其中张量U由数量曲率R(R是里奇曲率张量Ric的迹)决定，张量V由里奇曲率张量Ric的“无迹”部分决定，张量W是Weyl张量。
钱氏论文用到的关键性数学似是“三维”空间中的活动标架法。三维的情形，上述Weyl张量恒为零。因此蕴含几乎全部几何内容的四阶的黎曼曲率张量Rm只取决于它的前两部分U和V，而这两者本质上取决于二阶的里奇曲率张量Ric。故钱之文只需处理二阶的Ric曲率张量。
我猜测钱氏论文在当时对爱氏而言如果有启发的话，可能是它对二阶的里奇曲率张量Ric的处理， 而不是它的物理力学部分。 “爱因斯坦看了钱的论文解决了困扰多年的一个问题”是有可能的，如果爱氏之困扰是来自对二阶的里奇曲率张量Ric的处理。如所知，爱氏非凡的物理直觉是远在其数学处理能力之上的。爱因斯坦在广义相对论里用黎曼几何描述四维时空形变要处理四阶的黎曼曲率张量Rm。这必先要处理重要的二阶的里奇曲率张量Ric从而处理好它的前两部分U和V。另外，对某些空间某些问题而言，第三部分Weyl张量W恒为零（如三维）或很特殊，处理好了二阶的里奇曲率张量Ric就处理好了四阶的黎曼曲率张量Rm。这也就是为何用Ric（张量）流证明三维的庞加莱猜想及三维流形的分类从宏观上看是可能成功的。事实上也成功了。
1940年左右懂得钱氏论文用的‘嘉当的活动标架法’人很稀少，黎曼几何那时也并不很主流，后成为主流则是由于爱氏的广义相对论。陈省身是在法国得到嘉当面授真传的寥寥数人之一。当时美国几乎没有这方面的内行专家。1949年以后陈在芝大和加大伯克利才发展出美国的微分几何。美国的微分几何界的名家大多是陈的学生或学术后裔。陈在1937年回清华执教。其时钱氏仍在清华做学生，与陈有短暂的overlap。猜测钱有可能听陈讲过嘉当的活动标架法的新颖的想法和理论，后灵机一动用到力学上，应该是很有创意的很领先的工作。
解释一下名词。
一个双线性型在内积向量空间上相当于该向量空间中的一个线性变换，而后者相当于一个正方矩阵，其迹则是主对角线上的元之和。要紧的是迹对空间坐标系而言是不变的。
固定黎曼张量Rm的两个不相邻的指标得一双线性型，其迹是二阶张量，称为里奇曲率张量Ric。由黎曼张量Rm计算出来的通过两固定向量的平面的曲率称截面曲率，在二维的情形它就是曲面在一点的高斯曲率。把过一点一方向的所有平面的截面曲率加以平均则得到空间在该点该方向的里奇曲率[差一常数倍，（维数减一）倍]。把过一点有方向的所有里奇Ric曲率加以平均则得到空间在该点的数量曲率（差一常数倍，维数倍）。数量曲率是里奇曲率张量Ric的迹。
学术界在1940-1950年间真懂Elie Cartan嘉当的惟陈省身等几人而已。甚至连普林斯顿高等研究院的首席大数学家外尔Hermann Weyl也未能弄懂嘉当的理论放弃了弄懂它。下面这部视频里IAS的时任院长Phillip Griffiths说陈能够解释老嘉当（Élie Cartan, 不是老嘉当的做代数拓扑的大数学家儿子小嘉当Henry Cartan)的原创文章。陈到达后在普林斯顿（后也在芝大和伯克利加大）传播解释嘉当的原创，当然在普林斯顿期间，可能在大数学家韦伊（韦尔André Weil）的帮助下，陈也做出了自己的最主要数学贡献。我相信当时也同时在普林斯顿的爱因斯坦也在试图了解嘉当的理论及对张量的处理手段和方法。
介绍陈省身的video在
这英文video简述了陈的科学贡献及陈作为微分几何之父在创造芝大数学系1950年代的十年辉煌及伯克利加大建成数学顶级学科中所起的作用。
--------------------
附：
我现在觉得钱伟长那篇文章很可能确实对老爱有大帮助。
by Mr.X
我找到了上海大学应用数学和力学研究所程昌钧的文章《科学宝库中一颗永远闪烁的明珠——钱伟长的“板壳的内禀理论”》（http://siamm.shu.edu.cn/portals/419/qia ... 100802.pdf）
对钱伟长的吹捧之词就不提了，这篇文章介绍了钱伟长在进行推导时使用的方法：
“在该理论中，钱伟长采用了一种全新的坐标系-以中面为
基础的拖带坐标系(Comoving coordinates) (x0,x1,x2)：在变形前，中面为x0 = 0，(x1,x2)为中面上点的坐标，中面以外各点的坐标为(x0,x1,x2) ，并称之为以中面为基础的高斯坐标系，其中(x1,x2)为垂直于中面的法线与中面交点的坐标。在变形中，由于坐标系随着板壳一起变形，因此，已变形物体上各点的坐标(x0,x1,x2)是不变的。基于这种拖带坐标系，钱伟长定义的应变张量为坐标系在变形后的基本张量与变形前的基本张量之差的一半，而满足的协调方程是由曲率张量=0的条件来得到的。这是一组新的协调方程，与以往的板壳理论是不同的。。。”
我们知道，描述物体的运动，通常的方式都是建立固定直角坐标系，然后描述物体在这个固定坐标系中的轨迹方程。对于弹性体的形变，通常也是这样做的：建立一个固定坐标系，分别描述弹性体各点一开始的位置和形变之后的位置。
钱伟长的描述方式则是把坐标系建立在弹性体上面，坐标系跟着弹性体一起形变，然后用坐标系的度规张量来描述弹性体的形变。这个方法正是爱因斯坦在广义相对论里用黎曼几何描述四维时空的形变的方法。
阴先生在楼下说，广义相对论用的是四阶张量，钱伟长用的是二阶张量，并据此认为钱伟长的文章对老爱没有帮助。两人使用的张量确实不同，但是这个区别是他们描述的对象造成的，不是两位自己能够决定的，而他们使用的数学思想则是完全一样的。
那么，为什么我认为钱伟长那篇文章很可能确实对老爱有大帮助呢？阴先生在楼下说，老爱并不关心推导，这在他搞广义相对论那阵子确实是对的。不过，这并不意味着他后来也不关心推导。我看到过资料说，老爱搞广义相对论那阵子，运用黎曼几何进行张量推导的事情，都是他的同学Grossmann做的。所以，我认为，虽然最后的方程写出来了，但是老爱多半并不知道是咋推导出来的，Grossmann估计也没兴趣给他上数学课。
但是，1936年Grossmann去世之后，老爱要把引力场与电磁场统一起来，继续玩更高阶的张量，那就得自己学会如何使用黎曼几何这套数学语言了。那么，老爱自己从1936年开始折腾了好几年，一直深受“困扰”，1940年突然在送来的文集里看见钱后辈这篇文章以一个力学例子详细地把如何应用黎曼几何给演示了一遍，大喜之下，说出“这位中国青年解决了困扰我多年的问题”这么一句话来，这也是有可能的。毕竟老爱也得顾点面子，总不能直接说“这位中国青年的文章使我知道了老同学当年是咋推出来的”吧。
读了Mr.X写的《我现在觉得钱伟长那篇文章很可能确实对老爱有大帮助》。有些看法愿与诸位交流并盼指教。我没看钱氏和爱氏的原始论文。下述只是合理猜测，但不能断定历史真相究竟是怎样的。
空间在一点附近的几何由四阶的张量黎曼曲率张量Rm完全决定。而Rm则可以分解成三个部分之直交和：（有关名词解释在最后。）
Rm=U+V+W
其中张量U由数量曲率R(R是里奇曲率张量Ric的迹)决定，张量V由里奇曲率张量Ric的“无迹”部分决定，张量W是Weyl张量。
钱氏论文用到的关键性数学似是“三维”空间中的活动标架法。三维的情形，上述Weyl张量恒为零。因此蕴含几乎全部几何内容的四阶的黎曼曲率张量Rm只取决于它的前两部分U和V，而这两者本质上取决于二阶的里奇曲率张量Ric。故钱之文只需处理二阶的Ric曲率张量。
我猜测钱氏论文在当时对爱氏而言如果有启发的话，可能是它对二阶的里奇曲率张量Ric的处理， 而不是它的物理力学部分。 “爱因斯坦看了钱的论文解决了困扰多年的一个问题”是有可能的，如果爱氏之困扰是来自对二阶的里奇曲率张量Ric的处理。如所知，爱氏非凡的物理直觉是远在其数学处理能力之上的。爱因斯坦在广义相对论里用黎曼几何描述四维时空形变要处理四阶的黎曼曲率张量Rm。这必先要处理重要的二阶的里奇曲率张量Ric从而处理好它的前两部分U和V。另外，对某些空间某些问题而言，第三部分Weyl张量W恒为零（如三维）或很特殊，处理好了二阶的里奇曲率张量Ric就处理好了四阶的黎曼曲率张量Rm。这也就是为何用Ric（张量）流证明三维的庞加莱猜想及三维流形的分类从宏观上看是可能成功的。事实上也成功了。
1940年左右懂得钱氏论文用的‘嘉当的活动标架法’人很稀少，黎曼几何那时也并不很主流，后成为主流则是由于爱氏的广义相对论。陈省身是在法国得到嘉当面授真传的寥寥数人之一。当时美国几乎没有这方面的内行专家。1949年以后陈在芝大和加大伯克利才发展出美国的微分几何。美国的微分几何界的名家大多是陈的学生或学术后裔。陈在1937年回清华执教。其时钱氏仍在清华做学生，与陈有短暂的overlap。猜测钱有可能听陈讲过嘉当的活动标架法的新颖的想法和理论，后灵机一动用到力学上，应该是很有创意的很领先的工作。
解释一下名词。
一个双线性型在内积向量空间上相当于该向量空间中的一个线性变换，而后者相当于一个正方矩阵，其迹则是主对角线上的元之和。要紧的是迹对空间坐标系而言是不变的。
固定黎曼张量Rm的两个不相邻的指标得一双线性型，其迹是二阶张量，称为里奇曲率张量Ric。由黎曼张量Rm计算出来的通过两固定向量的平面的曲率称截面曲率，在二维的情形它就是曲面在一点的高斯曲率。把过一点一方向的所有平面的截面曲率加以平均则得到空间在该点该方向的里奇曲率[差一常数倍，（维数减一）倍]。把过一点有方向的所有里奇Ric曲率加以平均则得到空间在该点的数量曲率（差一常数倍，维数倍）。数量曲率是里奇曲率张量Ric的迹。
学术界在1940-1950年间真懂Elie Cartan嘉当的惟陈省身等几人而已。甚至连普林斯顿高等研究院的首席大数学家外尔Hermann Weyl也未能弄懂嘉当的理论放弃了弄懂它。下面这部视频里IAS的时任院长Phillip Griffiths说陈能够解释老嘉当（Élie Cartan, 不是老嘉当的做代数拓扑的大数学家儿子小嘉当Henry Cartan)的原创文章。陈到达后在普林斯顿（后也在芝大和伯克利加大）传播解释嘉当的原创，当然在普林斯顿期间，可能在大数学家韦伊（韦尔André Weil）的帮助下，陈也做出了自己的最主要数学贡献。我相信当时也同时在普林斯顿的爱因斯坦也在试图了解嘉当的理论及对张量的处理手段和方法。
介绍陈省身的video在
这英文video简述了陈的科学贡献及陈作为微分几何之父在创造芝大数学系1950年代的十年辉煌及伯克利加大建成数学顶级学科中所起的作用。
--------------------
附：
我现在觉得钱伟长那篇文章很可能确实对老爱有大帮助。
by Mr.X
我找到了上海大学应用数学和力学研究所程昌钧的文章《科学宝库中一颗永远闪烁的明珠——钱伟长的“板壳的内禀理论”》（http://siamm.shu.edu.cn/portals/419/qia ... 100802.pdf）
对钱伟长的吹捧之词就不提了，这篇文章介绍了钱伟长在进行推导时使用的方法：
“在该理论中，钱伟长采用了一种全新的坐标系-以中面为
基础的拖带坐标系(Comoving coordinates) (x0,x1,x2)：在变形前，中面为x0 = 0，(x1,x2)为中面上点的坐标，中面以外各点的坐标为(x0,x1,x2) ，并称之为以中面为基础的高斯坐标系，其中(x1,x2)为垂直于中面的法线与中面交点的坐标。在变形中，由于坐标系随着板壳一起变形，因此，已变形物体上各点的坐标(x0,x1,x2)是不变的。基于这种拖带坐标系，钱伟长定义的应变张量为坐标系在变形后的基本张量与变形前的基本张量之差的一半，而满足的协调方程是由曲率张量=0的条件来得到的。这是一组新的协调方程，与以往的板壳理论是不同的。。。”
我们知道，描述物体的运动，通常的方式都是建立固定直角坐标系，然后描述物体在这个固定坐标系中的轨迹方程。对于弹性体的形变，通常也是这样做的：建立一个固定坐标系，分别描述弹性体各点一开始的位置和形变之后的位置。
钱伟长的描述方式则是把坐标系建立在弹性体上面，坐标系跟着弹性体一起形变，然后用坐标系的度规张量来描述弹性体的形变。这个方法正是爱因斯坦在广义相对论里用黎曼几何描述四维时空的形变的方法。
阴先生在楼下说，广义相对论用的是四阶张量，钱伟长用的是二阶张量，并据此认为钱伟长的文章对老爱没有帮助。两人使用的张量确实不同，但是这个区别是他们描述的对象造成的，不是两位自己能够决定的，而他们使用的数学思想则是完全一样的。
那么，为什么我认为钱伟长那篇文章很可能确实对老爱有大帮助呢？阴先生在楼下说，老爱并不关心推导，这在他搞广义相对论那阵子确实是对的。不过，这并不意味着他后来也不关心推导。我看到过资料说，老爱搞广义相对论那阵子，运用黎曼几何进行张量推导的事情，都是他的同学Grossmann做的。所以，我认为，虽然最后的方程写出来了，但是老爱多半并不知道是咋推导出来的，Grossmann估计也没兴趣给他上数学课。
但是，1936年Grossmann去世之后，老爱要把引力场与电磁场统一起来，继续玩更高阶的张量，那就得自己学会如何使用黎曼几何这套数学语言了。那么，老爱自己从1936年开始折腾了好几年，一直深受“困扰”，1940年突然在送来的文集里看见钱后辈这篇文章以一个力学例子详细地把如何应用黎曼几何给演示了一遍，大喜之下，说出“这位中国青年解决了困扰我多年的问题”这么一句话来，这也是有可能的。毕竟老爱也得顾点面子，总不能直接说“这位中国青年的文章使我知道了老同学当年是咋推出来的”吧。
